统计学例题

统计学例题

几何平均值与算术平均值

例：一家公司在过去的四个建筑项目中获得的利润率分别为百分之2、3、4、和6。试求其利润率的平均值。

算术平均值：

几何平均值：

现在的问题是，究竟哪一个均值更能反映实际的盈利水平、或哪一个值能用来对未来的盈利进行预测。显然几何平均值要好一些。

例：五家计算机公司的股票价格自1991年以来的增长率分别为百分之37.1、1140.0、0.927、2.7、和842.0。试求p 五家计算机公司股票价格的平均增长率。

算术平均值：

几何平均值：

显然几何平均值要好一些。

正态分布

例：一轮胎制造商希望为其新型MX100轮胎设定质量保证里程。对其产品的使用寿命测试显示，该型号轮胎行驶里程的平均值为47900英里，标准差为2050英里。制造商要求在设定的保证里程下，不会有超过5%的轮胎需要更换。此型号轮胎的保证里程应设为多少？

查0.05对应的正态分布值为1.645，即，所以由上式可以解出英里。

例：对于教养院中的犯人进行研究时，关心的重点是犯人经过改造后的社会责任心及重新做人的前景。研究表明，犯人经过一段时间改造之后对其评分，其评分结果服从正态分布。其中社会责任心方面的得分均值为100，标准差为20；重新做人的前景方面的得分均值为500，标准差为100。现在有一犯人，对其评分的结果为：社会责任心：146；重新做人：335。此人与其他犯人相比其表现如何？

可以首先将此犯人的两项得分数值所对应的z值求出来，

社会责任心：

重新做人：

从下图可以看出，此人在社会责任心方面处于较高位置，几乎属于最好的1%；而重新做人方面则较差，几乎是最差的5%。

方差分析：

下表显示的是三位销售人员的月度销售记录样本:

在进行方差分析时，需要有如下假设：

1. 所有样本都是随机抽取的且相互独立；
2. 样本是从服从正态分布的总体中选取的；
3. 所有总体具有相同的方差。

对于此问题我们要检验的假设为：

为了对此问题进行检验，可以从第三项假设入手，即所有总体具有相同的方差。如果第三项假设是真，那么这个是多少？或者说k(3)个总体共同的方差是多少？有两种方法可以估计出这个方差。

第一种估计方法：

对于样本均值的方差，我们已经知道，

将上式平方，

或，

这样估计出来的方差称为组间样本方差，写成一般表示式，

注意， 的自由度为k-1。

此例中，

第二种估计方法：

这种方法更加直接。

在估计两个总体均值是否相同时，我们用到了联合方差的概念。即当有两个总体，其方差相同，，这时共同的方差如果用样本方差来估计时可以表示成，

其中

这种方式推广到一般情形，就可以得到对总体方差的另一种估计形式，即样本方差的加权和，这种方式估计出来的方差由于只用到各组样本的方差而没有考虑到具体的样本数值，因此这种估计称为组内方差，

此例中，

现在对总体方差有了两个估计值，哪一个更好呢？显然是一个较好的估计，因为我们假定总体的方差相同，因此采用样本方差加权平均值的方法来估计是合理的。

但是另一种估计则不然，这个估计值是值得怀疑的。从计算过程可以看出，它是在假定所有的总体的均值都相同的基础上计算出来的。如果所有总体的均值确实都相同，则其样本均值的差异相应的也会很小；但如果各总体的均值相差较大，则相应的样本均值也会相差较大。因此我们不难看出，如果各总体的均值相差较大，则相对来说就会很大；当然如果各总体的均值相差不大，则与就会非常接近。

据此我们就可以对各总体均值是否相同的假设进行检验。相对来说多大才算大呢？这实际上就是一个典型的假设检验问题，为此构造统计量，

注意分子自由度为k-1，分母自由度为。此例中分别为2和12。F值为，

假设此问题的显著水平为0.05，查出相应的关键值为3.89，由于3.4426<3.89，所以结论是不能拒绝原假设。换句话说就是这三人的销售业绩没有差别。

另外，为了便于说明这样的检验问题，常常使用方差分析表将有关结果显示出来。方差分析表的一般形式为，