一、选择题
1．下列汽车标志的图形是中心对称图形的是( ) A．
B．
C．
D．
2．下列事件为必然事件的是( ) A．明天一定会下雨
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
D．在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
3．如图，在圆O中，∠AOC=160°，则∠ABC=( )
A．20° B．40° C．80° D．160°
4．将抛物线y=4x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为( ) A．y=4（x+2）2﹣1 B．y=4（x﹣2）2﹣1 C．y=4（x+2）2+1 D．y=4（x﹣2）2+1
5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为( ) A．1
B．﹣1 C．1或﹣1 D．
6．抛物线y=x2+kx﹣1与x轴交点的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
7．一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为( )
A． B． C．
D．
8．如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为1，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是( )
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
9．如图，从一块直径BC是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是( )
A．4 B．4 C． D．
10．已知二次函数y=a（x﹣m）2+n的图象经过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜m＜10，则m的值可能是( ) A．2 B．8 C．3 D．5
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣3）关于原点对称的点A′的坐标是__________．
12．10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是__________．
13．已知圆O的内接六边形周长为12cm，则圆O的面积是__________cm2（结果保留π） ．
14．两年前生产某种药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设平均每年降价的百分率为x，根据题意列出的方程是__________．
15．如图，PA，PB是圆O的切线，切点分别是A，B，若∠AOB=120°，OA=1，则AP的长为__________．
16．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，﹣2），则满足y1＞y2的自变量x的取值范围是__________．
三、解答题 17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3=0 （2）x（x+4）=3x+12．
18．如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）在网格中画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后的△A1OB1的图形； （2）求旋转过程中边OB扫过的面积（结果保留π）
19．在一个布袋中装有2个红球和2个篮球，它们除颜色外其他都相同．
（1）搅匀后从中摸出一个球记下颜色，不放回继续再摸第二个球，求两次都摸到红球的概率；
（2）在这4个球中加入x个用一颜色的红球或篮球后，进行如下试验，搅匀后随机摸出1个球记下颜色，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的概率稳定在0.80，请推算加入的是哪种颜色的球以及x的值大约是多少？
20．如图，已知OA是圆O的半径，点B在圆O上，∠OAB的平分线AC交圆O于点C，CD⊥AB于点D，求证：CD是圆O的切线．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m=o有两个实数根a、b； （1）求实数m的取值范围；
（2）求代数式a2+b2﹣3ab的最大值．
22．某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，经市场调查发现，日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，当x=50时，y=100． （1）求y与x的函数解析式；
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （3）求当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？
23．如图，在正方形ABCD中，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=﹣
的图象经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点且S△PAD=S正方形ABCD；求点P的坐标．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．
25．（14分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标；
（2）如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P（m，n）（0＜m＜3）作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，说明理由．
（3）如图②，过点A作y轴的平行线交直线BC于点F，连接DA、DB、四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点F重合时立即停止运动，求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值．
2015-2016学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数
学试卷
一、选择题
1．下列汽车标志的图形是中心对称图形的是( ) A．
B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是中心对称图形．故正确； B、不是中心对称图形．故错误； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误． 故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列事件为必然事件的是( ) A．明天一定会下雨
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
D．在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾 【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【解答】解：A、明天一定会下雨是随机事件，故A不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意； C、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故C不符合题意；
D、在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾是必然事件，故D符合题意； 故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．如图，在圆O中，∠AOC=160°，则∠ABC=( )
A．20° B．40° C．80° D．160° 【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：根据圆周角定理得：∠ABC=∠AOC， 又∵∠AOC=160°， ∴∠ABC=80°． 故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4．将抛物线y=4x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为( ) A．y=4（x+2）2﹣1 B．y=4（x﹣2）2﹣1 C．y=4（x+2）2+1 D．y=4（x﹣2）2+1 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定抛物线y=4x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律，点（0，0）经过平移后所得对应点的坐标为（2，﹣1），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式． 【解答】解：抛物线y=4x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得对应点的坐标为（2，﹣1），所以平移后得到的抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣1． 故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为( ) A．1
B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题．
【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a
的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0， ∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0， 解得：a=1或a=﹣1，
将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去， 则a的值为﹣1． 故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．抛物线y=x2+kx﹣1与x轴交点的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】设y=0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
【解答】解：
∵抛物线y=x2+kx﹣1，
∴当y=0时，则0=x2+kx﹣1， ∴△=b2﹣4ac=k2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2+kx﹣与x轴交点的个数为2个， 故选C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．
7．一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为( )
A． B． C．
D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据题意有：xy=2；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限，即可判断得出答案． 【解答】解：∵xy=1
∴y=（x＞0，y＞0）．
故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象的对称性，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
8．如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为1，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是( )
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围． 【解答】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点， 在Rt△ADO中，OD=3，OA′=5， ∴A′D=4， ∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点， 此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10． 故选A．
【点评】此题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键．
9．如图，从一块直径BC是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是( )
A．4 B．4 C．
D．
的弧长，进而求出扇形围成的圆锥的底面
【考点】圆锥的计算．
【分析】连接AO，求出AB的长度，然后求出半径，应用勾股定理，求出圆锥的高． 【解答】解：连接AO，
∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴AO⊥BC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABO=∠AC0=45°， ∴AB=OB=4（m）， ∴
的长为：
=2
π（m），
π÷2π==
（m）， cm，
∴剪下的扇形围成的圆锥的半径是：2∴圆锥的高为：故选：D．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10．已知二次函数y=a（x﹣m）2+n的图象经过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜m＜10，则m的值可能是( ) A．2 B．8 C．3 D．5
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可． 【解答】解：∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过（0，5）、（10，8）两点，0＜m＜10， ∴对称轴在5到10之间， ∴m的值可能是8． 故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，从二次函数的对称性考虑求解是解题的关键．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣3）关于原点对称的点A′的坐标是（2，3）． 【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于原点对称的点A′的坐标是（2，3）， 故答案为：（2，3）．
【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产
品的概率是．
【考点】概率公式．
【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．
【解答】解：从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是1：10=故答案为：
．
．
【点评】本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．已知圆O的内接六边形周长为12cm，则圆O的面积是4πcm2（结果保留π）． 【考点】正多边形和圆．
【分析】首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB为等边三角形，得出OA=AB=2cm，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为12cm， ∴边长AB=2cm，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2，
∴圆O的面积=22π=4π； 故答案为：4π．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、圆的面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出圆的半径是解决问题的关键．
14．两年前生产某种药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设平均每年降价的百分率为x，根据题意列出的方程是5000（1﹣x）2=3000． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】设平均每年降价的百分率为x，根据题意可得，两年前的生产成本×（1﹣降价百分率）2=现在的生产成本，据此列方程即可． 【解答】解：设平均每年降价的百分率为x， 由题意得，5000（1﹣x）2=3000． 故答案为：5000（1﹣x）2=3000．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
15．如图，PA，PB是圆O的切线，切点分别是A，B，若∠AOB=120°，OA=1，则AP的长为．
【考点】切线的性质．
【分析】由PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∠AOB=120°，根据切线长定理，即可得∠APO=30°，又由三角函数，即可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠APB=60°
∴∠APO=∠APB=30°， ∵OA=1， ∴AP=
=
，
故答案为：．
【点评】此题考查了切线长定理以及三角函数的定义．此题难度不大，正确求出∠APB=60°是解题关键．
16．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，﹣2），则满足y1＞y2的自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式，利用图象即可得出所求不等式的解集，即为x的范围．
【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，
∴k=4，
∴反比例函数的关系式为y1=； 又∵点B（m，﹣2）在y1=上，
∴m=﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练运用待定系数法是解本题的关键．
三、解答题 17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3=0 （2）x（x+4）=3x+12．
【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣3）（x+1）=0， x﹣3=0，x+1=0， x1=3，x2=﹣1；
（2）x（x+4）=3x+12， x（x+4）﹣3（x﹣4）=0， （x+4）（x﹣3）=0， x+4=0，x﹣3=0， x1=﹣4，x2=3． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）在网格中画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后的△A1OB1的图形； （2）求旋转过程中边OB扫过的面积（结果保留π）
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1即可得到△A1OB1；
OB为半径，（2）由于旋转过程中边OB扫过的部分为以O为圆心，圆心角为90度的扇形，
于是利用扇形面积公式可求解． 【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）OB==3，
所以旋转过程中边OB扫过的面积==π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．在一个布袋中装有2个红球和2个篮球，它们除颜色外其他都相同．
（1）搅匀后从中摸出一个球记下颜色，不放回继续再摸第二个球，求两次都摸到红球的概率；
（2）在这4个球中加入x个用一颜色的红球或篮球后，进行如下试验，搅匀后随机摸出1个球记下颜色，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的概率稳定在0.80，请推算加入的是哪种颜色的球以及x的值大约是多少？ 【考点】列表法与树状图法；利用频率估计概率． 【专题】计算题． 【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数然后根据概率公式求解；
（2）由于原来摸到红求的概率为0.5，则加于的球为红球，利用频率估计概率得到抽到红球
的概率为0.8，于是根据概率公式得到【解答】解：（1）画树状图为：
=0.8，然后解方程求出x即可．
共有12种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2种， 所以两次都摸到红球的概率=
=；
（2）根据题意得抽到红球的概率为0.8， 则
=0.8，解得x=6，
所以加入的是红颜色的球，x的值大约为6． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了利用频率估计概率．
20．如图，已知OA是圆O的半径，点B在圆O上，∠OAB的平分线AC交圆O于点C，CD⊥AB于点D，求证：CD是圆O的切线．
【考点】切线的判定． 【专题】证明题．
【分析】连结OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠OCA=∠DAC，证出OC∥AD，由CD⊥AD，得出CD⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：连结OC，如图， ∵AC为∠OAB的平分线， ∴∠OAC=∠DAC， ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OCA=∠DAC， ∴OC∥AD， ∵CD⊥AD， ∴CD⊥OC，
∴CD是圆O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证出OC∥AD是解决问题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m=o有两个实数根a、b； （1）求实数m的取值范围；
（2）求代数式a2+b2﹣3ab的最大值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；配方法的应用． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，然后解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得出a+b=2m，ab=m2﹣m，将代数式a2+b2﹣3ab变形为（a+b）2﹣5ab=﹣m2+5m=﹣（m﹣）2+
，即可求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0， 解得m≥0；
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m=0有两个实数根a、b， ∴a+b=2m，ab=m2﹣m， ∴a2+b2﹣3ab=（a+b）2﹣5ab =（2m）2﹣5（m2﹣m） =﹣m2+5m =﹣（m﹣）2+由（1）得m≥0，
∴代数式a2+b2﹣3ab的最大值为
．
，
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．
也考查了根与系数关系，配方法的应用．
22．某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，经市场调查发现，日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，当x=50时，y=100． （1）求y与x的函数解析式；
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （3）求当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用． 【专题】销售问题． 【分析】（1）根据日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，当x=50时，y=100，可以求得y与x的函数解析式；
（2）根据公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，和第一问中求得的y与x的函数解析式，可以求得该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）将第（2）问中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次项系数和对称轴和x的取值范围可以确定当销售单价为多少元时，该公司日获利最大，最大利润是多少元． 【解答】解；（1）由题意可得，设y与x的函数解析式是：y=kx+b， ∵当x=60时，y=80，当x=50时，y=100，
∴，
解得k=﹣2，b=200．
即y与x的函数解析式是：y=﹣2x+200（30≤x≤60）； （2）由题意可得，
w=（x﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+260x﹣6000，
w=﹣2x2+260x即该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式是：
﹣6000；
（3）∵w=﹣2x2+260x﹣6000 ∴w=﹣2（x﹣65）2+2450
∴当x＜65时，y随x的增大而增大， ∵30≤x≤60，
∴当x=60时，w取得最大值，此时w=﹣2（60﹣65）2+2450=2400（元）， 即当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润是2400元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意列出相应的函数解析式，可以将二次函数解析式化为顶点式，根据函数图象的性质解答问题．
23．如图，在正方形ABCD中，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=﹣
的图象经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点且S△PAD=S正方形ABCD；求点P的坐标．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义． 【分析】（1）先由点B的坐标为（0，﹣3）得到C的纵坐标为﹣3，然后代入反比例函数的解析式求得横坐标为5，即可求得点C的坐标为（5，﹣3）； （2）设点P到AD的距离为h，利用△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积得到h=10，再分类讨论：当点P在第二象限时，则P点的纵坐标yP=h+2=12，可求的P点的横坐标，得
到点P的坐标为（﹣，12）；②当点P在第四象限时，P点的纵坐标为yP=﹣（h﹣2）=﹣8，再计算出P点的横坐标．于是得到点P的坐标为（【解答】解：（1）∵点B的坐标为（0，﹣3）， ∴点C的纵坐标为﹣3， 把y=﹣3代入y=﹣
得，﹣3=﹣
，﹣8）．
解得x=5，
∴点C的坐标为（5，﹣3）； （2）∵C（5，﹣3）， ∴BC=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=5，
设点P到AD的距离为h． ∵S△PAD=S正方形ABCD， ∴×5×h=52，
解得h=10，
①当点P在第二象限时，yP=h+2=12， 此时，xP=
=﹣，
∴点P的坐标为（﹣，12），
②当点P在第四象限时，yP=﹣（h﹣2）=﹣8， 此时，xP=
=
， ，﹣8）．
，﹣8）．
∴点P的坐标为（
综上所述，点P的坐标为（﹣，12）或（
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求得C点的坐标是解题的关键． 24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由题意可知（4，0），由抛物线经过点O可求得c=0，将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；
（2）如图1所示：由菱形的性质可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可证明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切；
（3）如图2所示．设点P的坐标为（2，m）．由题意可知点E的坐标为（﹣2，2），设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a．由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4，从而可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）∵O的坐标为（0，0），抛物线的对称轴为x=2， ∴点M的坐标为（4，0）． ∵抛物线经过点O， ∴c=0．
将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式得：16a+4b=0． 整理得：4a+b=0．
（2）DE与圆A相切． 理由：如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形， ∴DN=NB，DN⊥AN．
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°， ∴四边形OAND为矩形． ∴OA=DN=2． ∴DB=OM=4． ∵OM=AD=AB， ∴AD=AB=DB．
∵AE为圆A的半径， ∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB． ∴AE⊥DE．
∴DE与圆A相切． （3）如图2所示．
设点P的坐标为（2，m）．
∵OM为圆A的直径， ∴∠OEM=90°． ∵AE=2，OA=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a． ∴m=﹣4a．
∵∠OPM为锐角， ∴点P在点E的下方． ∴﹣4a＜﹣2． 解得：a＞． 在Rt△AOD中，OD=∴AC=4．
∵点P在菱形的内部， ∴点P在点C的上方． ∴﹣4a＞﹣4． 解得：a＜． ∴a的取值范围是
．
=2
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、切线的判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，依据腰三角形三线合一的性质证得DE⊥AE是解答问题（2）的关键，由抛物线的顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角得出点P的纵坐标的取值范围是解问题（3）的关键．
25．（14分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标；
（2）如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P（m，n）（0＜m＜3）作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，说明理由．
（3）如图②，过点A作y轴的平行线交直线BC于点F，连接DA、DB、四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点F重合时立即停止运动，求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）线利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x﹣1，直线BC的解析式为：y=x﹣3，从而得到AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°，由平行于与y轴的直线上点的坐标特点可求得F（1，﹣2），从而可求得AF=2，由当点C与点F重合时立即停止运动，可知0≤t≤，由AF∥A′F′，AD∥C′B，可知四边形AFF′A′为平行四边形，根据由平行四边形的面积公式可知当t=时，重合部分的面积最大，设A′F′与x轴交于点K，依据特殊锐角三角函数值可求得AK=1．依据平行四边形的面积公式可求得重合部分的最大面积为2．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：3a=﹣3，
解得：a=﹣1．
∵将a=﹣1代入得：y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3． 由抛物线的对称轴方程可知：x=﹣将x=2代入抛物线的解析式得：y=1． ∴点D的坐标为（2，1）． （2）存在．
理由：设直线BE的解析式为y=kx+b． 将B（3，0），C（0，﹣3）代入上式，得：解得：k=1，b=﹣3．
则直线BC的解析式为y=x﹣3． ∵PE∥y轴，
∴点P与点E的横坐标均为m．
∵将x=m代入直线BC的解析式的y=m﹣3， ∴点E的坐标为（m﹣3）．
将x=m代入抛物线的解析式得y=﹣m2+4m﹣3， ∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m﹣3）．
∴PE═﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣3m+﹣）=﹣（m﹣）2+． ∴当m=时，PE的长有最大值，最大值为． （3）如图所示：
， =2，
∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；直线BC的解析式为：y=x﹣3． ∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°． ∵AF∥y轴， ∴F（1，﹣2）， ∴AF=2．
∵当点C与点F重合时立即停止运动， ∴0≤t≤．
∵AF∥A′F′，AD∥C′B，
∴四边形AFF′A′为平行四边形．
∵当AA′有最大值时，重合部分的面积最大． ∴当t=时，重合部分的面积最大． 设A′F′与x轴交于点K，则AK=
AA′=
=1．
∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×1=2．
四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值为2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．列出线段PE的表达式是解决问题（2）的关键，证得四边形AFF′A′为平行四边形是解答问题（3）关键．
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