考点04 分段函数(原卷版)

一、 知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总:

（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.

（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(x)的值，若有f(x)=f(x),当x=0有定义时f(0)0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数.

（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.

（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.

（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.

（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.

（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.

（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.

（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.

2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.

将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.

二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值

1.1考题展示与解读

x,0x1,若fafa1,则例1.（2017山东文9）设fx2x1,x1A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

1.2【典型考题变式】

1f （ ） ax2x,0x211.【变式1：改编条件】已知函数f(x)=，若f(a)f(a2)，则f()=（ ）

a2x8,x2A.

517 B. 2 C.6 D. 1621x,0x1fx2. 【变式2：改编结论】设,若fa,则a （ ）

22x1,x1B.

【变式3：改编问法】已知f（x）是R上的奇函数，且f（x）=

，则f（﹣）=（ ）

1515 B. C. 或 D. 2 4444A．

B． C．1 D．﹣1

x24,x2,【变式4：函数迭代】已知aR，函数fx若ffx3a,x2.

3， 则a ．62.分段函数的最值与值域

2.1考题展示与解读

x33x,xa例2【2016年高考北京理数】设函数f(x).

2x,xa①若a0，则f(x)的最大值为______________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.

2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数

A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，5] D．[5，+∞）

的最小值是1，则实数a的取值范围是（ ）

x33x,xa【变式2：改编结论】设函数f(x)，讨论f(x)的值域.

2x,xa

【变式3：改编问法】已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞

0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣，1] B．[，] C．[，] D．[，2]

3.分段函数的解析式

3.1考题展示与解读

cos2x2a,xa,例3．（2021年高考天津卷9）设aR，函数fx2，若函数fx在区2x2a1xa5,xa间0,内恰有6个零点，则a的取值范围是 A．2,

3.2【典型考题变式】

（ ）

951175119 B． C．,,2,2,4244244117 D．,3,24411,3 42x,x2,【变式1：改变条件】已知函数fx 函数gxbf2x ，其中bR，若函2x2,x2,数yfxgx 恰有4个零点，则b的取值范围是( ) （A）

7777, （B）, （C）0, （D）,2

4444【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不

同的零点，则k的取值范围是（ ） A．（﹣2C．（﹣2

]∪{} B．（﹣2+]∪{} D．（﹣2+

，0]∪{} ，0]∪{}

2x,x2,【变式3：改编结论】已知函数fx 函数gxbf2x ，其中bR，若方2x2,x2,程fxgx=0 恰有2个不同的解，则b的取值范围是( ) （A）2,{} （B）2,+ （C）0, （D）

【变式4：改编问法】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x24x，则方程f(x)x2解的个数为 .

74747,2 44.分段函数图像

4.1考题展示与解读

3x3t4t,,t1,1，下列选项的图中，符合该方程的例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程2y2t1t是 （ ）

4.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】已知函数f（x）=的取值范围是（ ） A．[﹣1，0）

B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）

，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a

2x,x0,【变式2：改编条件】已知函数fx{2 ，若函数gxfxkx1恰有两个零点，则实

x,x0数k的取值范围是

A. ,14, B. ,14,

 C. 1,04, D. 1,04,

|x|2,x1,【变式3：改编结论】已知函数f(x)，则函数yf(x)|x|零点个数为 （ ） 2x,x1.x（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【变式4：改编问法】已知函数

，则函数f(x)的图象是（ ）

A． B．

C．

D．

5.分段函数性质

5.1考题展示与解读

x2(4a3)x3a,x0,例5【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，

log(x1)1,x0a且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） （A）（0，

5.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】已知函数f（x）=a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，]

B．[，+∞）

C．[，] D．（，）

在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数

22312] （B）[，] （C）[，]

33334{

3123}（D）[，）{}

3344x24x3,x0, 不等式fxaf2ax在【变式2：改编结论】已知fx2x2x3,x0,成立，则实数的取值范围是（ ） A.

【变式3：改编问法】已知函数A．f（x）不是周期函数 B．f（x）在

上是增函数

则下列结论错误的是（ ）

B.

C.

D.

上恒

C．f（x）的值域为[﹣1，+∞）

D．f（x）的图象上存在不同的两点关于原点对称

6.分段函数的综合应用

6.1考题展示与解读

2x,x≤0例2【2018全国卷Ⅰ】设函数f(x)，则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是（ ）

1,x0A．(,1]

6.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】已知函数f（x）=A．（﹣2，1）

【变式2：改编结论】．已知函数fx{则abc的取值范围为（ ）

A. e,e2 B. 1,e2 C. ,e D. ,e

，则不等式f（x+2）＜f（x2+2x）的解集是（ ）

B．(0,)

C．(1,0)

D．(,0)

B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）

lnx,0xe2lnx,xe，若正实数a,b,c互不相等，且fafbfc，

1

e1e2【变式3：改编问法】已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到

大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（ ） A．[4，5） B．（4，5]

C．[4，+∞） D．（﹣∞，4]

三、课本试题探源

必修1 P39页习题1.3 A第6题：已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x(1x).画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

【解析】当x0时，x0，所以f(x)x(1x)， 因为函数f(x)是定义域在R上的奇函数，

所以f(x)f(x)x(1x)， 所以f(x)x(1x)， 所以函数的解析式f(x)函数图象如下图所示：

x(1x),x0，

x(1x),x0

四．典例高考试题演练

一、单选题

log2(2x),x1f(x)1．2021·（四川成都零模（文））已知函数则f(2)f(ln4)（ ） xe,x1A．2

2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数f(x)[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]1，[1.5]2，[2]2.当x[0,n)(nN*)时，f(x)的值域为An.记集合An中元素的个数为an，则

2020i2B．4 C．6 D．8

a1的值为（ ） i1A．

4040 2021B．

2019 2021C．

2019 2020D．

2019 1010ax1,(x1)3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数f(x)，满足对任意x1x2，都有

(a2)x3a,(x1)f(x1)f(x2)0成立，则a的取值范围是（ ）

x1x2A．a0,1

3B．a,1

43C．a0,

43D．a,2

44．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N都可以表示成Na10n(1a10,nZ).定

N的整数部分的位数,n0义：WN＝，如

N的非有效数字0的个数,n0W1.21023,W(1.2310)2,W31022,W3.0011011，则下列说法错误的是（ ）

A．当M1,N1时，W(MN)W(M)W(N) B．当n0时，W(N)n C．当n0,W(N)n1

D．若N＝2100,lg20.301，则W(N)31

1logax,x1fx5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数，方程fx10有两解，则a的取值2x12a,x1范围是（ ） 1A．(,1)

21B．(0,)

2C．(0,1)

D．1,

ax2,x2fx6．2021·（山东济南模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是32alnx1,x2（ ） A．0,1

7．（2021·山西名校联考）已知函数f(x)cosxx,g(x)lnx，用max{a,b}表示a，b中的最大值，则函数h(x)maxf(x),g(x)(x0)的零点个数为（ ） A．0

22x,x08．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数fx，若存在唯一的整数x，使得

3x13,x0B．0,2

3

C．0,

23D．1,

2B．1 C．2 D．3

fx10成立，则满足条件的整数a的个数为（ ） xaA．2

二、多选题

B．3 C．4 D．无数

21x2,x1,19．（2021·重庆高三三模）fx是定义在R上周期为4的函数，且fx，则下列说法1x2,x1,3中正确的是（ ） A．fx的值域为0,2

B．当x3,5时，fx2x28x15 C．fx图象的对称轴为直线x4k,kZ D．方程3fx

x恰有5个实数解

x21,x0,10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数fx则（ ）

cosx,x0.A．fx是偶函数

C．存在x00，使得fx0f0

B．fx值域为1,

D．fx与fx具有相同的单调区间

4xm,x211．（2021·山东章丘模拟）若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能

2021(xm)(x3m),x2为（ ） A．1

B．2

C．15

D．16

3a,1x0x112．（2021·重庆一中高三模拟）已知fx是定义在1,上的函数，则（ ）

1xa,x025A．若fx为增函数，则a的取值范围为,

2B．若fx为增函数，则a的取值范围为3,

1C．若fx为减函数，则a的取值范围为,1

2D．若fx为减函数，则a的取值范围为0,1

三、填空题

x12,x113．（2021·福建宁德）已知函数f(x)logx,x1，若fx02，则x0___________.

12

ax,x114．（2021·广东六校联考）若a＞0且a≠1，且函数f(x)在R上单调递増，那么a的取值

axa2,x1范围是________．

lnx,x015．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知函数f(x)x1，则

2,x0

f1f______． ex16．（2021·百师联盟联考）函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxax12，则

ff3______．

2x22m,x117．（2021·广东5月卫冕联考）若函数fx3有最小值，则m的一个正整数取值可以为22x6x,x1___________.

1x,x018．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知函数fx2，则

fx2,x01flog2______．

5