2017年12月第38卷第6期
岭南师范学院学报
JOURNALOFLINGNANNORMALUNIVERSITY
Vol.38 No.6
Dec.2017
2
丢番图方程x3+27=67y整数解的研究
李双娥,李光华,上官军胜,林春华,王勇红
()江西师范高等专科学校,江西鹰潭335000
2
利用递归数列、同余式和平方剩余研究了丢番图方程x3+2并求 摘 要:7=67y的整数解,
),()出了它的全部整数解为(x,=(-3,01320,5859.y)
关键词:丢番图方程;整数解;递归数列
()中图分类号:O156.1 文献标志码:A 文章编号:1006-4702201706-0027-03
2
),当D没有6其解的 对于丢番图方程x3±27=DD>0k+1的素数的奇次方因数时,y(
1]
结构已由曹玉书[得到.但当D有6它的整数解较难求出.本文利用递k+1形状的素因数时,
2
归数列、同余式和平方剩余研究了丢番图方程x3+2得到它的全部整数解7=67y的整数解,
),()为(x,=(-3,01320,5859.y)
2]2
),()引理[ 丢番图方程x3+1=201x,=(-1,0440,±651.y的全部整数解为(y)
定理 丢番图方程
2
x3+27=67y()1
),()的全部整数解为(x,=(-3,01320,±5859.y)
)证明 当x是3的倍数时,可得y是9的倍数,设x=3从而(化为x3x1,111+y=9y1,
2
),()),()由引理知(故(=201x1,=(-1,0440,±651.x,=(-3,01320,±5859.y1,y1)y)
2
))())当x不是3的倍数时,方程(化为(因为(1x+3x2-3x+9=67x+3,x2-3x+9y,
)故丢番图方程(可以转化为以下两种情况:=1,1
情况Ⅰ x+3=67u2x2-3x+9=v2,uv;y=
情况Ⅱ x+3=u2,x2-3x+9=67v2,uv.y=
)故此时没有丢番图方程(的整数解.x+3=67u2,1
222
情况Ⅱ x2-3因为方程x2-6x+9=67v2可化为(2x-3)-67(2v)=-27.7y=-收稿日期:2017-10-11
)基金项目:江西省教育厅科学技术研究项目(151352.作者简介:李双娥,女,江西师范高等专科学校讲师,硕士.
)下面讨论这两种情况的(的整数解:1
22)情况Ⅰ x2-3此时x=-5,x+9=v2可化为(2x-3-(2v)=-27,8,0,3均不满足
28
岭南师范学院学报(自然科学)
第38卷
3]
:由以下4个非结合类给出[27的全部整数解,
(xn+311+3867)un+v=7=±(7)n6yn6n(,±(311+3867)48842+596767)n∈Z
()2
(xn+-311+3867)un+v=7=±(7)n6yn6n(,±(-311+3867)48842+596767)n∈Z
()3
(x''24+367)un+v=7=±(7)n+n6n6yn(,±(24+367)48842+596767)n∈Z
()4
(x''-24+367)un+v=7=±(7)n+n6n6yn(,±(-24+367)48842+596767)n∈Z
()5
因此有2因为xn=48842+596767是其基本解.x-3等于±xn,±xn,±x'±x'n,n之一,所以2由x+3=-xn,x'x'x-3等于xn,xn,x'x'u2得n=-n,n,n之一.
2u2=xn+9
或或或
2u2=xn+92u2=x'9n+2u2=x'9n+
n这里±(给出Pun+v=±(48842+596767)ell方程U2-67V2=1的全部整数解,7)n6()6()7()8()9
),()与x不是3的倍数矛盾.所以只须考虑(3的倍数,67.
),()因为xn≥-9,所以(可以转化为:xn≥-9,23
),()但对2由(可得u是3的倍数,因为x+3=故x是u2=x'9和2u2=x'9,45u2,n+n+
(xn+311+3867)un+v=7=(7)n6yn6n((,311+3867)48842+596767)n≥0
()10
(xn+-311+3867)un+v=7=(7)n6yn6n((,-311+3867)48842+596767)n≥0
()11
第6期2
李双娥等:丢番图方程x3+27=67y整数解的研究29
),)对于(由(可得:610
xn+2=97684xn+1-xn, x0=311, x1=30381844
2
()12
xn+92u2
)(),(),)对(取模7,故2此时-1=(矛盾.12xn≡3,1mod7u≡5,3mod7=()=1,
77
),)下面再来讨论(由(易得递归关系:711
xn+2=97684xn+1-xn, x0=-311, x1=2120
xn+92u2
())此时1=(矛盾.1mod3.=()=-1,
33
)),()综上所述,丢番图方程(的全部整数解为(1x,=(-3,01320,±5859.y)
参考文献:
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[]曹玉书.]():关于丢番图方程x3±2黑龙江大学自然科学学报,17=DJ.198824-8.y[
2
[]李双志,],():罗明.关于不定方程方程x3+1=2西南师范大学学报(自然科学版)201J.2010111-14.y[
()13
),()(),)()(),由(可得n≡0然而对(取模,当n≡0时,此时2713mod213mod2xn≡1mod3u2≡
[]柯召,孙琦.谈谈不定方程[上海:上海教育出版社,3M].1980.
ResearchontheInteerSolutionsoftheDiohantinegp
2
Euationx3+27=67yq
,,,,WANGYLIShuaneLIGuanhuaSHANGGUANJunshenLINChunhuaonhonggggg
(,,)JianxiNormalColleeYinTanJianXi335000,Chinagggg
:,AbstractInthispaertheauthorhasstudiedtheinteersolutionsoftheDiohantineeuationx3+pgpq
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),()27=67ndhasonlinteersolutions(x,=(-3,01320,5859.ygyay)
:;;KeordsinteersolutionDiohantinerecurrentseuencegpqyw
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