01.量子力学基础知识
本章主要知识点
一、微观粒子的运动特征 1. 波粒二象性：E=hν,p=
h
λ
2. 测不准原理：∆x∆px≥h,∆y∆py≥h,∆z∆pz≥h,∆t∆E≥h
3. 能量量子化； 二、量子力学基本假设
1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。
不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。
由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。
对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。
波函数ψ可以是复函数，ψ2
=ψ*⋅ψ 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。
2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。
算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。
线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算符。
1
乐山师范学院 化学学院
ˆ(cψ+cψ)=cAˆˆψ A11221ψ1+c2A2
*ˆˆψ)*dτ的算符。 自厄算符：满足∫ψ2(Aψ1)dτ=∫ψ2(A1
自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正交。
ˆ作用于某一状态函数ψ，等于某一常数a乘3. 假设3：若某一物理量A的算符A
ˆψ=aψ，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确以ψ，即：A
ˆ的本证值，ψ称为Aˆ的本证函数。 定的数字a。a称为物理量算符A
4. 假设4：态叠加原理：若ψ1,ψ2,\"ψn,为某一微观体系的可能状态，则由它们线性组合所得的ψ也是体系可能的状态。ψ=c1ψ1+c2ψ2+\"+cnψn=∑ciψi。
i
力学量A的平均值：A=
*ˆψ∫Aψdτ∫ψψdτ*
。
5. 假设5：Pauli原理：在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个自旋相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反对称的。
三、箱中粒子的Schrödinger方程及其解
1. 一维无限势阱的Schrödinger方程：
=2d2ψ−=Eψ 2mdx2
n2h22nπx
其解为：ψn(x)= sin()，En=2
8mlll
解的特点：（1）粒子可以存在多种运动状态；（2）能量是量子化的；（3）存在零点能；（4）没有经典运动轨道，只有概率分布；（5）存在节点，节点越多，能量越高。以上这些特点是所以量子力学体系都有的特点。
2
乐山师范学院 化学学院
本章习题解答
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃；
-1
（b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
hh6.626×10−34J⋅s−22
=−10=6.626×10m (1) λ==−1
pmv10kg×0.01m⋅s
(2)λ=
=
hh=p2mT6.626×10−34J⋅s2×1.675×10−27kg×0.1eV×1.602×10−19J⋅(eV)hh=p2meV6.626×10−34J⋅s2×9.109×10−31kg×1.602×10−19C×300V
−1 =9.403×10-11m(3) λ= =
=7.08×10−11m
【1.6】对一个运动速度v< mv=P====mv λvv2 结果得出mv= 1 mv的结论。上述推导错在何处？请说明理由。 2 解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达： E=hν,p=h/λ式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而 联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式： p=mv知①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式： λ=u/ν 式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度v，但③中用了λ=u/ν，显然是错的。 在④中，E=hν无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。 3 乐山师范学院 化学学院 d2 【1.12】下列函数中，哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征值。 2dx ex,sinx,2cosx,x3,sinx+cosx d2exd2xx 解：=e，e是2的本征函数，本征值为1。 2 dxdx d2d2 sinx=−1×sinx,sinx是2的本征函数，本征值为−1。 2dxdxd2d2 (2cosx)=−(2cosx),2cosx是2的本征函数，本征值为−1。 2dxdxd23d23 x=6x，x不是算符2的本征函数 2dxdx d2d2 (sinx+cosx)=−(sinx+cosx)，(sinx+cosx)是2的本征函数，本征值2dxdx 为−1。 【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为 ψn(x)= 2nπx n=1,2,3,\" sinll 式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标(0 22d2nπxhd2nπnπxˆψ(x)=−=−H(sin)(cos)n2228πmdxll8πmdxlllh2=−= 2nπnπnπx(sin)−8π2mllllh222h2 nπ2nπxsin8π2ml2lln2h2ψn(x)=28mln2h2 即：E= 2 8ml ˆψn(x)≠cψn(x),xˆ无本征值，只能求粒子坐标的平均值： （2）由于x 4 乐山师范学院 化学学院 *⎛2nπx⎞2nπx*ˆψn(x)dx=∫⎜(x)xsinsindxx=∫ψnx⎟⎟00⎜l⎠ll⎝l2l2l⎛112nπx⎞2nπx=∫xsindx=∫x⎜−cos ⎟dxl0ll0⎝22l⎠ll=l2⎡l2nπx⎤−dcosdx⎥xxx∫∫00l⎢l⎣⎦ = 2⎡ll−xdx∫l⎢2nπ⎣0 ∫ l 0 xdsin 2nπx⎤ l⎥⎦ 2l⎡2xl =⎢−l⎢202nπ⎣l=2 l l2nπx⎞2nπx⎤⎛ dx⎥ ⎜xsin⎟+∫0sin l⎠0l⎝⎥⎦ ˆ无本征值。按下式计算px的平均值: ˆψn(x)≠cψn(x),p（3）由于p *ˆxψn(x)dx(x)ppx=∫ψn0l2nπx⎛ihd⎞2nπxsinsindx −⎜⎟0ll⎝2πdx⎠llinhlnπxnπx=−2∫sincosdx=0l0ll=∫l【1.18】链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。 解：该分子共有4对π电子，当分子处于基态时，8个π电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，π电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为∆E=E5−E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得： (n+1)2h2n2h2h2 ∆E=hν==−=(2n+1) 8ml28ml28ml2λhc 因此： ⎡(2n+1)hλ⎤ l=⎢ ⎣8mc⎥⎦ 1/2 ⎡(2×4+1)×6.626×10−34J⋅s×460×10−9m⎤=⎢ ⎥−31−18 ⎣8×9.109×10kg×2.988×10m⋅s⎦=1120pm 计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。 【1.19】一个粒子处在a=b=c的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h2/(8ma2) 5 乐山师范学院 化学学院 为单位]，计算每个能级的简并度。 解：质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为： Enx,ny,nz h2222=n+n+n() xyz28ma=n+n+n 2x 2y 2z 以h2/(8ma2)为单位： Enx,ny,nz E111=3 E112=E121=E211=6 E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12 1211963E222 E113=E131=E311E122=E212=E221E112=E121=E211E111 图1.18 立方势箱能级最低的前5个能级简并情况 【1.20】若在下一离子中运动的π电子可用一维势箱近似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级公式En=nh/8ml估算π电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0nm比较。 HH3CCNCH3CHHCCHHCCHHCNCH32 2 2 CH3 当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个π解：该离子共有10个π电子，型分子轨道上。离子受到光的照射，π电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长： 62h252h211h2 ∆E==E6−E5=−= 8ml28ml28ml2λhc8mcl2 λ= 11h= 8×9.1095×10−31kg×2.9979×108m⋅s−1×(1.3×10−9m)11×6.6262×10 −34 2 J⋅s =506nm 实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。 【1.21】已知封闭的圆环中粒子的能级为： n2h2 En=22 n=0,±1,±2,\" 8πmR 式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中π6离域π键，取 6 6 乐山师范学院 化学学院 R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。 解：由量子数n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个π电子填入n=0，1，−1等3个轨道，如图1.20所示： 4∆E10↑↓↑↓↑↓ 图1.20苯分子π6能级和电子排布 6 ∆E=E2−E1 2(= 2 −12)h2 8π2mR2 hc3h2 =22= 8πmRλ8π2mR2c λ= 3h 8π2×(9.11×10−31kg)×(1.40×10−10m)×(2.998×108m⋅s−1)= −34 3×(6.626×10J⋅s)=213×10−9m=212nm 实验表明，苯的紫外光谱中出现β，Γ和α共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于π电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。 【1.22】函数ψ(x)=222⎛2πx⎞⎛πx⎞sin⎜3in⎜−⎟⎟是否是一维势箱中粒子的一种可能状aaaa⎝⎠⎝⎠ 态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。 解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数 ψ1(x)= 22⎛πx⎞⎛2πx⎞ sin⎜()sin和ψx=2⎟⎜⎟都是一维势箱中粒子的可能状态（本征aa⎝a⎠⎝a⎠ 态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为 Hψ(x)=H⎡⎣2ψ1(x)−3ψ2(x)⎤⎦ ∧ ∧ ∧∧ =2Hψ1(x)−3Hψ2(x) 7 乐山师范学院 化学学院 h24h2 =2×ψ1(x)−3×ψ2(x)8ma28ma2 ≠ 常数×ψ(x) 注：只有相同本征值的本征函数线性组合的函数才是本征函数。 ˆ的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。 所以，ψ(x)不是H 将ψ(x)归一化：设ψ'(x)=cψ(x)，即： ∫ a 0 ψ'(x)dx=∫cψ(x)dx=∫c2ψ2(x)dx 0 0 2 a 2 a =∫c2[2ψ1−3ψ3]dx 0 a 2 =13c2=1 c= 1 13123ψ(x)=ψ1−ψ2 131313ψ'(x)= ψ(x)所代表的状态的能量平均值为： a ˆψ'(x)dxE=∫ψ'(x)H 0 a⎡233⎤ˆ⎡2⎤ˆψ=Eψdx 利用H=∫⎢ψ1−ψ2⎥Hψ−ψ12nnn⎢⎥0 13⎦⎣1313⎦⎣13a⎡233⎤⎡2⎤ψ1−ψ2⎥⎢=∫⎢E1ψ1−E2ψ2⎥dx 利用∫ψiψjdτ=δij 013⎦⎣1313⎣13⎦ 49=E1+E21313412h2922h2=+2138ma138ma25h2= 13ma2也可不将ψ1(x)和ψ2(x)归一化，根据下列公式求出相应的平均能量： 8 乐山师范学院 化学学院 E ˆψdxψH∫= ∫ψψdx *0a *0 a ˆ(2ψ−3ψ)dx(2ψ−3ψ)H∫ˆψ=Eψ 利用H= ∫(2ψ−3ψ)(2ψ−3ψ)dx(2ψ−3ψ)(2Eψ−3Eψ)dx∫= 利用∫ψψdτ=δ∫(2ψ−3ψ)(2ψ−3ψ)dx 0 1 2 1 2 a n n n 0 1 2 1 2 a0 1 2 1 1 2 2 a i j 0 1 2 1 2 a ij 4E1+9E2 4+95h2= 13ma2= 作业完 【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ⋅mol为单位的能量。 −1 2.998×108m⋅s−114−1 =4.469×10s 解：ν==−7 670.8×10mλc ν= 1 λ= 14−1 1.49110cm=× −7 670.8×10cm E=hνNA=6.626×10−34J⋅s−1×4.469×1014s−1×6.03×1023mol−1=174.4kJ⋅mol−1 【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下： 波长λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 光电子最大动能Ek/10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。 解：将各照射光波长换算成频率ν,并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表： λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 9.59 8.21 7.41 5.49 v/1014s−1 Ek/10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 由表中数据作图，示于图1.2中 9 乐山师范学院 化学学院 4Ek /10J-19 321045678914-1ν/10g10 图1.2 金属的Ek ~ν图 由式hν=hν0+Ek推知 h= Ek∆Ek = ν−ν0∆ν即Planck常数等于Ek−v图的斜率。选取两合适点，将Ek和v值带入上式，即可求出h。 (2.7−1.05)×10−19J−134 =6.60×10J⋅s 例如： h=14−1 (8.50−6.00)×10s 图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属的临界频率v0，由图可知，v0=4.36×10s。因此，金属钠的脱出功为： 14−1 W=hv0=6.60×10−34J⋅s1×4.36×1014s−1=2.88×10−19J 【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10s，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ 解：hν=hν0+ -14-1 12mv 2 v= 2h(ν−ν0)m2×6.26×10−34= =8.12×105m⋅s−1 2.998×108m⋅s−114−1J⋅s(5.46410s)−×−9300×10m 9.109×10−31kg【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。 解：根据de Broglie关系式： 10 乐山师范学院 化学学院 λ= = hhh==pmv2meV6.626×1034J⋅s2×9.109×10kg×1.602×10C×2×10V-1 -1 −31−195 =2.742×10−12m 【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s）、作布郎、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速度的不运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1） 确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？ 解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为： h6.626×10−34J⋅s−34 ==6.63×10m 子弹：∆x=−1 m∆v0.01kg×1000×10%m⋅sh6.626×10−34J⋅s=−9=6.63×10−25m 尘埃：∆x=−1 m∆v10kg×10×10%m⋅sh6.626×10−34J⋅s−20 =−13=6.63×10m 花粉：∆x=−1 m∆v10kg×1×10%m⋅sh6.626×10−34J⋅s−6 ==7.27×10m 电子：∆x=−31−1 m∆v9.1.0910kg×1000×10%m⋅s 【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度∆v为v的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？ 解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为： ∆x= hh= m∆vm2eV/m×10%10h= 2meV 10×6.626×10−34J⋅s= 2×9.109×10−31kg×1.602×10−19C×103V=3.88×10−10m 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。 【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用10000V电压加速电子）。 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为： −6 11 乐山师范学院 化学学院 ∆x= 1hhhhh=====1.226×10−9m∆pmvm2T/mm2eV/m2eVmV1 =1.226×10−9m10000=1.226×10−11m −5 −5 这不确定度约为光学光栅周期的10倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10倍，用光学光栅观察不到电子衍射。 解法二：若电子位置的不确定度为10m，则由不确定关系决定的动量不确定度为： −6 h6.626×10−34J⋅s∆px===6.626×10−28J⋅s⋅m−1 −6 ∆x10m 在104V的加速电压下，电子的动量为： px=mvx=2meV=2×9.109×10−31kg×1.602×10−19C×104V =5.402J⋅s⋅m−1 由∆px和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为： θ=arcsin ∆px px =arcsin10−5 ≈0o 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。 【1.10】根据不确定度关系 (a)H2分子中的电子，（b）（1）将下列微粒最小速度的不确定度∆vmin增加的顺序排列起来： H2分子中的H原子，（c）C原子核中的质子，（d）纳米管中的H2分子，（e）5m宽箱中的O2分子。 解：（1）不同粒子的质量m的数值约为：（a）电子9.1×10（c）H原子：1.7×10 −27 −11 kg，（b）质子：1.7×10−27kg， −27−26 kg，（d）H2分子：3.4×10kg，（e）O2分子：5.3×10kg。 ∆x的数值约为：H2分子3×10−10m，C原子核1×10−15m，纳米管1×10−9m，5m箱 5m。 从∆x∆px=h出发，考虑∆px=m∆vmin。∆vmin可按下式估算： ∆vmin=h/(m⋅∆x) ∆vmin由小到大的次序为： 12 乐山师范学院 化学学院 (e)<(d)<(b)<(a)<(c) (2) (a) H2分子中的电子为： ∆vmin 6.6×10−34J⋅s6−1 =h/(m⋅∆x)==2.4×10m⋅s−11−10 (9.1×10kg)(3×10m)（e）5m宽箱中的O2分子 ∆vmin 6.6×10−34J⋅s =h/(m⋅∆x)==2.5×10−9m⋅s−1 −26 (5.3×10kg)(5m)−ax2 【1.11】ψ=xe ⎛d222⎞是算符⎜2−4ax⎟的本征函数，求其本征值。 ⎝dx⎠ 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和III（本征函数，本征值和本征方程）得： ⎛d2⎛d2−ax222⎞22⎞axψaxxe−=−44⎜2⎟⎜2⎟ xxdd⎝⎠⎝⎠ 22d2 =2(xe−ax)−4a2x2(xe−ax)dx 222d =(e−ax−2ax2e−ax)−4a2x3e−axdx =−2axe−ax−4axe−ax+4a2x3e−ax−4a2x3e−ax=−6axe−ax=−6aψ因此，本征值为−6a。 【1.13】e imφ22 2 2 2 和cosmφ对算符i d 是否为本征函数？若是，求出本征值。 dφ解：i imφdimφe=imeimφ dφ是算符i 所以，e d 的本征函数，本征值为im。 dφ而i dd 的本征函数。 cosmφ=−imsinmφ≠ccosmφ，所以cosmφ不是算符i dφdφ证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为： 【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。 ψn(x)= 2nπx0 13 乐山师范学院 化学学院 ∫ψn(x)ψn'(x)dx=∫0ll02nπx2n'πxsinsindxllll2lnπxn'πx11=∫sinsindx 利用sinαsinβ=−cos(α+β)+cos(α−β)l0ll22 2l1n+n'n−n'πx+cosπx)dx=∫（-cosl02lln+n'1lπn−n'⎫⎧1lππx+πx⎬=0 n≠n'=⎨−coscos+−lnnllnnl''⎩⎭0根据定义可知，ψn(x)和ψn'(x)互相正交。 【1.16】求一维势箱中粒子在ψ1和ψ2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。 解：（a）ψ1(x)= ψ2(x)= 2 l2πx 2πx 2 ψ1(x)=sin2sinllll22πx22πx2 ψ2 sin(x)=sin2 llll 2 由上述表达式计算ψ1(x)和ψ2(x)，并列表如下： x/l 0 1/8 1/4 1/3 3/8 1/2 0.293 1.000 1.500 1.726 2.000 1.000 2.000 1.500 1.000 0 ψ12(x)/l−1 0 2 ψ2(x)/l−1 0 x/l 5/8 2/3 3/4 7/8 1 1.726 1.500 1.000 0.293 0 1.000 1.500 2.000 1.000 0 2 ψ12(x)/l−1 2ψ2(x)/l−1 根据表中所列数据作ψn(x)~x图示于图1.16中。 2.0 -12.0−1ψ1 (x)/l1.00.50.00.02 ψ2(x)/l1.51.51.00.50.00.0 0.20.40.6x / l 0.81.020.20.40.6x / l 0.81.0 图1.16 14 乐山师范学院 化学学院 （b）粒子在ψ1状态时，出现在0.49l~0.51l间的概率为： ⎛2πx⎞20.51l2πx2P1=∫0.49lψ1(x)dx=∫0.49l⎜⎜lsinl⎟⎟dx=l∫0.49lsinldx ⎝⎠ 20.51l⎛112πx⎞2⎡xl2πx⎤0.51lx=∫⎜−cos=−dsin0.49l=0.0399⎟⎢⎥0.49lll⎠l⎣24πl⎦⎝220.51l0.51l2粒子在ψ2状态时，出现在0.49l~0.51l间的概率为： P2=∫⎛22πx⎞sin⎜⎟⎟dx0.49l0.49l⎜ll⎝⎠20.51l2πx20.51l⎛114πx⎞=∫sin2dx=∫⎜−cos⎟dx 0.490.49llllll⎠⎝220.51l2ψ22(x)dx=∫0.51l= 2⎡xl4πx⎤−sinl⎢l⎥⎣28π⎦0.51l0.49l=0.0001（c）计算结果与图形符合。 【1.17】设粒子处在0~a范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波函数 ψ(x)= 表示，试估算： 4⎛πx⎞2⎛πx⎞sin⎜⎟cos⎜⎟ a⎝a⎠⎝a⎠（1）该粒子能量的可测值及相应的概率； （2）能量平均值。 [提示：利用三角函数展开ψ(x)，再用一维势箱中粒子的归一化波函数的线性组合 ψ=∑cnψn形式表达，由组合系数进行计算。] 解：（1）利用三角函数的性质，直接将ψ(x)展开： ψ(x)= 42πx⎞⎛πx⎞2⎛πx⎞2⎛πx⎞⎛sin⎜cossin1cos=+⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟a⎠aa⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠⎝πx2⎛πx2πx⎞sinsincos=+⎜⎟ 再利用积化和差公式 aaaa⎝⎠πx⎞2⎛πx13πx1 =sinsinsin+−⎜⎟a2a2aa⎝⎠πx12123πx +sinsinaa2a2a11=ψ1(x)+ψ3(x) 22= 只有两种可能的能量值：E1=h/8ma 2 (2 )，概率P=c 1 2 1 =1/2 15 乐山师范学院 化学学院 2 E3=9h2/(8ma2)，概率P3=c3=1/2 5h2 （2）能量的平均值为：cE1+cE3=。 2 8ma 21 23 【1.23】一个质量为m的粒子被束缚在一个长度为l的一维势箱中运动，其本征函数为 ψn(x)= 2nπx n=1,2,3,\" sinll 若该粒子的某一运动状态用下列波函数表示： φ(x)=0.6ψ1(x)+0.8ψ2(x) （1）指出该粒子处于基态和第二激发态的概率； （2）该粒子出现在0≤x≤l/3范围内的概率； （3）对此粒子的能量作一次测量，估算可能的实验结果。 解：（1）该粒子处于基态的概率为：c1=0.36，处于第二激发态的概率为：c3=0。 （2）粒子出现在0≤x≤l/3范围内的概率为： 2 P=∫φ2(x)dx=0.36∫ψ12(x)dx+0.96∫ψ1(x)ψ2(x)dx+0.64∫ψ2(x)dx 0 0 0 0 l/3 l/3 l/3 l/3 22 ⎛2l/3l/3⎛πx⎞2πx22πx22πx⎞sind0.96sinsind0.64sindxxx=0.36∫⎜++⎟⎜⎟∫∫⎟⎜⎟0⎜00l⎠lllll⎠⎝l⎝l⎛1⎛13⎞33⎞0.480.64=0.36⎜−+++⎟⎜⎜38π⎟⎜34π⎟⎟π⎠⎝⎠⎝ =0.592 l/322 （3）对此粒子的能量作一次测量，得到的结果是不确定的，但只有两种可能：E1占36%， E2占64%。 16 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容