小学奥数-几何五大模型(相似模型)

任意四边形、梯形与相似模型

模型四 相似三角形模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDBFGEC

BGC

ADAEDEAF①； ABACBCAG②S△ADE：S△ABCAF2:AG2。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB16，AD10，BE4，那么FC的长

度是多少？

DCFABE

【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，

4所以BF:FCBE:CD4:161:4，所以FC108．

14

【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。

如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？

BE

【解析】 有一个金字塔模型，所以DE:ABDC:AC，DE:1540:60，所以DE10厘米。

【例 3】 如图，DE平行BC，若AD:DB2:3，那么S△ADE:S△ECB________。

ADBEA0D10203040C5060

C【解析】 根据金字塔模型

S△ADE:S△ABC22:524:25，

AD:ABAE:ACDE:BC2:(23)2:5，

设S△ADE4份，则S△ABC25份，S△BEC2553份，所以

S△AD:S4B:。1 E△EC

【例 4】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB 。

ADFBEGC【解析】 设S△ADE

1份，根据面积比等于相似比的平方，

所以S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，S△ADE:S△ABCAD2:AB21:9，因此

S△AFG4份，S△ABC9份，

进而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5

【巩固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长。

ADBE

【解析】 由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510

【巩固】如图， △ABC中， PQ，MN，BC互相平行，ADDFFMMPPB，FG，DE，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB 。

ADFMEGCNQCPB【解析】 设S△ADE1份，S△ADE:S△AFG

AD2:AF21:4，因此S△AFG4份，进而有

S四边形DEGF3份，同理有S四边形FGNM5份，S四边形MNQP7份，S四边形PQCB9份．

所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB1:3:5:7:9

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例 5】 已知△ABC中，若AD:DB2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，DE平行BC，

求S△ABC。

ADBE

C【解析】 根

S梯形D据金字塔模型AD:ABDE:BC2:(23)2:5，

S△ADE:S△ABC22:524:25，设S△ADE4份，则S△ABC25份，

BC2E54份，S梯形DBCE比S△ADE大17份，恰好是8.5cm2，所以

S△ABC12.5cm2

【例 6】 如图：MN平行BC， S△MPN:S△BCP4:9，AM4cm，求BM的长度

AMPBCN

【解析】 在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP4:9，所以MN:BC2:3，在金字塔模型中有：

AM:ABMN:BC2:3，因为AM4cm，AB4236cm，所以

BM642c m

【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO3:2，那么AD:AB________。

ADBOCE

【解析】 由沙漏模型得BO:EOBC:DE3:2，再由金字塔模型得

AD:ABDE:BC2:3．

【例 7】 如图，ABC中，AE11AB，ADAC，ED与BC平行，EOD的面积是144平方厘米。那么AED的面积是 平方厘米。

AEODBC【解析】 因为AE11AB，ADAC，ED与BC平行， 44根据相似模型可知ED:BC1:4，EO:OC1:4，SCOD4SEOD4平方厘米， 则SCDE415平方厘米，

15又因为SAED:SCDEAD:DC1:3，所以SAED5(平方厘米)．

33

【例 8】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面

积的几倍？

CFCBOADBOAD

【解析】 连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知OB:ODAE:AD，且

EOA:BEDA:DE1:2，所以CDO的面积等于CBO的面积；由

11OABEAC可得CO3OA，所以SCDOSCBO3SABO，即CDO的面积是

24ABO面积的3倍。

【例 9】 如图，线段AB与BC垂直，已知ADEC4，BDBE6，那么图中阴影部分

面积是多少？

ADADOBADEC

BEC

OB

【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴

看看．

作辅助线BO，则图形关于BO对称，有SSADOADOECSCEO，SDBOSEBO，且

:SDBO4:62:．3

设ADO的面积为2份，则DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份． 因为SABE610230，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为

308415．

解法二：连接DE、AC．由于ADEC4，BDBE6，所以DE∥AC，根据相似三角形性质，可知DE:ACBD:BA6:103:5， 根据梯形蝴蝶定理，SDOE:SDOA:SCOE:SCOA32:35:35:529:15:15:25，

所以S阴影:S梯形ADEC1515:915152515:32，即S阴影15S梯形ADEC； 321115又S梯形ADEC101066=32，所以S阴影S梯形ADEC15．

2232

【例 10】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形

ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC3:1，则四边形EFGH的面积________．

AFBGEHCD

【解析】 因为FGHE为平行四边形，所以EC//AG，所以AGCE为平行四边形．

11BG:GC3:1，那么GC:BC1:4，所以SAGCESABCD164．

44又AEGC，所以AE:BGGC:BG1:3，根据沙漏模型，

33FG:AFBG:AE3:1，所以SFGHESAGCE43．

44

【例 11】 已知三角形ABC的面积为a，AF:FC2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，

交CD于G，求阴影部分的面积．

ADEB 【解析】 已知AF:GFC

FC2:，1且EF∥BC，利用相似三角形性质可知

2EF:BCAF:AC2:3，所以EFBC，且SAEF:SABC4:9．

31又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EGBC，

212:SA1:8，可得SCFG，所以F1:4EG:EF:3:4，所以GF:EFE23a，那么． SCFG:SA1:18SBCCFG18

【例 12】 已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且

AE10cm，AF15cm，求正方形ABCD的边长．

ABEDC

【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AFCE:EF，

FDC:AECF:EF，设正方形的边长为xcm，所以有

即

BCDCCECF1，AFAEEFEFxx1，解得x6，所以正方形的边长为6cm． 1510x15x方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得x6

1015

【例 13】 如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高AD80毫

米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

APNB

HDGC

【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有

PNAPPHBPPNPHAPBP，，设正方形的边长为x毫米，1，即

BCABADABBCADABABxx1，解得x48，即正方形的边长为48毫米． 12080

【巩固】如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC 边BC的高，交DE于M，DG:DE1:2，BC12厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．

ADBGMEF

【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以

DEADDGBDDEDGADBD，，所以有设DGx，则DEx2，1，

BCABAHABBCAHABAB2xx244848所以有，2x，因此长方形的长和宽分别是厘米，1，解得x12877724厘米． 7

【例 14】 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角

形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

HCGGAEFBAENFB

【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相

似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做GM垂直DC于M，交AB于N．

因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为

DCDMCEF:DC4:121:3，

所以GN:GM1:3，又因为MNGMGN12，所以GM18cm，

1所以三角形GDC的面积为1218108cm2．

2

【例 15】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，

求阴影部分的面积是多少？

MEBNOF【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：

则NFEM1NF3；， 12232312

55，EM， 931951 S阴22

25330

【例 16】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面

积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．

ABCGD

【解析】 设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(mn)，则m2n252，所以

22若m5，则m2n525052m8．

HFE，不合题意，所以m只能为6或7．检

验可知只有m6、n4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GFAB:FE6:43:2，而BGGF6，得

1BG3.6(厘米)，所以阴影部分的面积为：63.610.8(平方厘米)．

2

【例 17】 如图，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，O是矩形一条对角线的中点，

那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

D4OE3AD4OE3ACFBCFB【解析】 连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的

1，所以S△OEB431,所以4,由三角形相似可得阴影部分面积为OE:EA1:3,所以CE:CA5:85258()2．

88

【例 18】 已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的

三等分点，求阴影△EHO的面积是多少厘米？

AHBFEOGCBDAHFEOGCD

【解析】 因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形

的长分成6份的话，那么EDAD3份、BFFGGC2份，大家能在图形中找到沙漏△EOD和△BOG：有ED所以OD相当于把BD∶BG=3∶4，∶BO3∶4，分成(34)7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：△EHD和△BHF也是沙漏，

ED∶BF3∶2，由此可以推出：HD∶BH3∶2, 相当于把BD分成(32)5份，

那么我们就可以把BD分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD占15份，BH占1435份，HO占6份，连接EB则可知△BED的面积为704，在BD为底的三角

2356形中HO占6份，则面积为：3(平方厘米).

235

【例 19】 ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，

则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

AODAOGDEEHMCMBFCBF 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．

设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD．

1可得SAED=S平行四边形ABCD，

4对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以

23DO:EDBD:BD2:3，OE:EDEDOD:ED32:31:3，

441111所以 SAEOS平行四边形ABCD726(平方厘米)，

34342SAEO12(平方厘米)． 同理可得S所以 SABCCFMSADO6平方厘米，SAEOCDM12平方厘米．

SSCFM366624(平方厘米)，

于是，阴影部分的面积为24121248(平方厘米)．

方法二：寻找图中的沙漏，AE:CDAO:OC1:2，FC:ADCM:AM1:2，

11因此O,M为AC的三等分点，S△ODMS平行四边形ABCD7212(平方厘米)，

6611S△AEOS△OCD1226(平方厘米)，同理S△FMC6(平方厘米)，所以

44S阴影72126648(平方厘米)．

【例 20】 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是

4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是 平方厘米．

ADANKDPBMCPBCM

【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一

般需要通过这一点做垂线．

取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．

则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三

18角形PDM的面积等于MKBC8(平方厘米)，所以MK=(厘米)，那么

2384NK4(厘米)．

338因为NK是三角形APD的中位线，所以AP2NK(厘米)，所以三角形APD318的面积为 68(平方厘米)．

23

【例 21】 如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，

OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH5cm，HF3cm，求AG．

AGEDOHFC

【解析】 由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DFAH:HF5:3，

又因为E为AD中点，那么有OE:FD1:2，

3所以AB:OE5:1，0:利3用相似三角形性质可以得到

2AG:GOAB:OE10:3，

111040而AOAF534cm，所以AG4cm．

221313

B1【例 22】 右图中正方形的面积为1， E、F分别为AB、BD的中点，GCFC．求

3阴影部分的面积．

ADADEFGEFG 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求

解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．

根据相似三角形性质，CI:CHCG:CF1:3，又因为CHHB，所以

1155CI:CB1:6，即BI:BC61:65:6，所以SBGE．

22624

【例 23】 梯形ABCD的面积为12，AB2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交

于F，四边形CDFE 的面积是 ．

BCBHICDFEACGFDCEB

AB

【解析】 延长BF、CD相交于G．

11由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CGAB2CD，GDGCAB，

22再根据相似三角形性质，AF:FDAB:DG2:1，GF:GB1:3，而 AB:CD2，:111所以SBCDSABCD124，SGBC2SBCD8．

33S18111111又GDF，SEBCSGBC，所以SCDFE1SGBCSGBC．

33SGBC236226SABD:SBCD

【例 24】 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，

那么阴影部分的面积是 平方厘米．

AADEDEMNCBAFC

BF

DEMNC

【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形

的面积之差．而从图中来看，既可以转化为BEF与EMN的面积之差，又可以转化为BCM与CFN的面积之差． (法1)如图，连接DE．

由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形

BFABC面积的一半，即30平方厘米；那么BEF的面积为平行四边形BDEF面积的

一半，为15平方厘米．

根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的

1一半，则EM:BMDE:BC1:2，所以EMEB；

31EF． 2111那么EMN的面积占BEF面积的，所以阴影部分面积为

236115112.5(平方厘米)．

6EN:FNDE:FC1:1，所以EN(法2)如图，连接AM．

根据燕尾定理，SABM:SBCMAE:EC1:1，SACM:SBCMAD:DB1:1，

11所以SBCOSABC6020平方厘米，

33111而SBDCSABC6030平方厘米，所以SFCNSBDC7.5平方厘米，

224那么阴影部分面积为207.512.5(平方厘米)．

【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：

⑴利用面积公式：底高2； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型．

【例 25】 如图,ABCD是直角梯形，AB4,AD5,DE3，那么梯形ABCD的面积是

多少?

AOBAFBOD

【解析】 延长EO交AB于F点，分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再求和． DE∶BFDO∶OB3∶1

∴S△AOD∶S△AOB3∶1；S△DOCS△BOC3∶1

S△AODS△BOC

1 又∵S△ABD4510

23 ∴S△AODS△ABD7.5,S△AOB2.5,S△BOC7.5,S△DOC3S△BOC37.522.5

4 ∴S梯形ABCD7.52.57.522.540

ECDEC

【例 26】 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面

积是多少平方厘米？

AMNHOB

【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，

EDCAO∶OCAB∶EC12∶203∶5，AH∶BCAO∶OC3∶5

∴AOS△ADC9∶40 ∶AC3∶8，AH∶AD3∶5，S△AHO∶1∵S△ADC12272

299∴S△AHOS△ADC7216.2

4040

【例 27】 如右图，长方形ABCD中，EF16，FG9，求AG的长．

DAGFECB

【解析】 因为DA∥BE，根据相似三角形性质知 又因为DF∥AB， 所以

DGAG， GBGEDGFG， GBGAAGFG，即AG2GEFG259225152，所以AG15． GEGA

【例 28】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中

点，E是DC边上的点，且DE:EC1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG

ABABGFGFDAEBCDECMGFD

【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有

ECAB:CMBF:FC1:1，因此CM4，根据题意有CE3，再根据另一个沙漏

4432有GB:GEAB:EM4:7，所以S△ABG． S△ABE(442)471111方法二：连接A,EE，F分别求S△ABF422，

S△AEF4441232247S△A:B△，根据

SFBA:E，所以GGS△ABGEF4S△ABE47定理

432． (442)1111蝴蝶

【例 29】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，

BF交EC于M，求BMG的面积．

FDAEBIAHMGCFHGD

EMB

C【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而

FD:BCFH:HC1:，2

EB:CDBG:GD1:2所以CH:CFGH:EF2:3，

并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以

BG:EFBM:MF2:3，

21111所以BMBF，SBFDSABDSABCD；

522241121211又因为BGBD，所以SBMGSBFD．

33535430 解法二：延长CE交DA于I，如右图，

可得，AI:BCAE:EB1:1， 从而可以确定M的点的位置，

BM:MFBC:IF2:，3

21 BMBF，BGBD(鸟头定理)，

53212111 可得SBMGSBDFSABCD

5353430

【例 30】 (清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，

F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米．

ADEGHFADBCEGHFBC

M

【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．

1由题意可得到：EG:GCEB:CD1:2，所以可得：SEBGSBCE

3将AB、DF延长交于M点，可得：

BM:DCMF:FDBF:FC1:1，

12而EH:HCEM:CD(ABAB):CD3:2，得CHCE，

251121而CFBC，所以SCHFSBCESBCE

2255111 SBCEABBC12030

2241177 S四边形BGHFSSSS01．4 EBCEBCEBCEBC3351515 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也

能解出．

【例 31】 如图，已知S△ABC14,点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且

AD2,BD5,AFFC，S四边形DBEFS△ABE则S△ABE是多少？

CCEFEFA

【解析】 △ABC的面积已知，若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出

DBADB△ABE的面积．连接CD．

∵S四边形DBEFS△ABE ∴S△DEFS△ADE ∴AC与DE平行， ∴S△ADES△CDE ∴S△ABES△CDB ∵AD2，BD5

∴SACD:S∴S△ABB2:5

5S5S△CDB△ABC1410

77CDB

【例 32】 如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DEEC，

FB2AF，求PM:MN:NQ．

APMNDEQCDEFBAPMGNQCFB

【解析】 如图，过E作AD的平行线交PQ于G．

由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．

由于DEEC，FB2AF，所以AF:DE2:3，BF:CE4:3． 根据相似性，PM:MGAM:MEAF:DE2:3，

GN:NQEN:NBEC:BF3:4，

2333644于是PMPG，MNPGGQPG，NQGQPG，

55735772364所以PM:MN:NQ::7:18:10．

5357

【例 33】 如下图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．

ADEOGBADEOFC

GBFC

【解析】 设三角形以AB为底的高为h，

由于FG:AB2:3，所以ED:FG1:2；

122 所以三角形OGF以GF为底的高是hh；

3392 又因为三角形CFG以FG为底的高是h，

322所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面积之比h:h1:3，

933 所以三角形CFG的面积为2418(平方厘米)，

31224 而三角形CFG的面积占三角形ABC的，

3394所以三角形ABC的面积是1840.5(平方厘米)．

9

【例 34】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD为

正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？

DERSPAMNBQFCDERSPFCQMNB

MQMBMPPC【解析】 (法1)由AB//CD，有，所以PC2PM，又，所以 QCECMNDC11111MQQCMC，所以PQMCMCMC，所以SSPQR占SAMCF的，

2236612所以SSPQR1(112)(cm2)．

631RBER(法2)如图，连结AE，则SABE448(cm2)，而，所以2ABEFRBAB2216，()．而cm22SABRSABE8EFEF33311MNMP， SMBQSANS343(cm2)，因为22DCPC1114所以MPMC，则SMNP24(cm2)，阴影部分面积等于

32331642SABRSANSSMBQSMNP33(cm2)。

333

A