平面向量习题整理

类型1.向量的模1.点评：向量模的处理思路：几何法，平方，坐标(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(A.2－1B．1C.2D．2已知向量a≠e，|e|＝1，满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(C)A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)B)2.3.(16上期中)若向量a,b满足|a||2ab|2,则a在b方向上的投影的最大值是________.34.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(A)A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积

oA,B满足OAOBOAOB2,则5.【2013，安徽理9】在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点点集POPOAOB,1,,R|所表示的区域的面积是（D）6.【2013湖南6】已知a,b是单位向量，ab0.若向量c满足cab1,则c的取值范围是(,2+1A．2-1，,2+1C．1，,2+2B．2-1，,2+2D．1，）D.9A．22B．23C．42D．43A)7.PAPBPC的最大值为（BA.6B.7C.8【2015湖南理2】已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则8.1【2013重庆，理10】在平面上，AB1AB2，OB1OB21,APAB1AB2.若OP，则OA的25257,225,227,22取值范围是（D）A、0,B、C、D、

9.【2014湖南16】在平面直角坐标系中,O为原点,A1,0,B(0,3),C(3,0),动点D满足CD=1，则

OAOBOD的最大值是_________.171510.【2015高考浙江，理15】已知e1,e2是空间单位向量，e1e2，若空间向量b满足be12,be2，22且对于任意x,yR，b(xe1ye2)b(x0e1y0e2)1(x0,y0R)，则x0___．y0__．b__．111.【2013高考重庆理第10题】在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|＜，2则|OA|的取值范围是(D)．1，2，22.1Mathwang575750,,,2,2A．B．C．D．22222|AB|3,|AC|412.已知ABC中，，点O是ABC所在平面内一点.若|OA||OB||OC|，且1AOABACR，则cosBAC.213.（2017届武汉市二月调考.理11）已知m,n为两个非零向量，且|m|2，|m2n|2，则|2mn||n|的最大值为（A．42B．33D）C．732D．833类型2.平面向量基本定理，基底转化，双参数问题常见处理方法:线性运算（加、减、数乘）直接转化；待定系数法；方程组法。14.【2013年.浙江卷.理17】设e1,e2为单位向量，非零向量b则xe1ye2，x，y∈R.若e1,e2的夹角为π，6|x||b|的最大值等于__________．2→15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝→→→mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．2点评：三点共线经常作为隐含信息出现，不容易察觉。16.在边长为1的正ABC中，向量BDxBA,CEyCA,x0,y0，且xy1,则CDBE的最大值为________.点评：思路1.基底法.可选取BC,BA为基底.思路2.坐标法，关键是D,E两点坐标表示.→→→→→→→→→17.如图所示，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°.且|OA|＝|OB|→→→→＝1，|OC|＝23.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．λ＋μ＝6.→→18.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上→→→变动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．222点评：思路1.利用|OC|1,得xyxy1，基本不等式求得（有漏洞：x、y可能为负数！）.2Mathwang思路2.坐标法，设C(cos,sin)，得xycos3sin,[0,思路3.几何法，设AB交OC于T，OCOT,[1,2]，由A、T、B三点共线得xy.2]求解.319.(2019届高一3月考16)在扇形中，OAOB1,AOB120,点P为弧AB上的动点，点P可与点A或。27B重合，若OPxOAyOB，则x4y的最大值为20.(2017届武汉四月调考理科16)已知ABC的外接圆圆心为O，且BAC60，若2，则的最大值为.AOABAC(,R)321.在ABC中，已知ABAC9,sinBcosAsinC,SABC6，P为线段AB上的一点，且CACB则xy的最大值为（C）CPxy|CA||CB|A．1B．2C．3D．40x3xy点评：由条件可得，CA=3，CB=4.由三点共线可得1，再消元或凑基本不等式求解.0y43422.【2014天津，理8】已知菱形ABCD的边长为2，ÐBAD=120，点E,F分别在边BC,DC上，2DF=mDC．若AE×AF=1，CE×CF=-，则l+m=（C）BE=lBC，31257（A）（B）（C）（D）2361223.【2013山东，理15】已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若AP＝λAB＋AC，7且AP⊥BC，则实数λ的值为__________．1224.如右图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且131

OPxOAyOB，则x的取值范围是____x0______，当x时，y的取值范围是____(,)______.222MPBOA

类型3.向量数量积、（三点）共线定理、投影常见处理方法:定义，几何意义（投影），坐标，向量转化（基底）→→→→25.在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OD是AB边上的高，若AD＝λAB，则实数λ等于(a·b－aa·a－bA.B.|a－b|2|a－b|2a·b－aa·a－bC.D.|a－b||a－b|3B)26.正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则APPB的取值范围是（3331A.[,]B.[,]22221311C.[,]D.[,]2222Mathwang）27.已知ABC中，ABAC,BC4,BAC120,BE3EC，若P是边BC上的动点，求APAE的取值范围.[210,]33点评：思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.思路2.坐标法，以BC为x轴.28.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知AB//DC,AB2,BC1,ABC60,动点E和129DC,则AEAF的最小值为__________．F分别在线段BC和DC上,且,BEBC,DF189129.【2015高考福建，理9】已知ABAC,AB,ACt，若P点是ABC所在平面内一点，且tAB4ACAP，则PBPC的最大值等于（A）ABACA．13B．15C．19D．21AB8,AD5，CP3PD,APBP2，则30.【2014江苏，理12】如图在平行四边形ABCD中，已知.22ABAD的值是DPCAB→→31.(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，→→则AE·BF的值是________．232.已知ABC中，ABAC,BC4,BAC120,BE3EC，若P是边BC上的动点，求APAE的取值范围.[210,]33点评：思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.思路2.坐标法，以BC为x轴.33.在边长为1的正ABC中，向量BDxBA,CEyCA,x0,y0，且xy1,则CDBE的最大值为________.点评：思路1.基底法.可选取BC,BA为基底.思路2.坐标法，关键是D,E两点坐标表示.34.(16上期中)如图所示，在ABC中，ADAB，且BC4，则3BD,|AD|1ACAD________.3点评：思路1.基底法.可选取AB,AD为基底.思路2.坐标法，关键是C点坐标表示.思路3.几何法，过C作AD的垂线，运用投影意义.Mathwang类型4.三角形形状、面积问题35.【2015高考安徽，理8】C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，C2ab，则下列结论正确的是（D）

（A）b1

（B）ab（C）ab1（D）4abC36.已知ABC中，AC2AB2,BCPCAPABPBC，3，P是ABC内部一点，且SPAPBSPBPCSPCPA则PAPBPC________.7（余弦定理，面积公式，面积和，三项和平方公式）37.已知ABC的面积为S，是三角形的某个内角，O是平面ABC内一点，且满足）2OAsinOBcosOC0，则下列判断正确的是（A.SAOC的最小值为1S21S2B.SAOB的最小值为(21)SD.SBOC的最小值为(21)SC.SAOCSAOB的最大值为38.【2014山东.理12】在ABC中，已知ABACtanA，当A39.6时，ABC的面积为________.)．16(2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(CA．b＝a3B．ba3C．(ba)ba0D．baba0aaBABC3BD，则四边形ABCD的面积为_____3_____.40.在四边形ABCD中，ABDC(1,1)，|BA||BC||BD|41.ABC的三边a,b,c满足abc且logsinAsinBlogsinBsinC2logsinCsinA，则ABC的形状是(D)A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形42.设P是ΔABC所在平面内的一点，且5AP2ABAC=0，则ΔPAB与ΔABC的面积之比为(C)A.1a33133113B.14C.15D.161AB，且对于边AB上任一点P，443.【2013年.浙江卷.理7】设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝恒有PB·PC≥P0B·P0C，则(D)．A．∠ABC＝90°C．AB＝ACB．∠BAC＝90°D．AC＝BC44.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝S△PBCS△PCAS△PAB

，λ2＝，λ3＝，定义f(P)＝(λ1，S△ABCS△ABCS△ABC

111λ2，λ3)．若G是△ABC的重心，f(Q)＝(，，)，则(A)236A．点Q在△GAB内B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内D．点Q与点G重合5Mathwang类型5.三角形“三线”、“四心”145.在ABC中，AB5,AC6,cosA,O是ABC的内心，若OPxOAyOB，其中x,y[0,1]，5则动点P的轨迹所覆盖的图形的面积为（A）A.1063B.1463C.43D.62146.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足OP(1)OA(1)OB(12)OC(R且0).3则P的轨迹一定通过ABC的(C)A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点→→→→47.在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OD是AB边上的高，若AD＝λAB，则实数λ等于(a·b－aa·a－bA.B.|a－b|2|a－b|2a·b－aa·a－bC.D.|a－b||a－b|B)48.已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|PA||PB|4，|PAPB|10，A.2PAPC|PA|B.3PBPC|PB|，且BIBA(C.4AC|AC||AP|D.5AP)(0)，则BIBA|BA|的值为（B）三角形“四心”知识点汇总重心G垂心H外心O内心I示意图定义三角形三条中线的交点叫三角形的重心。三角形三条高线所在的直线的．．．．．交点叫做三角形的垂心。(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥性质AG2GD1SBGCSABC3GAGBGC01OGOAOBOC3三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。OAOBOC三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。1A=BOC2AB。12AOABAB(2)若H在△ABC内，且AH、BH、2CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的6ABACAIBDCDIDABACAIABAC(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。Mathwang2倍。类型6.创新题、知识点综合→49.(2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转则点Q的坐标是(A)A．(－72，－2)B．(－72，2)C．(－46，－2)D．(－46，2)点评：思路1.三角函数的一般定义及和差公式.思路2.向量夹角公式.3π后得向量OQ，4→x,xyy,xymax{x,y}min{x,y}50.【2014年.浙江卷.理8】记，，设a,b为平面向量，则y,xyx,xy（D）A.min{|ab|,|ab|}min{|a|,|b|}B.min{|ab|,|ab|}min{|a|,|b|},|ab|2}|a|2|b|2D.min{|ab|2,|ab|2}|a|2|b|2C.min{|ab|51.【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i1,2,...)是上底面上其余的八个点，则ABAP(i1,2...)的不同值的个数为（A）i2（A）1(B)2(C)4(D)852.【2014上海,理17】已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和ya1xb1y1的方程组的解的情况是（B）axby122（A)无论k，P1,P2如何，总是无解（C）存在k，P1,P2，使之恰有两解（B)无论k，P1,P2如何，总有唯一解（D）存在k，P1,P2，使之有无穷多解在边长为1的正六边形ABCDEF中，记为A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、53.【2013上海,理18】a2、a3、a4、a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1、d2、d3、d4、d5.若m、M份别为(ai＋aj＋ak)·(dr＋ds＋dt)的最小值、最大值，其中{i，j，k}{1,2,3,4,5}，{r，s，t}{1,2,3,4,5}，则m、M满足(D)B．m＜0，M＞0D．m＜0，M＜0kkk,sincos)(k0,1,2,,12)，则54.【2015江苏高考，14】设向量ak(cos666A．m＝0，M＞0C．m＜0，M＝0k011(akak+1)的值为9355.【2014，安徽理15】已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和由2个a和3个b排列而成．记Sy1,y2,y3,y4,y5均x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）．②④．①S有5个不同的值．7Mathwang②若ab,则Smin与a无关．③若a∥b,则Smin与b无关．④若b4a，则Smin0．456.平面向量的集合A到B的映射由f(x)x2(xa)a确定，其中a为常向量.若映射f满足）f(x)f(y)xy对x,yA恒成立，则a的坐标不可能是（D.(,)2257.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2(R),A1A4A1A2(R)，且112，则称A3,A4调和分割A1,A2.已知点C(c,0),D(d,0)(c,dR)调和分割点A(0,0),B(1,0)，则下面说法正确的是（）A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上58.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，AOOC，BOOD，又以DC边的中点P为圆心，DP长为半径作圆P，用向量知识解答下列问题：M（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）若圆P的一直径MN两端可在圆周上滑动，问：当直径MN在什么位置时，DCAMBN与值最大.A.(0,0)B.(⑤若|b|2|a|,S2，则与的夹角为8|a|abmin22,)44C.(22,)2213AOBNC59.如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时PQ与BCBPCQ的值最大？并求出这个最大值.aAB8