求函数值域或最值的常见方法

山东省临沂第四中学 李晓东

函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的。高考中经常考查求函数的值域或最值。考生要熟悉并掌握常见的求值域或最值的方法。下面给出求值域的几种方法：

1.配方法：求二次函数yaxbxc(a0)之值域就可用这种方法。 例1 求yx2x3(xR)的值域。

解：由于y(x1)22，故yx2x3(xR)的值域是[2,)。 2.图像法：求二次函数在给定区间的值域，就要使用图像法。 例2．求函数yx7x3,x[1,1]的值域。 解：二次函数yx7x3图像的对称轴是x22222227，而区间[1,1]在对称轴的右边，2函数yx7x3在区间[1,1]上是单调递增的（如图），在x=-1时函数取最小值-3，在x=1时函数取最大值1 1，故所求值域是[1,11]。

),x[,]的值域。

612217解：由x[,]得2x[,],由正弦图像知sin(2x)[,1]，于是

62122636y2sin(2x3.

换

元

法

例3．求函数y2sin(2x),x[,]的值域是[1,2].

6122：

对

于

形

如

yaxbcxd(a,b,cR,ac0)或

yasin2xbsinxc(a0)的函数，可通过换元，将其转化为二次函数在给定区

间求值域的问题。 例4.求函数y4x52x3的值域。

t232解：令t2x3，则x。于是原函数可化为y2tt1,t0，由于函数

21图像的对称轴是t,函数在[0,)上是递增的，所以t=0时函数取最小值1.所以原

4函数的值域是[1,).

例5.求函数ysinxsinx1的值域。

2111，函数在[1,]上是，在减少的，在[,1] 22213上是增加的，故在t时函数取最小值是，在t=1时函数取最大值是3.原函数的值

243域是[,3]。

4解：设tsinx，则.。由于对称轴是t4.反解法：形如yxaf(x), 其中f（x）是有界函数，如f(x)sinx,或

bf(x)f(x)=a(a1,a0),可用反解法，用y表示出f(x),依据f(x)的有界性，求出y的取值范围。 例6.求ycosx的值域。

2cosx1解：由yy1cosx.由于|cosx|1,可得(12y)cosxy(y),所以cosx12y22cosx11y2cosx2的)1,3y4y10,得y或y1.故y12y32cosx1所以cosx1,即(21值域是(,][1,).

35.分离常数法：对于形如ycxdh的函数，可将其变形为yk的形式，结合反

axbaxb比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域。 例7.求函数y1x的值域。 2x57177(2x5)212,因为20,所以y1.所以函数解：y1x222x52x52x522x5y11x的值域是{y|yR,y}

22x56．判别式法：把函数转化为关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根，判别式0,从

a1x2b1xc1而求出原函数的值域。形如y(a1,a2不同时为零）的函数求值域，常用2a2xb2xc2此法。但要注意二次项系数为零和不为零两种情况。 例8.求函数y解：由y3x的值域。 x243x2yx3x4y0,当y0时，x0,当y0时，由0 得得，2x4333x的值域是 y，且y0,因为函数的定义域是R，所以函数y244x433[,].。 44如果函数有最值，我们可以选择上面的某一个方法先确定值域，再得到最值。当然，我们也可以不必求出值域，而采用其他的方法得出最值，如基本不等式法，单调性法。 当遇到求由两变量所构成的式子的最值时，基本不等式是最常见的方法。

1． 基本不等式法：利用均值不等式可以在给定和为定值的条件下，求出积的最大值，或者

在已知积为定值的条件下，求出和的最小值。

例9.求函数yx4,x2的最小值。

x2解：由于yx2426（当且仅当x=4时取“=”）+，故所求的最小值是6.

x222例10已知x,yR,xy1,求xy的最大值。

xy22解：由于xy12xy，所以xy1，又xyxyxy2（当且仅当x=y

2xy2xy24时去等号）。故所求最大值是2。

42． 单调性法：

如果能判断一个函数的单调性，则可以利用单调性确定函数的极值与最值，

2t4例11..求函数y,t(1,)的最大值。

1t28t3(1t2)2t4(2t)8t34t54t3(2t2)解：y，当1t2时y0，函数222222(1t)(1t)(1t)2t4y,t(1,)在区间(1,2)上是增加的；当t2时y0，函数

1t22t4y,t(1,)在区间(2,)上是减少的。于是可知所求的最大值是21t24y8.

12方略指导：（1）要熟悉常见的几种基本初等函数的值域，可以较容易地得出所求函数的值域；（2）要熟悉每一种方法所能解决的函数类型，在遇到具体函数时能正确选择求法。 练习：求下列函数的值域：

212x1.y2x12x 2.ysinx4cosx1 3.y x121xx2x334.y2 5.f(x)x3x1,x[3,0] 6.y

2x5xx1511答案：1.(,) 2.[3,5] 3.(-1,1) 4.(,1)[,) 5.[17,3]

43116.(,)(,)

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