【数学】2013年高考真题 全国卷(理)解析版

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合A1,2,3,B4,5,Mx|xab,aA,bB,则M中元素的个数为

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（2）1+3i3

（A）8 （B）8 （C）8i （D）8i

（3）已知向量m1,1,n2,2,若mnmn,则=

（A）4 （B）-3 （C）2 （D）-1

（4）已知函数fx的定义域为-1,0，则函数f2x1的定义域为

（A）1,1 （B）1,【答案】B

【解析】由题意可知 12x10,，则1x（5）函数fx=log111 （C） （D）-1,0,1 221。故选B 211x0的反函数fx= x（A）

11 （B）（C）2x1xR （D）2x1x0 x0x0 xx2121112yxy(y0)， 因此 x21【答案】A

【解析】由题意知1，故选A

（6）已知数列an满足3an1an0,a2,则an的前10项和等于

（A）-61-3-10 （B）

4311-3-10 （C）31-3-10 （D）31+3-10 9

（7）1x1+y的展开式中xy的系数是

2234（A）56 （B）84 （C）112 （D）168

x2y21的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值（8）椭圆C:46范围是2,1,那么直线PA1斜率的取值范围是

1 （D），1 （A）， （B）， （C），248424133313

（9）若函数fx=xax211在,是增函数，则a的取值范围是 x2（A）-1，0 （B）-1， （C）0，3 （D）3，+

（10）已知正四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于

（A）

3212 （B） （C） （D）

3333【】A

【解析】如下图，连接AC交BD于点O，连接C1O,过C作CHC1O于H

（11）已知抛物线C:y8x与点M2,2,过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于

2uuuruuurA,B两点,若MAgMB0,则k

（A）

21 （B） （C）2 （D）2

22【】D

【解析】由题意知抛物线C的焦点坐标为，则直线AB的方程为y=K（x-2），

∴ (x12,y12)•(x22,y22)0

所以：x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80 ④ 由①②③④解得K=2，故选D

（12）已知函数fx=cosxsin2x,下列结论中正确的是

（A）yfx的图像关于,0中心对称 （B）yfx的图像关于x（C）fx的最大值为2对称

3 （D）fx既是奇函数，又是周期函数 2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知a是第三象限角，sina,则cota .

13

（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 【】480

【解析】 先排除甲、乙外的4人，方法有A4再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有

4A52的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有A44A52=480

x0,（15）记不等式组x3y4,所表示的平面区域为D.若直线

3xy4,yax1与D有公共点，则a的取值范围是 .

（16）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，

3则球O的表面积等于 . OK，且圆O与圆K所在的平面所成角为60o，2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）

已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列，求an的等差数列an的前n项和为Sn.通项式.

18．（本小题满分12分）

设

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,abcabcac.

（I）求B;

sinAsinC（II）若

31,求C.4

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD,PAB与PAD都是等边三角形.

（I）证明：PBCD;

（II）求二面角APDC的大小.

o

20．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为第1局甲当裁判.

（I）求第4局甲当裁判的概率；

（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

1,各局比赛的结果都相互独立，2

21．（本小题满分12分）

x2y2已知双曲线C:221a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线

aby2与C的两个交点间的距离为6.

（I）求a,b;；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且

AF1BF1,证明：AF2、AB、BF2成等比数列.

22．（本小题满分12分） 已知函数fx=ln1xx1x1x.

（I）若x0时,fx0,求的最小值;； （II）设数列an的通项an111231n,证明：aa12nn4nln2.