初中尺规作图详细讲解含图

初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

历史上，最着名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径r1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.

若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.

还有另外两个着名问题： ⑴ 正多边形作法

·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形.

·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着

名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.

·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.

·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用

尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.

⑵ 四等分圆周

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸：

用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形

2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得ABBCCA.

3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.

4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！. 五种基本作图：

初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线 下面介绍几种常见的尺规作图方法： ⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两

个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、

B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条

件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD或OE；

⑵ 作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是发射塔的位置.

【例2】 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线yx3上求一

点P，使AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？

【解析】 首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在yx3上；二是AOP必须是等腰三

角形.其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OAOP时，以O点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点P1、P2；当OAAP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当POPA时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点P3，所以总计这样的P点有3个.

【例3】 设⊙O与⊙O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r的圆，使其与⊙O及⊙O'外切. 【分析】 设⊙M是符合条件的圆，即其半径为r，并与⊙O及⊙O'外切，显然，点M是由两个

轨迹确定的，即M点既在以O为圆心以Rr为半径的圆上，又在以O'为圆心以R'r为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若⊙O与⊙O'相距为b，当2rb时，该题无解，当2rb有唯一解；当2rb时，有两解.

【解析】 以当⊙O与⊙O'相距为b，2rb时为例：

⑴ 作线段OARr，O'BR'r.

⑵ 分别以O，O'为圆心，以Rr，R'r为半径作圆，两圆交于M1,M2两点. ⑶ 连接OM1，OM2，分别交以R为半径的⊙O于D、C两点. ⑷ 分别以M1，M2为圆心，以r为半径作圆. ∴⊙M1,⊙M2即为所求.

【思考】若将例3改为：“设⊙O与⊙O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r(rR)的圆，

使其与⊙O 内切，与⊙O'外切.”又该怎么作图？

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代

数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为

代数作图法.

【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】 设半径为1.可算出其内接正方形边长为2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们

的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个3的长度.设法构造斜边为

3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就出来了.

【解析】 具体做法：

⑴ 随便画一个圆.设半径为1.

⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为3. ⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为3的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是2.）

⑷ 以2的长度等分圆周就可以啦！

【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC的面积.

【分析】 设ABC的底边长为a，高为h，关键是在于求出正方形的边长x，使得x21ah，所2以x是a与h的比例中项.

【解析】 已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h，

12求作：正方形DEFG，使得：S正方形DEFGSABC 作法：

⑴ 作线段MDa；

⑵ 在MD的延长线上取一点N，使得DNh； ⑶ 取MN中点O，以O为圆心，OM为半径作⊙O； ⑷ 过D作DEMN，交⊙O于E， ⑸ 以DE为一边作正方形DEFG. 正方形DEFG即为所求.

【例6】 在已知直线l上求作一点M，使得过M作已知半径为r的⊙O的切线，其切线长为a. 【分析】 先利用代数方法求出点M与圆心O的距离d，再以O为圆心，d为半径作圆，此圆

12与直线l的交点即为所求.

【解析】 ⑴ 作RtOAB，使得：A90，OAr，ABa.

⑵ 以O为圆心，OB为半径作圆.

若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.

M1，M2即为所求.

若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.

若此圆与直线l相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为

r的⊙O的切线，其切线长为a.

⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已

知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.

【例7】 已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.

求作：正ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.

【分析】 假设ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作ADb于D，

将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于ACD'的位置，此时点D'的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作BAC60，B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.

【解析】 作法：

⑴ 在直线a上取一点A，过A作ADb于点D； ⑵ 以AD为一边作正三角形ADD'； ⑶ 过D'作D'CAD'，交直线c于C；

⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B(使B与D'在AC异侧). ⑸ 连接AB、AC、BC得ABC.

ABC即为所求.

【例8】 已知：如图，P为AOB角平分线OM上一点.

求作：PCD，使得P90，PCPD，且C在OA上，D在OB上. 【解析】 ⑴ 过P作PEOB于E.

⑵ 过P作直线l∥OB;

⑶ 在直线l上取一点M，使得PMPE(或PM'PE)； ⑷ 过M(或M')作MCl（或M'Cl），交OA于C(或C')点；

⑸ 连接PC(或PC')，过P作PDPC(或PD'PC')交OB于D（或D'）点. 连接PD,CD(或PD',C'D'). 则PCD(或PC'D')即为所求.

⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，

作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或

缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.

【例9】 已知：一锐角ABC.

求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.

【分析】 先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作出与正方形DEFG位似的正方形D'E'F'G'，

然后利用位似变换将正方形D'E'F'G'放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形

DEFG.

【解析】 作法：

⑴ 在AB边上任取一点G'，过G'作G'D'BC于D'

⑵ 以G'D'为一边作正方形D'E'F'G'，且使E'在BD'的延长线上. ⑶ 作直线BF'交AC于F.

⑷ 过F分别作FG∥F'G'交AB于G；作FE∥F'E'交BC于E. ⑸ 过G作GD∥G'D'交BC于D. 则四边形DEFG即为所求.

⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三

角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，

从而完成所作图形.

【例10】 如图，过ABC的底边BC上一定点，P，求作一直线l，使其平分ABC的面积.

【分析】 因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设PQ平分ABC的面积，

在AMC中先割去AMP，再补上ANP.只要NM∥AP，则AMP和AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN就平分了ABC的面积.

【解析】 作法：

⑴ 取BC中点M，连接AM,AP; ⑵ 过M作MN∥AP交AB于N； ⑶ 过P、N作直线l. 直线l即为所求.

【例11】 如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.

⑴ 请你作一条直线l，使直线l平分五边形ABCDE的面积；

⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.

【解析】 ⑴ 取梯形AFDE的中位线MN的中点O，再取矩形BCDF对角线的交点O'，则经过

点O，O'的

直线l即为所求；

⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.

【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C将线段AB分成两部分，如果

ACBC，那么称点C为ABAC线段AB的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果

S1S2，那么称直线l为该图形的黄金分割线． SS1⑴ 研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2)，则直线

CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图3)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E是YABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是YABCD的黄金分割线．请你画一条YABCD的黄金分割线，使它不经过YABCD各边黄金分割点．

C A C B A D B A F C D E B 图3

D F A E 图4

C B 【解析】 ⑴ 直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

图1 AB上的高为h．设△ABC的边 2 图

S△ADC111h， ADgh，S△BDCBDgh，S△ABCABg222S△ADCADS△BDCBD∴，．

S△ABCABS△ADCAD又∵点D为边AB的黄金分割点，

ADBD∴．∴ABADS△ADCS△BDC． S△ABCS△ADC∴直线CD是△ABC的黄金分割线．

⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，

此时S1S2S，即

12S1S2， SS1∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． ⑶ ∵DF∥CE，

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等， ∴S△DECS△FCE．

设直线EF与CD交于点G，∴S△DGE∴S△ADCS四边形AFGDS△FGC

S△FGC．

S四边形AFGDS△DGES△AEF，

S△BDCS四边形BEFC． 又∵

D N F G C D N F A E M B （答案图2）

C S△ADCS△BDCSB S，∴△AEF四边形BEFC． A E M S△ABCS△ADCS△ABCS△AEF（答案图1）

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：如答图1，取EF中点G，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，

则直线MN就是YABCD的黄金分割线．

画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于

点M，

连接MN，则直线MN就是YABCD的黄金分割线．