MOS DC模型

摘要：随着集成电路的集成度快速增长及器件尺寸越来越小，为设计如此复杂的集成芯片就必须有准确度高的电路仿真器。仿真器的可信度取决于器件模型的正确性。本文主要介绍金属-氧化物-半导体场效应晶体管（MOSFET）几种常见的直流（DC）模型。基于不同的假设条件，得出以下几种DC模型：Pao-Sah模型、薄层电荷模型、增强型器件的分段漏电流模型。在这三种模型当中，Pao-Sah模型精度最高但计算时间长，增强型器件的分段漏电流模型误差大但模型较简单，计算时间短，薄层电荷模型比Pao-Sah模型有较大的简化，但仍需发费大量的计算时间。

关键字：MOSFET、DC模型、Pao-Sah模型、薄层电荷模型、分段漏电流模型

0 引言

随着社会的快速发展，科学技术日新月异。为满足社会发展的需求，集成芯片的集成度正在以惊人的速度增长，同时器件的尺寸越做越小，目前已到达纳米级别。随着器件尺寸的减小，模型也越来越复杂，如何能得到既简洁又能精确描述器件特性的模型就成了电路模拟中一个重要的问题。要想提出既精确又简洁的模型，就必须对这些已有的模型有深入的了解，理解其中的数学推导过程和物理意义，然后在它们的基础之上“取其精华去其糟粕”，从而提出更优化的模型。

用于电路模拟的MOSFET模型通常由稳态模型和动态模型组成，其中稳态模型又叫直流（DC）模型——器件端电压不随时间变化的恒定电压。Ids是DC模型中最重要的参数之一。不同的模型得到的Ids表达式不同，计算时间也不同。目前主要有：Pao-Sah模型、薄层电荷模型、增强型器件的分段漏电流模型，其中增强型器件的分段漏电流模型又分一级近似模型、体电荷模型、亚阈值模型。在这些模型当中，一级近似模型是最简单而且非常重要的。由于MOSFET模拟是一个三维问题，描述的时候会发现这是一个非常复杂的问题。为了简化，一般需要引入一些假设。以上几种模型都是基于这种思想建立的模型。

1 漏电流的计算

对于衬底均匀掺杂、浓度为NB的n沟器件，如图1所示。为了简化，假设可以忽略器件的短沟和窄沟效应。器件的静态特性和动态特性一般由下面三组方程描述：

（1） 静电势φ的泊松方程：

=- （1.1） osi（2） 电子电流方程：

JnqnnqDnn （1.2）

图1：n沟MOSFET示意图 该方程是电场ξ引起的漂移电流和浓度梯度引起的扩散电流之和。

（3） 连续性方程：

n1*JnRnGn （电子） （1.3） tqp1*JpRpGp （空穴） （1.4） tqMOSFET模拟是一个三维（3D）问题，如图1所示，如果用方程来描述器件的特性，这

非常困难和复杂，而且无法嵌入到电路仿真器里面。因此需要引入一些假设，使这些方程大大简化。

假设1：假定y方向（沿沟道方向）电场ξy的变化远小于x方向电场ξx的变化。基于这个假设，泊松方程将变为一维方程。

假设2：对于正常工作的ｎ器件，由于Vds≥0,Vbs≤0，可以忽略空穴电流。基于这个假设，漏电流模型中只需考虑电流密度Jn。

假设3：忽略复合和产生，即Rn=Gn=0。那么电流的连续性方程可简化为

*Jn0，这表明电流密度是没有散度的电子电流，即在沟道区的任何一点上，总

漏电流Ids是一样的。

假设4：假定电流只沿y方向流动，这意味着dϕn/dx=0,即在x方向上ϕn是常数[1]。 基于这些假设可得到电流密度Jn为：

Jn(x,y)qn(x,y)n(x,y)ny （1.5）

电流流过沟道的截面积是沟道宽度W与沟道深度的乘积，将式（1.5）沿x方向和z方向积分，可得到沟道中任一点y处的漏电流Ids为：

IdsWqn(x,y)n(x,y)0ndx常数y （1.6）

其中，μn是电子表面的沟道迁移率。定义Vcb(y)为沟道中任意一点的电势，则有：

Vcb(y)n(y)n源。利用该式可得到：

dVIdsWcbdy假设5：假定可得到：

0qn(x,y)s(x,y)dx （1.7）

s为常数，它的值取决于栅和漏平均电场处的表面迁移率[2]。基于假设5

Ids(y)dysWQi(y)dVcb其中Qi为可动电荷密度，即Qi(y)q对式（1.8）对y积分可得：

（1.8）

0n(x,y)dx （1.9）

WIdssLVsbVdsVsbQi(y)dVcb （1.10）

由式1.9可知，要计算Ids首先要计算可动电荷密度Qi。目前，已发展了多种基于不同 Qi（y）估算方法，主要有Pao-Sah模型、薄层电荷模型、分段漏电流模型。下面分别讨论这些模型。

2 Pao-Sah模型和薄层电荷模型 2.1 Pao-Sah模型:

该模型中Qi(y)是沿x方向对电子浓度积分得到的，将方程（1.9）写成：

Qi(y)qfsfn(,V)dxcbn(,Vcb)dqd （2.1）

sdxd2(x)式中φs是表面势；ξx是x方向的电场，可通过求解泊松方程：2 （2.2）

dx0si得到。在x方向对方程（2.2）积分可到电场ξx为：

x其中

d2qNbF(,f,Vcb) （2.3） dx0si （2.4）

F是描述电场的基本函数。

要想求解出Qi(y)，我们还需要求解表面势φs。求解表面势，利用电荷守恒原理： 当栅极施加电压时，Si中将感生出电荷Qs，感生电荷跟栅压Vgb有关，

VgbVfbs(y)Qs， （2.5） CoxVfb是平带电压。根据高斯定理，硅中的感生电荷Qs为：

（2.6）

联立方程（2.5）、（2.6）可得到表面势φs的隐函数。

联立以上方程可得到漏电流的表达式为：

fcbtVsbVdsseWIdssCOXddVcb (2.7) VsbfF(,,V)Lfcb(2V)/V这个计算Ids的二重积分就是Pao-Sah模型[3]，只能通过数值方法对它求解。该模型同时考虑了漂移电流和扩散电流，对MOSFET所有的工作区都有效。由于需要进行二重数值积分，所以计算时间较长。Pao-Sah模型针对一般情况，未对反型层厚度作任何假设，比较复杂，不适于电路模拟。基于Pao-Sah模型的这些特点，人们提出另一种较简化的模型：薄层电荷模型[4]。下面介绍薄层电荷模型。

2.2 薄层电荷模型：

现假定反型层厚度为零（即最简单的薄层电荷），因此反型层没有压降，同时假设在栅下面的耗尽层内不存在可动载流子。 接下来求解反型层电荷Qi：

体电荷密度Qb可以利用下式计算：

（2.8）

根据耗尽近似，上式可化为：

（2.9）

我们知道，沟道区内的感生电荷Qs是沟道反型层电荷Qi和体电荷Qb之和，联系方程

（2.5）、（2.9）可得：

（2.10）

那么我们可以得到：

（2.11）

定义：

，

即：Ids，

Ids1Ids2，Ids1是漏电流的漂移分量，Ids2是漏电流的扩散分量。

方程（2.11）就是大家熟悉的薄层电荷模型方程[5]。图2给出了Vds=5V和Vsb=0时漏电流Ids以及它的漂移分量Ids1和扩散分量Ids2与Vgs的关系曲线。

从图中可知，在强反型时，IdsIds1，电流

主要由漂移电流组成；在弱反型时，IdsIds2，

电流主要由扩散电流组成。

图3给出了分别利用Pao-Sah模型和薄层电 荷模型得到的完整IdsVds关系曲线。从图中可以 看出Pao-Sah模型和薄层电荷模型结果相比， 误差在1%以内。

图2：漏电流及其分量与Vgs的关系曲线

图3：不同模型的IdsVds曲线 小结：虽然薄层电荷模型比Pao-Sah模型有了较大的简化，但是计算表面势φs仍需要迭代求解，会花费较多的计算时间。因此薄层电荷模型和Pao-Sah模型都不能广泛的用于实际的电路模拟程序中[6]。

3 增强型器件的分段漏电流模型

在栅压大于阈值电压且处于强反型态的条件下，假设扩散电流可以忽略。容易得到：

（3.1）

同时我们知道：

s(y)s(0)Vcb(y) （3.2）

式（3.2）可化简为：

s(y)2fVsbV(y) （3.3） （强反型）

式中是利用强反型判据用2f代替s(0)。那么方程（1.10）可化简为：

WIdssLVds0Qi(y)dV （3.4）

3.1、一级近似模型：

1、MOSFET的线性区

假设6：假定沿沟道长度方向的体电荷密度Qb是固定的，即与漏电压Vds无关。因此

s(y)2fVsb沿着沟道长度方向是固定的。

联立方程（3.3）、（2.10）得到反型层中的电荷密度Qi为：

（3.5）

利用假设6，可到：

（3.6）

联立方程（3.5）、（3.6）得：

（3.7）

其中Vth是阈值电压，它的值为：VthVfb2f2fVsb。

将式（3.7）代入方程（3.4）可到漏电流的表达式[7]：

IdssCoxWL[VgsVth0.5Vds]Vds Vgs>Vth (3.8)

随着Vds的增加, Ids达到峰值,方程（3.8）将不再满足。这是因为Ids达到峰值时沟道电荷Qi=0，缓变沟道近似不再满足。

2、饱和电压及饱和区

饱和电压：漏端沟道开始夹断时的漏压为夹断电压或饱和电压，记为Vdsat。 我们可以得到：VdsatVgsVth （3.9）

将方程（3.9）代入到式（3.8）得到夹断点处的漏电流：

Idsat2(VgsVth)2 （3.10） 其中sCoxWL。

在理想情况下，当MOSFET的Vds超过夹断电压Vdsat（Vds>Vdsat）时，电流Ids固定，不再随Vds的变化而变化，因此称该工作区为饱和区。相应的，Vds图4 线性区和饱和区的输出特性曲线 考虑到沟道调制效应，漏电流在饱和区更准确的表达式为：

Ids2(VgsVth)2(1Vds) （3.11）

综上所述，MOSFET的一级近似模型已经得到，它可以用下面的方程描述：

（3.12）

由于一级近似模型的有些假设非常不合理，所以模型的精确性远不能令人满意，但是它

比较简单，对于基本的电路分析和手工计算还是很有用的。

3.2体电荷模型

Vds不等于零时，耗尽层宽度Xdm是逐渐增加的，所以假设6不成立。体电荷模型是在

一级近似模型的基础上进行修正，即考虑从源到漏耗尽层内的体电荷的密度变化情况。

那么体电荷密度为：

（3.13）

代入方程（3.7）得到反型层密度为：

（3.14）

那么漏电流Ids为：

平方根近似：

很容易看出，上式的3/2次方项是对Qb的平方根项积分得到的[8]。为了使方程简化，把平方根用线性函数近似。Qb的平方根为

对上式作一级近似得：

其中

利用平方根近似，方程（3.14）可简化为

（3.15）

其中，定义为1，那么可以得到线性区的电流方程为：

Ids[VgsVth0.5Vds]Vds VgsVth （3.16）

同时，可解得Vdsat的表达式为：Vdsat流方程为：

VgsVth，所以在没有CLM效应时的饱和漏电

Ids(VgsVth)2 VdsVdsat （3.17）

2综上所述，考虑体电荷沟道变化效应的体电荷模型已经推导出，它可由下面的这组方程表示：

（3.18）

图5给出了利用薄层电荷模型、经典（一级）模型和体电荷模型得出的IdsVds曲线。

由图可知，分段模型得到的漏电流比薄层电荷模型高[3]。在分段模型当中，经典模型又比体电荷模型得到的漏电流高。

图5：薄层电荷模型、经典模型、体电荷 模型的IdsVds 曲线

3.3 亚阈值区模型

在推导一级近似模型和体电荷模型时，我们假设只有漂移电流。该假设使得在VgsVth时Ids=0。实际上，在VgsVth时，虽然Ids很小但不为0。与漂移电流占优势的强反型区不

同，亚阈值区电流以扩散电流为主。因此在亚阈值区方程（3.12）、（3.18）不再适用。

当器件工作在亚阈值区时，反型层电荷密度Qi比体电荷密度Qb少几个数量级，因此在亚阈值区可以采用固定的表面势ss来代替s(y)。这样体电荷Qb为：

Qb=Coxs(y)Coxss （3.19）

因为QiQb，则QbQs，那么可得：VgbVfbssQb （3.20） Cox联立方程（3.19）、（3.20）解出ss为：

ss[224VgbVfb]2 （3.21）

该方程表明ss与Vgs近似线性关系。那么我们可得到亚阈值区漏电流的方程为：

IdssWVtdQi，对该式从y=0到y=L积分得到： dyQidWWIdssVtdQisVt(QidQis) （3.22）

LQisLWC(IdssoxVt2e2Lssss2fVsb)/Vt(1eVds/Vt) （3.23）

这就是亚阈值区的电路方程，从方程可知： （1） 亚阈值电流随表面势ss和Vgs呈指数变化。

（2） 电流方程的负指数项在Vds大于4Vt时可以忽略，这时的电流与Vds无关。 （3） 亚阈值区电流与温度有强烈的依赖关系。

为了适用于电路模拟，通常需要近似以达到简化的目的，简化后的方程为：

Idsm(Vt)exp[VgsVthVt] （3.24）

其中参数m采用模拟曲线与实验数据拟合的 方法得到。图6给出了不同衬底偏压下亚阈 值区的IdsVds

曲线：

图6 亚阈值区IdsVds 曲线小结：在推导分区漏电流模型时，曾假设

Vds在亚阈值区只有扩散电流，在线性区和饱

和区只有漂移电流，这样两个区域之间就不能有平滑的过渡区，为克服这个缺点，假定弱反型层电荷Qi与Vds的曲线和强反型区的电荷曲线相切[5]。那可以得到完整的长沟道直流MOSFET模型，该模型在所有的工作区域内都连续，

VgsVonIonexp(V)tIds[VgsVth0.5Vds]Vds(VgsVth)22 （3.25）

总结：基于不同的假设和近似得到不同的MOSFET DC 模型，其中Pao-Sah模型精度较

高，它是衡量各种简化模型精确性的基准点，但是模型较复杂、计算时间较长，不适用于电路模拟。薄层电荷模型在Pao-Sah模型基础上进行简化，在反型层厚度为零的假设下建立起来的模型，精确性跟Pao-Sah模型相比误差在1%以内[9]；虽然比Pao-Sah模型有较大的简化，但计算时间还是较长。增强型器件分段漏电流模型比Pao-Sah模型、薄层电荷模型有了更大的简化，特别是一级近似模型是最简单的模型，但是精确性远不能令人满意；体电荷模型是在一级近似模型的基础上进行修正建立起来的，精确性比一级近似模型高；亚阈值区模型在时MOSFET工作在亚阈值区域时的模型，从而得到完整的长沟道直流（DC）MOSFET模型。分段模型适合于电路模拟。

参考文献

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