竞赛物理

竞 赛 物 理

主 编：商胜平

编 委：徐应龙 夏健巧 商建汶 陈立功

蒋 丰 李亚川 陈细军 王成林

二○一○年春季

目 录

第一章 力 物体的平衡 ························································· 1 第二章 运动学 ································································· 12 第三章 动力学 ································································· 17 第四章 能量和动量 ··························································· 24 第五章 振动与波 ······························································ 32 第六章 电场 ···································································· 39 第七章 恒定电流 ······························································ 51 第八章 磁场、电磁感应 ····················································· 57 第九章 热学 光学 原子物理学 ············································ 76 参考答案 ·········································································· 81

第一章 力 物体的平衡

知识要点

§1.1 常见的力

1、1、1力的概念和量度

力是指物体与物体间的相互作用。一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系的不变速度运动即匀速直线运动。也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度发生改变，一定是受到其他物体对它的作用，即力的作用。讲到一个力的时候，应当讲清楚是哪一物体对哪一个物体施了力的作用。

一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要变化，或者说，它获得相对于惯性参照系有加速度，很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来测量。

重力 弹力

由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为重物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改

l 力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化） 变，而对外部产生的宏观反作用力。反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）（应变）F与胁变lSl 图1-1

之间的正比例关系，如图所示

l

F E

式中E为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。 大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。

F=-kx

式中x表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。

接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称反力）。这种反力实质上是一种弹性力，常见如下几类：

1、柔索类（图1-2）如绳索、皮带、链条等，其张力

G 弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的

T T T T

G

图1-2

A A 方位:沿柔索T指向:拉物体

一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力处处相等。

2、光滑面（图1-3）接触处的平行于切

NAA

B GA C

图1-3

GA NBA NcA

—1—

平面方向不受力，其法向支承力

方位:沿法线N指向:压物体

3、光滑铰链

物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。

方向不承受作用力，其分力

A

图1-4

（1）圆柱形铰链（图1-4，图1-5，图1-6）由两个圆孔和一个圆柱销组成。在孔的轴线

C

方位:沿x轴X指向:待定 方位:沿y轴Y指向:待定

图中AC杆受力如图，支座B处为可动铰，水平方向不受约束，反力如图。

（2）球形铰链（图1-7，图1-8）由一个球碗和一个球头组成，其反力可分解为

yc F1 A F B xc

F1 yB 图1-5

yA

x

F

图1-6

X方位:沿坐标轴Y指向:待定Z

4、固定端（图1-9，图1-10）

如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限制转动，需增添一个反力偶MA。

F ZA xA

A yA

X方位:沿坐标轴Y指向:待定图1-7 图1-8

方位:平面力系作用面MA转向:待定

摩擦力 物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力。

不仅固体与固体的接触面上有摩擦，讨论固体与固体间的摩擦。

1．1．2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦

A q F

yA 图1-9 固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们主要

A xA MA

图1-10

F 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为

fmax0N

—2—

式中0称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。

当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，其大小与两物体间的正压力成正比。

为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围

内，可看作常量，在通常情况下，0与可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足

fN

ffmaxN

在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数0略大于动摩擦因数。 摩擦角 令静摩擦因数0等于某一角的正切值，即0tg，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下），fmaxN0tg。支承面作用于物体的沿法

线方向的弹力N与最大静摩擦力fmax的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-11所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力f0未达到最大值，即

f00N,因此接触面反作用于物体的全反力F的作用线与面法

F f0f0,0tgNN

N F

fm F f0N，不会线的夹角

大于摩擦角，即。物体

arctg 图1-11

图1-12

A v 图1-13

不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动

的条件。如图1-12放在平面上的物体A，用力F去推它，设摩擦角为，推力F与法线夹角为，当时，无论F多大，也不可能推动物块A，只有时，才可能推动A。

§1.2 力的合成与分解

1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则 即力F1和F2的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图1-14(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将F1,F2通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即F1,F2的合力。（如图1-14(b)）

F2 F F1 F F2

F1

(a) (b)

图1-14

如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-15所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力F4力矢末端

—3—

的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即

F4

F3

O F2

∑F F4

F4 F3

F1力矢的起步与F5力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。

F1 2 (a) (b) (c) 图1-15

O F1

F5

F1

F3

FF2

力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：

①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。

③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。

1．2．2、平行力的合成与分解 作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。

两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两的大小成反比，如图1-17(a)，有：

A O B O A F2

F2

R F1

B F1 R (a)

图1-17

(a)

分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力

RF1F2AOF2BOF1

两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-17(b)，有：

X X Z z i

j β α Y γ k Y 图1-18 RF1F2

OAF1OBF2

§1.3共点力作用下物体的平衡

1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件

—4—

几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。

物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。

共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。

iF1 F3

或其分量式：

Fi0 0  F2

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成

iiiFix0FiyFiz0 图1-19

首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：

FF1F23sinsinsin

1．3．2、推论

物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。

特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。

§1.4 固定转动轴物体的平衡

1．4．1、力矩

力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)。

力与力臂的乘积称为力矩，记为M，则M=Fd，如图1-20，O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。

力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力

图1-20 O F d

对物体绕该轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F⊥和平行于轴的分量F∥，F∥对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F⊥d。

通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。

1．4．2、有固定转动轴物体的平衡

—5—

有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。

§1.5 一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零(一般物体的平衡条件写成分量式为

F外0)和合力矩为零(M0)同时满足，

FFFxy0Mx0 0My0 0Mz0

zMx,My,Mz分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。

如平面力系（设在xOy平面内），则的平衡方程为：

Fx0,Mx0,My0自动满足，则独立

F0 F0 F0

M0这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为

xyzz零。

平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。

典型例题

【例题1】水平地面上有一质量为m的物体，受斜向上的拉力F作用而匀速移动，物体与地面间的动摩擦因数为，则为使拉力F最小，F与水平地面间的夹角多大?F的最小值为多少?

解：先把f和N合成一个力T，因f和N成正比，所以当F发生变化时T的大小也要发生变化，但方向不变，且

f=tanN=tan-1. 这样，就把四个力平衡问题变成了三个力平

-1

图1-21

衡问题，如左图所示.根据平行四边形定则，当F和T垂直时F最小，如右图所示.得F与水平地面间的夹角==tan-1，sin=Fmin=mgsin=

mg1212，F的最小值

.

—6—

另解：设F与水平面成角时F最小，有Fcos-(mg-Fsin)=0，得F令=cot，代入上式得F，

mg，

cossinmgsinmg=。

2sin()1【例题2】半径为r，质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上，两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间保持接触，但互相无作用力.现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为=3/15(约等于0.775).问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来?

解：当上面一个小球放上去后，下面三个小球有向外挤的趋势，互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析，受力图如图所示.

对上面小球，根据竖直方向受力平衡有3N2sin-3f2soc=mg （或下面的小球，对球与筒接触点为转轴， 力矩平衡N2rsin+mgr=f2r(1+cos)） 再对四个小球为整体，在竖直方向3f1=4mg

下面的小球，对球心为为转轴，有力矩平衡条件f1r=f2r，得f1=f2 对下面的小球，取f1和f2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N1>N2，故

大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R最大时：f2=N2

有上述四式得：128soc2+24cos-77=0，解得：cos=因cos323211，所以R(1)r。 3r/(rR)33316图1-22

11， 16但上面的小球不能太小，否则上球要从下面三个小球之间掉下去，必须使R(故得(

233231)rR(1)r. 333231)r. 3

1.（1）半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内切圆板，如图a所示，求剩下部分的重心。

（2）如图b所示是一个均匀三角形割去一个小三角形ABC，而BC//BC，且ABC的面积为原

课堂练习

三角形面积的

1，已知BC边中线长度为L，求剩下部分BCCB的重心。 4—7—

图1-23

2.一薄壁圆柱形烧杯，半径为R，质量为m，重心位于中心线上，离杯底的高度为H，今将水慢慢注入烧杯中，问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为)

3.将质量为M的小车沿倾角为，动摩擦因数为的斜面匀速拉上，求拉力的方向与斜面夹角为多大时，拉力最小?最小的拉力为多大?.

图1-24

4.将重为30N的均匀球放在斜面上，球用绳子拉住，如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求：

(1)绳子的张力.

(2)斜面对球的摩擦力和弹力. 图1-25

5.如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为A=0.2，B=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。

图1-26

6.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90，且C端正好在A端的正下方。

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。 （2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。

—8—

7.有一轻质木板AB长为L，A端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体，半径均为r，重均为G.木板与墙的夹角为(如图所示).一切摩擦均不计，求BC绳的张力.

图1-27

8.一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为1、2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

9.边长为a的均匀立方体，平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部，如图所示，假定静摩擦力很大，足以阻止立方体下滑，试证明物体的稳定平衡的条件为r>a/2.

10.如图所示，质量为m的碗反扣在装满水的较大密闭容器底部.碗外形是半径为R、高也为R的圆柱，碗内是一个半径同样是R的半球空穴而成碗.在碗内装满水银.现将水从容器底部的出口慢慢抽出.求：（1）水面的高度H等于多少时，碗内水银开始从碗口下边流出.

（2）容器内的水全部抽出时，碗内的水银高度h为多少。

H(已知：水银的密度为1，水的密度为2，高为H、半径为R的的球缺体积为VH2(R)，

3不计水蒸汽压力)

—9—

11.如图所示，均匀杆的A端用铰链与墙连接，杆可绕A点自由转动，杆的另一端放在长方形木块上，不计木块与地之间的摩擦力，木块不受其它力作用时，木块对AB杆的弹力为10N，将木块向左拉出时，木块对杆的弹力为9N，那么将木块向右拉出时，木块对杆的弹力是多少?

图1-28

12.半径为R的钢性光滑球固定在桌面上，有一个质量为m的均匀弹性绳圈，自然长度为2a(a=

R).现将绳圈从球面的正上方轻放到球面上，并使它保持水平，静止套在球面上，这时2绳圈的半径增为b(b=2a)，求绳圈的倔强系数.

13.如图17所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？

图1-29

—10—

14、如图7所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小。

图1-30

15、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45°和30°，如图15所示。则m1:m2为多少？

图1-31

—11—

第二章 运动学

知识要点 一、直线运动

1、直线运动的条件：①F合=0或②F合≠0且F合与v共线，a与v共线。（回忆曲线运动的条件）

2、基本概念

瞬时速度（简称速度）速度位移（1） （2） （3） 路程平均速度加速度增加的速度位移大小平均速度大小时间 （4）平均速率路程时间3、分类

F合0,a0匀速直线运动：(F合0且为恒力，a恒定)匀变速直线运动 直线运动变速直线运动F合0但为変力，a变化）变加速直线运动（F0）（合4、匀变速直线运动

（1）深刻理解：

指大小方向都不变加速度是矢量，不变是 加速度不变的直线运动运动还是往返运动，只要是直线均可。轨迹为直线，无论单向（2）公式 （会“串”起来）

vtv0at2v0vt222 基本公式12消去t得vtv02asvs2sv0tat22v0(v0at)v0vt12vtat22s021①根据平均速度定义V== v0at1tt2v0atvt22∴Vt/ 2 =V=

V0Vts= 2t②根据基本公式得s= aT2 SN3－SN=3 aT2 Sm－Sn=( m－n) aT2 推导：

—12—

第一个T内 sv0T121aT 第二个T内 sv1TaT2 又v1v0aT 22∴s =SⅡ-SⅠ=aT2

以上公式或推论，适用于一切匀变速直线运动，记住一定要规定正方向！选定参照物！同学要求必须会推导，只有亲自推导过，印象才会深刻！

(3)初速为零的匀加速直线运动规律

①在1T末、2T末、3T末……ns末的速度比为1：2：3……n； ②在1T、2T、3T……nT内的位移之比为12：22：32……n2；

③在第1T 内、第 2T内、第3T内……第nT内的位移之比为1：3：5……(2n-1); (各个相同时间间隔均为T)

④从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为1：(21)：32)…(nn1)

⑤通过连续相等位移末速度比为1：2：3……n

(4) 匀减速直线运动至停可等效认为反方向初速为零的匀加速直线运动.(由竖直上抛运动的对称性得到的启发)。(先考虑减速至停的时间)

（5）竖直上抛运动：(速度和时间的对称)

分过程：上升过程匀减速直线运动，下落过程初速为0的匀加速直线运动.

全过程：是初速度为V0加速度为g的匀减速直线运动。适用全过程S = Vo t －= Vo－g t ; Vt2－Vo2 = －2gS (S、Vt的正、负号的理解)

12

g t ; Vt 2VV上升最大高度:H=o，上升的时间:t=o

g2g2对称性：

①上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向 ②上升、下落经过同一段位移的时间相等t上t下v0。从抛出到落回原位置的时间:t=2Vog g典型例题

例1.甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9ms的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S013.5m处作了标记，并以9ms的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听口令时起跑，并恰好在速度达到与

甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L20m。求：⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a。⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

【解析】该题实质上是追及、相

L 乙 遇问题，其物理情景同学们比较熟悉，

 对参加过接力赛的同学来说，大多都相遇点 甲 能正确画出如下过程示意图。 S0 S2 依据甲、乙两运动员的运动过程

S1 所作速度图像如图所示。

—13—

⑴由于追上时甲乙，由图知三角形A的“面积”即为甲“发口令”时二者间距s0 （s0s1s2），三角形B的“面积” 为甲、乙 相遇时乙的位移且s2s0所以at 乙 甲 1't，t'， 2a

 A B 22s0。

O t t ''⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离LLs02013.56.5(m)。

2【答案】；6.5m。

2s0例2 一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为BAC2，则

A．a1> a2 B．a1= a2 C．a1< a2 D．不能确定 【解析】依题意作出物体的速度图像如图所示。图线下方所围成的面积在数值上等于物体的位移，由几何知识知：图线b、c不满足AB=BC，图线a可满足之。又斜率表示加速度，所以a1例3．汽车由甲地从静止出发沿平直公路驶向乙地停下。在这段时间内，汽车可做匀速运动，

O t0 2t0 t  C B a b c A也可做加速度为a匀变速运动。已知甲、乙两地相距S，那么要使汽车从甲地到乙地所用时间最短，汽车应如何运动？最短时间为多少？

【解析】该题属于运动学极值问题，可用公式法建立方程，然后利用二次函数求极值。下面用速度图像求解：依据汽车运动特征(匀加速、匀速、匀减速）可作如下速度图像。因位移S恒定且等于梯形的“面积”，要使时间最短，汽车应无匀速运动过程，即汽车先做匀加速运动再做匀减速运动。

设最短时间为tm，最大速度为m，则据

 m O St1Smtm，mam，得tm2

a22

课堂练习：

t1 t2 t 1、两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.4s时间内的v-t图象如图所示。若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为

—14—

1和0.30s B．3和0.30s 31C．和0.28s D．3和0.28s

3A．

2．如图所示，以8m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18m。该车加速时最大加速度大小为2m/s，减速时最大加速度大小为5m/s。此路段允许行驶的最大速度为12.5m/s，下列说法中正确的有

A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线

B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速

C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线[来源:学科网ZXXK] D．如果距停车线5m处减速，汽车能停在停车线处

3、如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有

A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大 B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大 C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大 D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 4、某物体运动的速度图像如图，根据图像可知 A.0-2s内的加速度为1m/s2 B.0-5s内的位移为10m

C.第1s末与第3s末的速度方向相同 D.第1s末与第5s末加速度方向相同

5、一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示。设该物体在t0和2t0时刻相对于出发点的位移分别是x1和

22x2，速度分别是v1和v2，合外力从开始至to时刻做的功是W1，从t0至2t0时刻做的功是W2，则

A．x25x1 v23v1

C．x25x1 W28W1

B．x19x2 v25v1

D．v23v1 W29W1

—15—

6、甲乙两车在一平直道路上同向运动，其vt图像如图所示，图中OPQ和OQT的面积分别为s1和s2s2s1.初始时，甲车在乙车前方s0处。

A．若s0s1s2，两车不会相遇 B．若s0s1，两车相遇2次 C．若s0s1，两车相遇1次 D．若s0s2，两车相遇1次

7、图1是甲、乙两物体做直线运动的v—t图象。下列表述正确的是

A．乙做匀加速直线运动 B．0—ls内甲和乙的位移相等 C．甲和乙的加速度方向相同 D．甲的加速度比乙的小

8、物体在合外力作用下做直线运动的v一t图象如图所示。下列表述正确的是

A．在0—1s内，合外力做正功 B．在0—2s内，合外力总是做负功 C．在1—2s内，合外力不做功 D．在0—3s内，合外力总是做正功

9、某物体做直线运动的v-t图象如图甲所示，据此判断图乙（F表示物体所受合力，x表示物体的位移）四个选项中正确的是

—16—

第三章 动力学

知识要点 牛顿运动定律

3、1、1牛顿第一定律 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。

物体保持原有运动状态（即保持静止或匀速直线运动状态）的性质叫做惯性。因此，牛顿第一定律又称为惯性定律。但二者不是一回事。牛顿第一定律谈的是物体在某种特定条件下（不受任何外力时）将做什么运动，是一种理想情况，而惯性谈的是物体的一种固有属性。一切物体都有惯性，处于一切运动状态下的物体都有惯性，物体不受外力时，惯性的表现是它保持静止状态或匀速直线运动状态。物体所受合外力不为零时，它的运动状态就会发生改变，即速度的大小、方向发生改变。此时，惯性的表现是物体运动状态难以改变，无论在什么条件下，都可以说，物体惯性的表现是物体的速度改变需要时间。 质量是物体惯性大小的量度。

3、1、2牛顿第二定律 物体的加速度跟所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比。加二定律反映了加速度跟合外力、质量的定量关系，从这个意义上来说，牛顿第二定律的表达式与物体质量成正比，而公式mFa的物理意义是：对于同一物体，加速度与合外力成正比，其比值保持为某一特定值，这比值反映了该物体保持原有运动状态的能力。

力与加速度相联系而不是同速度相联系。从公式vv0at可以看出，物体在某一时刻的即时速度，同初速度、外力和外力的作用时间都有关。物体的速度方向不一定同所受合外力方向一致，只有速度的变化量（矢量差）的方向才同合外力方向一致。 牛顿第二定律反映了外力的瞬时作用效果。物体所受合外力一旦发生变化，加速度立即发生相应的变化。

3、1、3牛顿第三定律 两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。作用力与反作用力具有六个特点：等值、反向、共线、同时、同性质、作用点不共物。要善于将一对平衡力与一对作用力和反作用力相区别。

力和运动的关系

3、2、1物体所受合外力为零时，物体处于静止或匀速直线运动状态。物体所受合外力不为零时，产生加速度，物体做变速运动。若合外力恒定，则加速度大小、方向都保持不变，物体做匀变速运动。匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线。物体所受恒力与速度方向处于同一直线时，物体做匀变速直线运动。根据力与速度同向或反向又可进一步分为匀加速运动和匀减速运动，自由落体运动和竖直上抛运动就是例子。若物体所受恒力与速度方向成角度，物体做匀变速曲线运动。例如，平抛运动和斜抛运动。

物体受到一个大小不变，方向始终与速度方向垂直的外力作用时，物体做匀速圆周运动。此时，外力仅改变速度的方向，不改变速度的大小。

物体受到一个与位移方向相反的周期性外力作用时，做机械振动。

综上所述：判断一个物体做什么运动，一看受什么样的力，二看初速度与合外力方向的关系。

速度的方向跟合外力方向相同，这就是牛顿第二定律。它的数学表达式为Fma。牛顿第Fma理解为：物体所受合外力跟加速度成正比，aFm写成更为准确。不能将公式

—17—

力的独立作用原理

3、3、1物体同时受到几个外力时，每个力各自独立地产生一个加速度，就像别的力不存在一样，这个性质叫做力的独立作用原理。物体的实际加速度就是这几个分加速度的矢量和。根据力的独立作用原理解题时，有时采用牛顿第二定律的分量形式

Fxmax Fymay

分力、合力及加速度的关系是

22 F(Fx)2(Fy)2 aaxay在实际应用中，适当选择坐标系，让加速度的某一个分量为零，可以使计算较为简捷。通

常沿实际加速度方向来选取坐标，这种解题方法称为正交分解法。

如图所示，质量为m的物体，置于倾角为的固定斜面上，在水平推力F的作用下，沿斜面向上运动。物体与斜面间的动摩擦因数为，若要求物体的加速度，可先作出物体的受力图（如图3-1所示）。沿加速度方向建立坐标并写出牛顿第二定律的分量形式

FxFcosfmgsinma FyNFsinmgcos0

fN

物体的加速度 aFcosmgsin(mgcoaFsin)

m图3-1

对于物体受三个或三个以上力的问题，采用正交分解法可以减少错误。作受力分析时要避免“丢三落四”。

瞬时加速度

3、4、1中学物理课本中，匀变速运动的加速度公式a(vtv0)/t，实际上是平均加速度公式。只是在匀变速运动中，加速度保持恒定，才可以用此式计算它的瞬时加速度。但对于做变加速运动的物体，瞬时加速度并不一定等于平均加速度。根据牛顿第二定律计算出的加速度是瞬时加速度。它的大小和方向都随着合外力的瞬时值发生相应的变化。

例如，在恒定功率状态下行驶的汽车，若阻力也保持恒定，则它的加速度

aFf(p0v)f mm随速度的增大而逐渐减小。当Ff时，加速度为零，速度达到最大值

vmp0Fp0f

因此，提高车速的办法是：加大额定功率，减小阻力。

惯性参照系

3、5、1在第一单元中，我们提到过，运用运动学规律来讨论物体间的相对运动并计算物体的相遇时间时，参照系可以任意选择，视研究问题方便而定。运动独立性原理的应用所涉及的，就是这一类问题。但是，在研究运动与力的关系时，即涉及到运动学的问题时，参照系就不能任意选择了。下面两个例子中，我们可以看到，牛顿运动定律只能对某些特定的参照系才

—18—

成立，而对于正在做加速运动的参照系不再成立。

如图3-2所示，甲球从高h处开始自由下落。在甲出发的同时，在地面上正对甲球有乙球正以初速v0做竖直上抛运动。

如果我们讨论的问题是：两球何时相遇，则参照系的选择是任意的。

如果选地面为参照系，甲做自由落体运动，乙做竖直上抛运动。设甲向下的位移为s1，乙向上的位移为s2，则

11hs1s2gt2(v0tgt2)v0t 得 thv0

22图3-2

若改选甲为参照系，则乙相对于甲做匀速直线运动，相对位移为h，相遇时间为thv0，可见，两个参照系所得出的结论是一致的。

如果我们分析运动和力的关系。若选地球做参照系，甲做自由落体运动，乙做竖直上抛运动，二者都仅受重力，加速度都是g，而aFmGmg，符合牛顿第二定律。但如果选甲为参照系，则两物皆受重力而加速度为零（在这个参照系中观察不到重力加速度），显然牛顿第二定律不再成立。

人们把牛顿运动定律能在其中成立的参照系叫做惯性系。在研究问题精度要求不太高的情况下，地球可以看作惯性系。而相对于地球做匀速直线运动的参照系都可以作为惯性系。

在中学范围内讨论动力学问题时所选取的坐标系，都必须是惯性系，计算力时，代入公式的速度和加速度，都必须是相对于地球的。

质点组的牛顿第二定律

3、6、1若研究对象是质点组，牛顿第二定律的形式可以表述为：在任意的x方向上，设质点组受的合外力为Fx，质点组中的n个物体的质量分别为m1,m2,,mn，x方向上的加速度分别为a1x,a2x,,anx，则有Fxm1a1xm2a2xmnanx

上式为在任意方向上的质点组的牛顿第二定律公式。

如图3-3所示，质量为M，长为l的木板放在光滑的斜面上。为使木板能静止在斜面上，质量为m的人应在木板上以多大的加速度跑动？（设人的脚底与木板间不打滑）

运用质点组的牛顿第二定律可以这样求解：选取人和木板组成的系统为研究对象，取沿斜面向下的方向为正，则该方向上的合外力为(Mm)gsin，故

(Mm)gsinMaMmam

因为aM0，所以am(Mm)gsin。am的方向与

m图3-3

合外力方向相同，故人跑的加速度方向应沿斜面向下。

典型例题 【例题1】在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于L时（L比2r大得多），两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于L—19—

或小于L时，两球存在相互作用斥力F。设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图3-4所示，欲使两球不接触，v0必须满足什么条件？

解:A、B在水平方向受力情况及运动情况的示意图如图3-5所示，要使A、B不发生接触，必须满足：当vAvB时

图3-4

SASBL2r

由牛顿第二定律有 FmaA F2maB

由运动学公式 vAv0aAt vBaBt

11SAv0taAt2 SBaBt2 联立解得：

22v03F(L2r)。

m图3-5

【例题2】如图3-6所示，两个物体的质量分别为m115kg，m220kg，作用在m1上的水平力F280N。设所有的接触面都光滑。求： （1）两物体间的相互作用力的大小。 （2）m1、m2的加速度的大小和方向

解:以m1为研究对象，其受力分析如图3-7，由牛顿第二定律有

FNsin45m1a1 （1）

以m2为研究对象，其受力分析如图3-8，由牛顿第二定律有

Ncos45m2gm2a2 （2）

图3-6

图3-7

图3-8

图3-9

1a2t2S如图3-9由位移关系22tan450 可知 a1a2 （3）

S112a1t2由（1）、（2）、（3）可得

Fm2m1m2g2802015209.8N345N

m1cos450m2sin45022152022Fm2g280209.8a1a2m/s22.4m/s2

m1m21520Na1方向水平向右，a2方向竖直向上。

课堂练习 —20—

1．有一箱装得很满的土豆（如图3-10），以一定的初速度在动摩擦因数为的水平面上向左做匀减速运动（不计其它外力和空气阻力），其中有一质量为m的土豆，则其它土豆对它的总作用力大小是：

A、mg B、mg C、mg12 D、mg12

2．在一次火灾事故中，因情况特殊别无选择，某人只能利用一根绳子从高处图3-10 逃生，他估计这根绳子所能承受的最大拉力小于他的重量，于是，他将绳子的

一端固定，然后沿着这根绳子从高处竖直下滑。为了使他更加安全落地，避免绳断人伤，此人应该：

A．尽量以最大的速度匀速下滑 B．尽量以最大的加速度加速下滑 C．小心翼翼地、慢慢地下滑 D．最好是能够减速下滑 3．如图3-11所示，一物块位于光滑水平桌面上，用一大小为F、方向F 如图所示的力去推它，使它以加速度a右运动。若保持力的方向不变而增大力的大小，则：

A、a变大 B、不变

C、a变小 D、因为物块质量未知，故不能确定a变化的趋势 图3-11 4．一辆小汽车在平直的高速公路上以v0=108km／h的速度匀速行驶，

突然驾驶员发现正前方s＝110m处有一辆因故障停在路上维修的货车，于是急刹车．已知驾驶员的反应时间（从发现危险到踩下刹车踏板的时间）为0.6 s．设刹车过程中车轮停止转动，汽车作匀减速运动．求车轮与地面间的动摩擦因数μ至少要有多大才不会发生碰撞事故．

5．如图3-12所示，将mA5kg的物体放在mB2kg的木板上。A和B间的动摩擦因数

10.2，B与地面间的动摩擦因数20.1。取g10m/s2。求：

（1）要使木板B和物体A一起做匀速直线运动，作用在物体A上的力F1为多少？ （2） 要使木板B和物体A保持相对静止，并一起做匀加速运动，作用在物体A上的力F2应为多少？

图3-12

6．如图3-13所示，质量M10kg的斜块静止于粗糙的水平面上，斜块与地面间的动摩擦因数0.02。斜块的倾角为30，在斜面上有一质量m1kg的物块由静止开始沿斜面下滑。当滑行路程s1.4m时，其速度v1.4m/s。在这个过程中斜块没有移动。求地面对斜块的摩擦力的大小和方向（g10m/s）

20图3-13

—21—

7．如图3-14所示，传送带与地面倾角37，从A到B长度为16m，传送带以10m/s的速率逆时针转动，在传送带上端A，无初速地放一个质量为0.5kg的物体（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体由A运动到B所需的时间？

200（g10m/s,sin370.6,cos370.8）

图3-14

8．如图3-15所示的三个物体质量分别为m1、m2和m3，其中，带有滑轮的物体m1放在光滑的水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦及绳子的质量均忽略不计，为使三个物体无相对滑动，水平推力F应满足条件_____________________。 图3-15

9．如图3-16所示，A、B并排紧贴着放在光滑的水平面上，用力F1和F2同时推A和B，如果F110N，F26N，mAmB，则A、B间压力的范围是__________________。

图3-16

10．如图3-17所示，台秤上放一个装满水的杯子，杯底处粘连一细线，细线上端系一个木球浮在水中。若细线突然断开，木球将加速上浮。已知水的密度为1，木球质量为m，密度为

02，不计水的阻力，则木球在上升过程中台秤的读数与木球静止时台秤的读数相比变化了多

少？

图3-17

—22—

11．如图3-18所示，物体A放在物体B上，物体B放在光滑的水

mB2kg，平面上。已知mA6kg，A、B间的动摩擦因数0.2。A物体上系一细线，细线能承受的最大拉力是20N，水平向右拉细线，g10m/s。下列叙述中正确的是（ ）

A．当拉力F12N时，A静止不动

B．当拉力F12N时，A相对于B滑动

图3-18

C．当拉力F16N时，B所受摩擦力为4N D．无论拉力F多大，A相对于B一定静止

12．如图3-19所示，固定在卡车上的粗绳拖着一根圆木，欲使圆木与绳成一直线，已知圆木长为L，绳长为b，绳子在卡车上的固定点离地高h，绳子质量不计，则卡车的加速度是多大？

2图3-19

—23—

第四章 能量和动量

一 知识要点

一、动能定理

所有的合外力（包括重力）对物体做的功∑W等于物体动能的增量∆Ek，即

21mv12 W△Ek=1mv222其中v1和v2分别表示物体的初速度和末速度．当W>0时，物体的动能增加；当

W<0，物体的动能减少；当W=0时，物体的动能不变．如果是变力做功的情况，则经常利用动能定理来求出变力做的功．

二、机械能守恒定律

动能和势能之和称为机械能，在只有重力和弹簧弹力做功的情况下，物体系的机械能守恒，这个规律叫机械能守恒定律．

三、动量定理

合外力对物体的冲量I（或者说所有外力对物体的冲量的矢量和），等于物体动量的增量∆p，即

I =∆p=mv2mv1

其中v1、v2分别表示物体的初速度和末速度．这是一个矢量式．当F、v1、v2在一条直线上时，可设定一个正方向，和设定方向同向的都取正，和设定方向反向的都取负．当F、v1、v2不在一条直线上时，要用矢量法则（即平行四边形定则）计算．如果是变力产生冲量，则经常利用动量定理求出平均作用力F．

四、动量守恒定律

当一个物体系不受外力作用时，物体系中所有物体的总动量（矢量和）保持不变． 动量守恒定律是一个普遍适用的定律，大到天体，小到基本粒子，无论系统里包含多少个物体，动量守恒定律都适用．系统里相互作用力，可以是任何性质的力；可以是恒力，也可以是变力；相互作用的物体可以接触，也可以不接触，动量守恒定律一概适用．

五、弹性势能

根据胡克定律，弹簧弹力F的大小和它产生的形变∆x成正比，F 即F=k∆x．式中k叫做弹簧的劲度系数．弹力F做的功，可以用FB －∆x图4－1中的面积来表示．比如弹簧的形变由x2变到x1的过程

A 中弹力做的功可以用梯形x1x2BA的面积来表示（即图中阴影部分的

W 面积）．

kx1kx2O 2x1 x2 Δx (x2x1)1kx21kx12

222图4－1

—24—

2

式中1kx2和1kx12就是弹簧的形变分别为x2和x1时的弹性势能．

22六、质点系动能定理

质点系动能定理可由质点动能定理导出．设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理

Wi外Wi内1mivi21mivi02

22式中1mivi2和1mivi02分别表示该质点的末动能和初动能.Wi外表示质点系以外的力对

22质点做的功，Wi内表示质点系内其他质点对它的作用力做的功．对所有N个质点的动能定理求和就有

Wi外+Wi内=1mivi21mivi02

22若用W外、W内、Ek、Ek0分别表示Wi外、Wi内、1mivi2、1mivi02，则上式可写

22成

W外+W内=Ek－Ek0

由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就

是质点系动能定理.和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系.但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功只取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的．这一点有时在解题时十分有效.

七、质点系动量定理

质点系中质点所受外力和内力的总冲量记为I外和I内，各质点的初动量之和及末动量之和记为P1及P2，则必有

I外+I内=P1－P2

由牛顿第三定律可证明I内=0，因此得

I外=P2－P1

即质点所系所有外力提供的总冲量等于质点系总动量的增量.这就是质点系动量定理. 质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的图4－2 m3 C 水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软细绳AB和BC连接，角ABC为，为一锐角，如右图所示.今有一冲量J的冲击力沿BC方向作用于C点，求质点A开始运动时的速度.

m1 A

m2 B

α 设受冲击后A、B、C三个质点的速度分别为vA、vB、vC，根据质点系动量定理有

Jm1vAm2vBm3vC

—25—

因为软绳作用力的方向一定是沿绳的，所以vA必然沿AB方向，vC必然沿BC方向，可以设vB的方向与BC方向成角.将上述矢量式分解成沿BC方向（x方向）和垂直于BC方向（y方向）的两个分量式（也可取其他的正交方向）．如图4－3．

x方向：J=m1vAcosm2vBcosm3vc

A y x vB vA B

vC C α 图4－3

y方向：0=－m1vAsinm2vBsin

由于绳不可伸长，所以又有

vAvBcos()vcvBcos

联列以上四个方程，可解得

vAJm2cos

m2(m1m2m3)m1m2sin2八、动量守恒定律的推论 由若干个质点构成的质点系，系统内各质点之间的相互作用力不会影响其质心的运动规律．如果一个质点系的质心原来是静止的，那么质点系的内力不会使其质心运动起来，即质心的位置不会改变.如果一个质点系的质心原来是运动的，那么，在没有外力作用的条件下，这个质心将做匀速运动．

二、典型例题

【例1】如图4－4在光滑的水平地面上静放有一块质量m3=2kg，长度L=0.6m的木板，板的左右两端分别放置质量m1=2kg，m2=4kg的两物块，并分v2 v1 1 2 别以初速为v1=0.4m/s、v2=0.2m/s，同时相向运动．m1、m2和m3间3 的滑动摩擦因数均为μ=0.02．试求： 图4－4

（1）m2在木板上的最大位移； （2）m1在大板上的最大位移； （3）m3的最大位移．

［分析］本题中要求m2、m1在木板上的最大位移，可以取木板为参照系，用牛顿运动定律来解，也可以用功能关系来解.

解：（1）假设1、2在木板上不会相撞.当v2v3时，2相对3有最大位移 v2a2ta3t

a2m2g/m20.2m/s2

a3(m2gm1g)/m3=（0.8－0.4）/2m/s2=0.2m/s2

可解得 t=0.5s

0.4m/2 s取3为参照系 a23a2a32在3上的最大位移

—26—

s23v2t1a23t2=（0.2×0.5－10.40.52）m=0.05m

22（2）用功能关系来求1在3上的最大位移S13.因为系统的总动量为零，所以1、2、3

最后肯定都静止.

1mv21mv2sfsf

2321312112221(20.4240.22)0.050.8s0.4

132s130.5m

因为s13s23(0.50.05)m0.55m0.6m,所以1和2不会相撞.前面假设成立. （3）因为1、2、3构成的系统总动量始终为零，所以系统的质心C的位置应该不动.不难算出，最初系统的质心C在离板右端（0.45/2）m处.最末系统的质心C′在离板右端0.125m处（图4－5甲），因此板的位移

s3(0.2250.125)m0.10m

C m 2l

C m

F

甲 乙

图4－5

【例2】在水平地面上置有一质量为M的滑块（如图4－6），

m 滑块内有一圆环形细空心通道，半径为R.通道顶部有一质量为m的

R P 小球（如右图）.一开始滑块和小球都静止，后来小球受到一微小扰Q 动而向右滑下.（忽略一切摩擦）

（1）求小球的轨迹方程（相对地面）； 图4－6 （2）计算小球运动到P、Q点时，轨迹的曲率半径.

［分析］解本题需要建立两个坐标系：一个建立在滑块上，以圆环中心O为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上（在这个坐标系中，小球的轨迹是一个圆）；另一个建立在地面上，以O点的初始位置为原点，两轴的方向同滑块坐标系．

解（1）因为由滑块和小球组成的体系原来静止，而且在水平方向上保持动量守恒，所以它们的质心的位置保持不变，因此在地面参照系中有

mxmMxM0

① ②

设m在滑块参照系中的位移为x'm,那么

x'mxmxM 将②式代入①式消去xM，可得 x'mMmxm

M

③

—27—

因为滑块相对地面在y方向上没有运动，因此

④ y'mym 在滑块参照系中，小球的轨迹是圆，即有

'2'2xmymR2

⑤

将③、④代入⑤式，可得小球在地面参照系中的轨迹方程

22(Mm)2xmymR2 MR（在x方向）. 这是一个椭圆方程，其长半轴B=R（在y方向），短半轴A=MMm（2）有了椭圆方程后，用解析几何的知识可以得到它在各顶点的曲率半径.在此我们仅用牛顿定律来求解.

设小球在P点时滑块的加速度为aM（向右），轨道对小球的弹力为NP（水平向左），则有

NP+maM=mv2/R（滑块参照系） NP=MaM（地面参照系）

其中v为小球此时刻竖直向下的速度（此时小球和滑块都没有水平速度），根据机械能守恒

1mv2mgR

2由上述三式可解得

2Mmv NP(Mm)R根据牛顿第二定律

NPmv

Pp2MmBPpR所以 MA设在Q点处小球和滑块相对地面的速度分别为vm和vM，因为小球相对滑块的速度

v'mvmvM v'mMmvm 所以

M在滑块参照系中小球做半径为R的圆周运动，所以有

mv'm2 NQmgR设小球在地面参照系中做曲率半径为RQ的曲线运动，即有

mvm2NQmg

PQ2可解得

vM2M)2RA2 PQR(MmBvm'2三、训练题

1、如图4－7所示，一固定的斜面，倾角为45，斜面长L=2.00米.在斜面下端有

—28—

θ 图4－7

一与斜面垂直的挡板.一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零.下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞.已知质点与斜面间的动摩擦因数0.20，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.

2．如图4－8所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1.小球与槽m1 的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计．开始时，三球处在槽中I、Ⅰ Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速v0=R/2沿m3 Ⅲ Ⅱ 槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性

m2 碰撞，求此系统的运动周期T.

图4－8

3．有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上，每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着.现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵入运动，求第n个木块被牵动时的速度.

4．如图4－9所示，质量m=2kg的平板小车，后端放有质量M=3kg的铁块.它和车之间的动摩擦因数μ=0.50，开始时，车和铁块共同以v0=3m/s的速度向右在

v0 光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.

图4－9

5．10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图4v0 l －10所示，每个木块的质量为m=0.40kg，长度l0.45m,它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ2=0.10．原来木块处于静止状态．左

图4－10 方第一个木块的左端上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间

的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ1=0.20．现突然给铅块一向右的初速度v0=4.3m/s，使其在大木块上滑行.试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）.重力加速度g取10m·s－2，设铅块的长度与木块相比可以忽略．

6．如图4－11所示，质量为m的长方形箱子，放在光滑的水平地面上.箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩擦．开始时箱子静止不动，滑块以恒

B 定的速度v0从箱子的A壁处向B壁处运动，后与B壁碰撞.假设滑块与箱A v0 —29—

图4－11

4壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，e=1. 2（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？

（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？

7．如图4－12所示，小球从长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰

撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的4，

5求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.

图4－12

8．一质量为M的平顶小车，以速度v0沿水平的光滑轨道做匀速直线运动，现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘.已知物块和车顶之间的滑动摩擦因数为. （1）若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？

（2）若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？

9．如图4－13所示，在水平桌面上放有长木板C，C上右端是固定挡板P，在C上左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计.A、B之间和B、P之间的距离皆为L，设木板C与桌面之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦系数及滑动摩擦系数均为μ；A、B、C（连同挡板P）的质量相同.开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动.试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度v0应满足的条件，或定量说明不能发生的理由.

A B C P （1）物块A与B发生碰撞；

（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发

L L 生碰撞；

图4－13 （3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在

木板C上再次发生碰撞；

10．在用铀235做燃料的核反应堆中，铀235核吸收一个动能约为0.025eV的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2－3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变.为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速.有一种减速的方法是使用石墨（碳12）做减速剂.设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为

—30—

E0=1.75MeV的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025eV的热中子？

11．在光滑水平面上，有一质量m1=20kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳子与另一质量m2=25kg的拖车相连接，一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数μ=0.2开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图4－14，小车以v0=2m/s的速度前进，求（1）当m1、m2、m3以同一速度前进时，其速度的大小；（2）物体在拖车平板上移动的距离.

m1 m3 m2

图4－14

12．一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，槽内有一小物块B，它到槽两内侧的距离均为l，如图4－15所示，木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与2木板间的摩擦因数为μ．A、B、C三者质量相等，原来都静止.现使槽A以大小为v02gl.当A和B发生碰撞时，两者速度互换.求： （1）从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程.

（2）在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小.

C A B l/2 l/2 v0 图4－15

—31—

第五章 振动与波

知识要点 简谐运动

5、1、1简谐运动定义：=∑F－kx ①

凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。 谐振子的加速度：a=kx

m5、1、2简谐运动的方程

回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。 依据：∑Fx=－mω2Acosθ= －mω2x

对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可

图5-1 以令：mω2=k

这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图5-1不难得出—— 位移方程：x=Acos(ωt + φ) ② 速度方程：v=－ωAsin(ωt +φ) ③ 加速度方程：a=－ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。 运动学参量的相互关系：a=－ω2X

1A=x0(v0)1 tgφ=－

v0 x05、1、3简谐运动的周期

由②式得：ω=m，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以

kT=2πm ⑤ k5、1、4简谐运动的能量

一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即 ∑E=1mv2+1kx2=1kA2

222注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。

5、1、5阻尼振动、受迫振动和共振

—32—

机械波

5、2、1波的产生和传播

产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） 5、2、2机械波的描述

a、波动图象和振动图象的联系 b、波动方程

如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为v ，那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕

这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ，都有一个y（x）的正弦函数，在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕为波动方程。 5、2、3波的干涉

a、波的叠加。几列波在同一介质中传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。

b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图5-2所示，我们用S1和S2表示两个波源，P表示空间任意一点。当振源的振动方向相同时，令振源S1的振动方程为y1 = A1cosωt ，振源S2的振动方程为y2 = A2cosωt ，则在空间P点（距S1为r1 ，距S2为r2），两振源引起的分振动分别是 y1′= A1cos〔ω（t−y2′= A2cos〔ω（t−

）〕

图5-2

）〕

P点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（φ1 = ，φ2 = ），且初相差Δφ=

（r2 – r1）。根据前面已经做过的讨论，有 r2 − r1 = kλ时（k = 0，±1，±2，…），P点振动加强，振幅为A1 + A2 ； r2 − r1 =（2k − 1）时（k = 0，±1，±2，…），P点振动削弱，振幅为│A1－A2│。

5、2、4波的反射、折射和衍射 5、2、5多普勒效应

当波源或者接收者相对于波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率f和波相对介质的传播速度v是恒定不变的）—— a、只有接收者相对介质运动（如图5-3所示） 设接收者以速度v1正对静止的波源运动。 如果接收者静止在A点，他单位时间接收的波的个数为

图5-3

—33—

f，当他迎着波源运动时，设其在单位时间到达B点，则接收者事实上“提前”多接收到了n个波 n =

=

=v1，、在从A运动到B的过程中，=

f ，这就是接收者发现

显然，在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：f + n =

的频率f1 。即

f1 = f 显然，如果v1背离波源运动，只要将上式中的v1代入负值即可。如果v1的方向不是正对S ，只要将v1出正对的分量即可。 b、只有波源相对介质运动（如图5-4所示） 设波源以速度v2正对静止的接收者运动。

如果波源S不动，在单位时间内，接收者在A点应接收f个波，故S到A的距离：

= fλ在单位时间内，S运动

至S′，即= v2 。由于波源的运动，事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里，波长将变短，新的波长

λ′= = = = 而每个波在介质中的传播速度仍为v ，故“被压缩”的波（A接收到的波）的频率变为

图5-4

f2 = = f

当v2背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似a情形。 c、当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v1（相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v2（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在b情形的过程上延续… f3 = f2 = f

关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形。 5、2、6声波 a、乐音和噪音

b、声音的三要素：音调、响度和音品 c、声音的共鸣 典型例题 【例题1】一物体沿x轴作简谐运动，振幅A0.12m，周期T2S。当t0时，物体的位移x0.06m,而且向x轴正方向运动。试求：

（1） 此简谐运动的表达式；

T时物体的位置、速度和加速度； 4（3） 物体从x0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。 解:（1）设这一简谐运动的表达式为xAcos(t0).

2rad/S. 现在振幅A0.12m，周期T2S。则T由初始条件：t0时，x00.06m，得到 0.060.12cos0

（2） t—34—

1,0. 23V0Asin0。根据初始速度的条件，因为t=0时，物体向x轴正方向运动，即V00，

或者cos0所以03.

这样，此简谐运动的表达式为

x0.12cos(t)m. 3也可以利用旋转矢量法求出0，根据初始条件可以画出振幅矢量的初始位置，如图5-5所示，从而得到03.

（2）由简谐运动的表达式，得到

dx0.12sin(t)m/S; dt3dVa0.122cos(t)m/S2.

dt3T在t0.5S时，

4x0.104m,V0.18m/S,a1.03m/S2.

负号表示速度V和加速度a的方向都指向x轴负方向。 （3）当x0.06m,设该时刻为t1,得到 V0.060.12cos(t1),

3124cos(t1),t1,.

32333因为物体向x轴负方向运动，V<0，所以取

图5-5

2，这样t11S. 3当物体第一次回到平衡位置，设该时刻为t2，由于物体向x轴正向运动，所以此时物体在平衡位置处的相位为求得t233，则由t2， 232111.83S. 6所以，从x0.06m处第一次回到平衡位置所需的时

11510.83S. 间tt2t166这也可由振幅矢量图5-6求得，如图所示。从

x0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置时，振幅矢量转过的角度为

325. 236图5-6

这就是两者的相位差。

由于振幅矢量的角速度为，所以可以得到

5t60.83S.

10t4x),式中各量的单位为【例题2】一横波沿绳子传播时的波动表达式为y0.05cos(—35—

SI单位。

（1） 求此波的振幅、波速、频率和波长；

（2） 求绳上各单元振动时的最大速度和最大加速度；

（3） 求x0.2m处的质元在t=1S时的相位，它是原点处的质元在哪一时刻的相位？

这一位相所代表的运动状态在t=1.25S时刻到达哪一点？在t=1.5S时刻到达哪一点？

解:（1）已知波动表达式为y0.05cos(10t4x),

与波动标准表达式yAcos(2Vt2x)比较，可得到振幅A0.05m,频率

5HZ，波长0.5m，波速u0.552.5m/S.

（2）绳上各质元振动时的最大速度

Vmax(dy)max2A250.050.51.57m/S. dt最大加速度

d2yamax(2)max422A42520.055249.3m/S2

dt（3）x0.2m处质元的振动比原点处质元的振动落后时间

x0.2t0.08S.

u2.5故x=0.2m，t=1S时质元的振动位相相当于原点处质元在t010.080.92S时的振动

位相。

设这一位相所代表运动状态在t11.25S时到达x1点，在t21.5S时到达x2点，则

x1xu(t1t)0.22.5(1.251)0.825m.

x2xu(t2t)0.22.5(1.51)1.45m。

课堂练习 1.一列简谐横波沿x轴传播，周期为T，t=0时刻的波形如图5-7所示.此时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5 m， xb=5.5 m，则

A.当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷 B.t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动 C.t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动 图5-7 D.在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同 2.如图5-8所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端和质量为M的容器放在光滑水平面上。当容器位于0点时，弹簧为自然长度。在0的上方有一滴管，容器每通过0点一次，就有质量为m的一个液滴落入容器。开始时将弹簧压缩Lo，然后撤去外力，使容器绕0点往复运动，则 图5-8 A. 弹簧容器(包括液滴)系统机械能守恒

B. 容器(包括液滴)经过0点时，在水平方向动量大小不变 C. 容器振动的振幅逐渐减小 D.容器振动的周期逐渐增加

3．一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距10.5m的a、b两处的质点振动图象如图5-9中a、b所示，则

A．该波的振幅可能是20cm B．该波的波长可能是8.4m C．该波的波速可能是10.5 m/s

—36—

图5-9

D．该波由a传播到b可能历时7s

4．一列简谐横波沿直线传播，该直线上的a、b两点相距4.42 m。图5-10中实、虚两条曲线分别表示平衡位置在a、b两点处质点的振动曲线。从图示可知

A．此列波的频率一定是10Hz B．此列波的波长一定是0.1m

C．此列波的传播速度可能是34 m/s

图5-10

D．a点一定比b点距波源近

5.图5-11中，波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上(y轴的正方向)，振动周期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为v=80m/s．经过一段时间后，P、Q两点开始振动，已知距离SP=1.2m、SQ=2.6m．若以Q

v v 点开始振动的时刻作为计时的零点，则在图5-12的振动

图象中，能正确描述P、Q两点振动情况的是

A.甲为Q点振动图象

P S Q B.乙为Q点振动图象 图5-11 C.丙为P点振动图象 D.丁为P点振动图象

y y y y

O T 2T t O T 2T t

O T 2T t O T 2T t

甲 乙 丙 丁

图5-12

6．弹性绳沿x轴放置，左端位于坐标原点，用手握住绳的左端，当t＝0时使其开始沿y轴做振幅为8cm的简谐振动，在t＝0.25s时，绳上形成如图5-13所示的波形，则该波的波速为___________cm/s，t＝___________时，位于x2＝45cm的质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。

7.某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4km/s和9km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成.在一次地震中，震源在地震仪下方，如图5-14，观察到两振子相差5s开始振动，则如图 图5-13

A. P先开始振动，震源距地震仪约36km B. P先开始振动，震源距地震仪约25km C. H先开始振动，震源距地震仪约36km D. H先开始振动，震源距地震仪约25km 8.一弹簧振子振幅为A，从最大位移处需时间t0第一次到达平衡位置，若振子从最大位移处经过t0／2时的速度大小和加速度大小分别为v1和a1，而振子位移为A/2时速度大小和加速度大小分别为v2和a2，那么 图5-14

A. v1< v2 a1>a2 B.v1> v2 a1>a2 C. v1< v2 a1 v2 a19.倾角为的光滑斜面上置一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定在挡板上。上端与一质量为m的物体相连。当t=0时，物体经过平衡位置向下运动的速度为V0，如图5-15。如取平衡位置为坐标原点，且沿斜面

图5-15 向上为正。

（1）写出物体的振动表达式；

（2）写出振动系统的总势能（取坐标原点为势能零点）。

10.如图5-16中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向都相同的两列正弦波（都只有一个完

—37—

整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔T/4后的波形图。并分析相遇后T/2时刻叠加区域内各质点的运动情况。

图5-16

11．有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速均为v＝2.5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2.5m处重合，如图5-17所示。

（1）求两列波的周期Ta和Tb。

（2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。

（3）辨析题：分析并判断在t＝0时是否存在两列波的波谷重合处。

某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。

你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。

图5-17

12.一列沿x正向传播的简谐波，在t10和t20.25S时刻的波形如图5-18所示。试求：

（1）P点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）画出O点的振动曲线。

图5-18

—38—

第六章 电场

知识要点

§6.1 库仑定律和电场强度

6．1．1、电荷守恒定律

大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。

我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移，静电感应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。此外，液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。

6．1．2、库仑定律 真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正比，和它们之间距离r的平方成正比；作用力的方向沿它们的连线，同号相斥，异号相吸

Fkk9109Nm2/C2

q1q2r2

式中k是比例常数，依赖于各量所用的单位，在国际单位制（SI）中的数值为：

库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：（1）电荷是点电荷；（2）两点电荷是静止或相对静止的；（3）只适用真空。

6．1．3、电场强度

电场强度是从力的角度描述电场的物理量，其定义式为

EFq

式中q是引入电场中的检验电荷的电量，F是q受到的电场力。

借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为

Qq2FQrEkk2qqr

式中r为该点到场源电荷的距离，Q为场源电荷的电量。

6．1．4、场强的叠加原理

在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强，等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。

原则上讲，有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。

§6.2 电势与电势差

6．2．1、电势差、电势、电势能

电场力与重力一样，都是保守力，即电场力做功与具体路径无关，只取决于始末位置。我们把在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值，定义为这两点间的电势差，即

—39—

UABWABq

这就是说，在静电场内任意两点A和B间的电势差，在数值等于一个单位正电荷从A沿任一路径移到B的过程中，电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电势差仅由电场本身性质决定，与被移动电荷的电量无关；即使不移动电荷，这两点间的电势差依然存在。

如果我们在电场中选定一个参考位置，规定它为零电势点，则电场中的某点跟参考位置间的电势差就叫做该点的电势。通常我们取大地或无穷远处为零电势点。电势是标准量，其正负代表电势的高低，单位是伏特（V）。

电势是反映电场能的性质的物理量，电场中任意一点A的电势，在数值上等于一个单位正电荷A点处所具有的电势能，因此电量为q的电荷放在电场中电势为U的某点所具有的电势能表示为qU。

6．2．2、几种常见带电体的电势分布 （1）点电荷周围的电势

如图6-1所示，场源电荷电量为Q，在离Q为r的P点处有一带电量为q的检验电荷，

PP1P2现将该检验电荷由P点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），Qr由于此过程中，所受电场力为变力，故将q移动的整个过程理rr2解为由P移至很近的P1（离Q距离为r1）点，再由P1移至很近的P2（离Q距离为r2）点……直至无穷远处。在每一段很

1图6-1

小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：

Wk

QqQqQqr3r2rrkrrk121r2r12r22……

kQqr1rkQqr2r1kQqr3r2rr1r1r2r2r3…… kQqkQqkQqkQqkQqkQqrr1r1r2r2r3……



所以点电荷周围任一点的电势可表示为：

kQqr

UkQr

式中Q为场源电荷的电量，r为该点到场源电荷的距离。 （2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。 由于实心导体球处于静电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势为。

UkQ r＞R

r

式中Q为均匀带电球壳的电量，R为球壳的半径，r为该点到球壳球心的距离。

kqUiR。由电在球壳上任取一个微元，设其电量为q，该微元在球心O处产生的电势

势叠加原理，可知O点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，

kqkUUiqRR。

—40—

UkQR

kQ因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的电势均为R。

kQUr(rR)kQR (rR)

6．2．3、电势叠加原理

电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理。

6．2．4、匀强电场中电势差与场强的关系 场强大小和方向都相同的电场为匀强电场，两块带等量异种电荷的平板之间的电场可以认为是匀强电场，它的电场线特征是平行、等距的直线。

场强与电势虽然都是反映场强本身性质特点的物理量，但两者之间没有相应的对应联系，但沿着场强方向电势必定降低，而电势阶低最快的方向也就是场强所指方向，在匀强电场中，场强E与电势差U之间满足

UEd

这就是说，在匀强电场中，两点间的电势等于场强大小和这两点在沿场强方向的位移的乘积。

§6.3 电场中的导体与电介质

一般的物体分为导体与电介质两类。导体中含有大量自由电子；而电介质中各个分子的正

负电荷结合得比较紧密。处于束缚状态，几乎没有自由电荷，而只有束缚电子当它们处于电场中时，导体与电介质中的电子均会逆着原静电场方向偏移，由此产生的附加电场起着反抗原电场的作用，但由于它们内部电子的束缚程度不同。使它们处于电场中表现现不同的现象。

6．3．1、静电感应、静电平衡和静电屏蔽 ①静电感应与静电平衡

把金属放入电场中时，自由电子除了无规则的热运动外，还要沿场强反方向做定向移动，结果会使导体两个端面上分别出现正、负净电荷。这种现象叫做“静电感应”。所产生的电荷叫“感应电荷”。由于感应电荷的聚集，在导体内部将建立起一个与外电场方向相反的内电场（称附加电场），随着自由电荷的定向移动，感应电荷的不断增加，附加电场也不断增强，最终使导体内部的合场强为零，自由电荷的移动停止，导体这时所处的状态称为静电平衡状态。

处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点： （a）导体内部场强为零；

（b）净电荷仅分布在导体表面上（孤立导体的净电荷仅分布在导体的外表面上）；

（c）导体为等势体，导体表面为等势面；

（d）电场线与导体表面处处垂直，表面处合场强不为0。

图6-2 ②静电屏蔽

静电平衡时内部场强为零这一现象，在技术上用来实现静电屏

蔽。金属外壳或金属网罩可以使其内部不受外电场的影响。如图1-3-1所示，由于感应电荷的存在，金属壳外的电场线依然存在，此时，金属壳的电势高于零，但如图把外壳接地，金属壳外的感应电荷流入大地（实际上自由电子沿相反方向移动），壳外电场线消失。可见，接地的金属壳既能屏蔽外场，也能屏蔽内场。

在无线电技术中，为了防止不同电子器件互相干扰，它们都装有金属外壳，在使用时，这

—41—

些外壳都必须接地，如精密的电磁测量仪器都装有金属外壳，示波管的外部也套有一个金属罩就是为了实现静电屏蔽，高压带电作用时工作人员穿的等电势服也是根据静电屏蔽的原理制成。

§6.4 电容器

6．4．1、 电容器的电容

电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置，与以化学能储存电能的蓄电池不同。 任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看成是一个电容器，电容器所带电荷Q与它两板间电势差U的比值，叫做电容器的电容，记作C，即

UQU

电容的意义就是每单位电势差的带电量，显然C越大，电容器储电本领越强，而电容是电容器的固有属性，仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关，而与电容器的带电量无关。

电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类，按极片间所用的电介质，则有空气电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器等。

每个电容器的型号都标明两个重要数值：电容量和耐压值（即电容器所承受的最大电压，亦称击穿电压）。

6．4．2、几种常用电容器的电容

（1）平行板电容器 若两金属板平行放置，距离d很小，两板的正对面积为S、两极板间充满相对介电常数为的电介质，即构成平行板电容器。

设平行板电容器带电量为Q、则两极板间电势差

UEdC4k故电容

（2）真空中半径为R的孤立导体球的电容 由公式可知，导体球的电势为：

QSU4kd

4kQddS

UkQR QRUk

因此孤立导体球的电容为

C地球半径很大，电容很大，容纳电荷的本领极强。 6．4．3、电容器的连接 电容器的性能有两个指标；电容和耐压值。在实际应用时，当这两个指标不能满足要求时，就要将电容器串联或并联使用。

（1）串联

几个电容器，前一个的负极和后一个的正极相连，这种连接方式称为电容器的串联。充电后各电容器的电量相同，即Q1Q2…=Q；第一个电容器的正极与第n个电容器的负极之间的电U为各电容器电压Ui之和，即

，因此电容器串联可以增大耐压值。用一个

电量为Q，电压为U的等效电容来代替上述n个串联的电容器，则电容为

QCQ/U1U2UnU

i1nUUi—42—

n1111Ci1CC1C2Cni1

（2）并联

把n个电容器的正极连在一起，负极连在一起，这种连接方式称为电容器的并联。充电后正极总电量Q等于各电容器正极电量Qi之和，即

QQii1n；正极和负极之间的电压U等于

各电容器的电压Ui，即UUi,i1,2,n。

用一个电量为Q、电压为U的等效电容器代替上述几个并联的电容器，则电容为

QiQi1CUU CC1C2CnCii1nn

§6.5 静电场的能量

6．5．1、带电导体的能量

一带电体的电量为Q，电容为C，则其电势U想带电体上的电量Q，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的Ui功，就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的函数关系

UQC。我们不妨设

1如图6-3所示，斜率为C。设每次都搬运极少量的电荷Q，此过程可认为导体上的电势不变，设为Ui，该过程中搬运电荷所做的功为WiUiQ，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过

程中，带电导体储存的能量为

OQQ 图6-3

其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若Q取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。

WWiUiQ

1Q21WUiQQUCU222C2

上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板

上所带电量的关系也是线性的。

6．5．2、电场的能量

1WCU22由公式，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的。

其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题。由于在静电

场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。

11SE2Sd222WCUEd224kd8k

—43—

单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用

来表示

WE2V8k

上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，

而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。

6．5．3、电容器的充电

如图1-5-2所示，一电动势为U的电源对一电容为C的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量

QCU

电容器所带能量

1WCU22

而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为

WQUCU22W

也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电

源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。

典型例题 例1.两个电荷量分别为Q和4Q的负电荷a、b，在真空中相距为l，如果引入另一点电荷c，正好能使这三个电荷都处于静止状态，试确定电荷c的位置、电性及它的电荷量

【解析】 由于a、b点电荷同为负电性，可知电荷c应放在a、b之间的连线上，而c受到a、b对它的库仑力为零，即可确定它的位置

又因a、b电荷也都处于静止状态，即a、b各自所受库仑力的合力均要为零，则可推知c的带电性并求出它的电荷量

依题意作图如图6-4所示，并设电荷c和a相距为x，则b与c相距为（l-x)，c的电荷量为qc

对电荷c，其所受的库仑力的合力为零，即Fac=Fbc

图6-4

根据库仑定律有：

kqcQx2kqc4Q(lx)2

解得： x1=

1l，x2=-l3

由于a、b均为负电荷，只有当电荷c处于a、b之间时，其所受库仑力才可能方向相反、合力为零，因此只有x=

1l3

三个电荷都处于静止状态，即a、b电荷所受静电力的合力均应为零，对a来说，b对它

—44—

的作用力是向左的斥力，所以c对a的作用力应是向右的引力，这样，可以判定电荷c的电性必定为正

又由Fba=Fca，

得：kqcQ(l3)2k4QQ， 2l即qc=

4Q9

【思考】 （1）像本例这种情况，要保证三个电荷都静止，三个电荷是否必须在同一直线上？两侧的电荷是否一定为同性电荷，中间的一定为异性电荷？

（2）若a为+Q、b为-4Q，引入的第三个电荷c的电性、电量，位置如何，才能使a、b、c均静止？

（3）本例中若a、b两电荷固定，为使引入的第三个电荷c静止，c的电性、电量、位置又如何？

【思考提示】 （1）三个电荷必须在同一直线上，才能保证每一个电荷所受的其他两电荷施加的库仑力等大反向.两端的电荷必须是同性电荷，中间的为异性电荷，才能保证每一个电荷所受的两个力均反向

（2）若a为+Q，b为-4Q，则c应放在ab连线上a、b的外侧且在a侧距a为l，qc=-4Q.

（3）若a、b均固定，为使c静止，则c在a、b之间距a为x=

l处（位置不变），c可带3

正电荷，也可带负电荷，电量也没有限制

【设计意图】 通过本例说明利用库仑定律讨论三个电荷平衡问题的方法及特点

例2..如图6-5（甲）所示，真空室中电极K发出的电子（初速不计）经过U0=100 V的加速电场后，由小孔s沿两水平金属板A、B间的中心线射入.A、B板长l=0.20 m，相距d=0.020 m，加在A、B两板间的电压u随时间t变化的u—t图线如图6-5（乙）所示.设A、B间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场.在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的.两板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离b=0.15 m，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T=0.20 s，筒的周长L=0.20 m，筒能接收到通过A、B板的全部电子.

6-5（甲）

6-5（乙）

—45—

6-5（丙）

（1）以t=0时（见图6-5（乙）所示，此时u=0)，电子打到圆筒记录纸上的点作为xy坐标系的原点，并取y轴竖直向上.试计算电子打到记录纸上的最高点y坐标和x坐标（不计重力作用）

(2)在给出的坐标纸（图6-5（丙）所示）上定量画出电子打到记录纸上的点形成的图线 【解析】（1）计算电子打到记录纸上的最高点坐标

设v0为电子沿A、B板的中心线射入电场时的初速度，则

1mv02=eU0 2 ①

电子在中心线方向的运动为匀速运动，设电子穿过A、B板的时间为t0，则 l=v0t0 电子在垂直A、B板方向的运动为匀加速直线运动

对于恰能穿过A、B板的电子，在它通过时加在两板间的电压UC应满足

②

11eUc2d=·t0 22md ③

2d2联立①、②、③式解得UC=2U0l

此电子从A、B板射出时沿y方向的分速度为 vy=

eUCt0 md ④

以后，此电子做匀速直线运动，它打在记录纸上的点最高，设纵坐标为y，由图6-6可得

图6-6

yd2vy bv0 ⑤

由以上各式解得 y=

dbd2.5 cm l2 ⑥

从题给的u—t图线可知，加于两板电压u的周期T0=0.10 s，u的最大值Um=100 V，因为

UC＜Um，在一个周期T0内，只有开始的一段时间间隔Δt内有电子通过A、B板

Δt=

UCT0 Um ⑦

—46—

因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第一个最高点的x坐标为

x1=

tL =2 cm T ⑧

第二个最高点的x坐标为 x2=

t2T0L=12 cm Tt2T0L T

⑨

第三个最高点的x坐标为 x3=

由于记录筒的周长为20 cm，所以第三个最高点已与第一个最高点重合，即电子打到记录纸上的最高点只有两个，它们的坐标分别由⑧和⑨表示

(2)电子打到记录纸上所形成的图线，如图6-7所示

图6-7

【说明】 本题着重考查考生综合分析能力和应用数学处理物理问题的能力.对于比较复杂的物理情境，考生尤其应注意对物理过程的分析，从中找出解题所需要的规律和条件

本题所设计的物理情境是组合式的.电子的运动共有三个过程：被U0加速的过程；在A、B平行板产生的电场中运动的过程；通过A、B后打在记录筒上的过程.这三个过程对于学生来说都不陌生.第一个过程是匀加速直线运动；第二个过程是类平抛运动；第三个过程是电子离开偏转电场后做匀速直线运动

本题最后设计了一个转动的屏，不少学生因此而弄不懂题目，这显然不是文字问题，而是自己没有分析能力的表现.前面的三个过程分析不清或得不到分则是对基本的物理问题处理方法不明确

各种物理现象，都是在一定的条件下发生的，如本题中的电子能否穿过平行板决定于加在平行板两端的电压的大小这一条件.因此，在解物理问题时，对于所涉及的物理现象，一定要分析清楚产生该现象的原因，并能够独立地分析物理情境中所包含的条件和因素，用数学公式表示出来，进行分析、推导.这是鉴别考生能力高低的一个重要标志

课堂练习 1．两个体积相同的导体小球，带电量分别为q1和q2，相距为r。如果把这两个小球相接触后再各放回原来的位置。

（1）如果q1与q2同号，求证这一操作后两小球的相互作用力一定变大。

（2）如果q1与q2异号，试推导这一操作后两小球的相互作用力可能变大、可能变小、可能不变的条件。

—47—

2、如图6-8所示，两个同心导体球，内球半径为R1，外球是个球壳，内半径为R2，外半径R3。在下列各种情况下求内外球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律。

（1）内球带q，外球壳带Q。 （2）内球带q，外球壳不带电。 （3）内球带q，外球壳不带电且接地。

R3R2R1（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q。

图6-8

3、在距离一个接地的很大的导体板为d的A处放一个带电量为q的点电荷（图6-9）。 （1）求板上感应电荷在导体内P点（PAr）产生的电场强度。

（2）求板上感应电荷在导体外P点产生的电场强度，已知P点与P点以导体板右表面对称。

（3）求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表面垂直。 （4）求导体板上感应电荷对电荷q的作用力，

（5）若切断导体板跟地的连接线，再把Q电荷置于导体板上，试说明这部分Q电荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡（略去边缘效应）。

PrP

dAq

图6-9

4．绝缘光滑水平面上固定一个正点电荷+Q，另一个质量为m、带电量为-q的质点在水平面上绕+Q做椭圆运动，运动过程中-q在水平方向上只受+Q的库仑引力作用。已知在-q的运动中距+Q的最近距离为a，最远距离为最近距离的n倍。问：-q到达离+Q最近距离处速率ν1多大？到达离+Q最远距离处速率ν2多大？当-q到达离+Q最远处时，欲要-q变为绕+Q做匀速圆周运动，需要向-q提供多少能量？（万有引力势能表达式Ep

kQq） r—48—

5．长为L的一根绝缘细线拴一个金属小球A，A球正下方固定着另一金属小球B。A、B两球质量都是m，带电量都是+q，且都可以看成是点电荷，它们之间距离也是L。

（1）A球静止时设细线被拉紧，求细线的拉力多大？

（2）如果把细线剪断，当球A下落了高度h（h‹L）时，A球的速度有多大？

（3）不剪断细线而令A球在水平面上做圆锥摆运动，细线跟竖直方向夹角为60º时，A球角速度ω多大？细线拉力多大？

6．点电荷+9Q和-Q，固定放置，相距L，第三个电荷q只能在过+9Q与-Q直线上运动。问：

（1）q应满足什么条件，才能在直线上平衡？ （2）q的平衡稳定性跟q的电荷符号有什么关系？

9QQqxL图6-11

︸ 7.一根放在水平面内的光滑玻璃管绝缘性很好，内部有两个完全一样的弹性金属小球A

和B，带电量分别为9Q和-Q，两球质量分别为m和2m，两球从图6-12所示的位置同时由静止释放，那么，两球再次经过图中的原静止位置时，A球的瞬时加速度为释放时的______倍.此时两球速率之比为______.

图6-12

—49—

8.如图6-13所示，半径为r的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的正电荷，单位长度上的

电量为q，其圆心Ｏ处的场强为零.现截去环顶部的一小段弧AB，AB＝L且Lr，求剩余电荷在圆心Ｏ处产生电场的场强

图6-13

9.如图6-14所示，在真空中的A、B两点分别放等量异号点电荷+q、-q，在电场中通过A、B两点的竖直平面内于对称位置取一个矩形路径abcd.现将一个电子沿abcd移动一周，则正确的是

A.由a→b，电势降低，电子电势能减少

B.由b→c，电场力对电子先做正功，后做负功，总功为零 C.由c→d，电子的电势能增大

D.由d→a，电子的电势能先减小后增大，电势能总变化量为零

图6-14

10.如图6-15所示，匀强电场中，A、B、C三点构成一边长为a

的等边三角形，电场强度方向平行于纸面.现有一电子，在电场力作用下，由A至C动能减少W，而质子在电场力作用下，由A至B动能增加W，则该匀强电场E的大小和方向的判定正确的是

23W，方向垂直BC并由A指向BC 3ae3WB.E=，方向垂直BC并由A指向BC

6ae23WC.E=，方向垂直AC并由B指向AC

3ae3WD.E=，方向垂直AB并由C指向AB

6aeA.E=

图6-15

11.如图6-16所示，两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬于O点，若q1＞q2，l1＜l2，平衡时两球到过O点的竖直线的距离相等，则m1______m2.(填“＞”“=”或“＜”＝

图6-16

—50—

第七章 恒定电流

知识要点

欧姆定律

7、1、1电阻定律 a、电阻定律 R = ρ

b、金属的电阻率 ρ = ρ0（1 + αt） 0为0℃时的电阻率 α为电阻温度系数 7、1、2欧姆定律

a、外电路欧姆定律 U = IR ，顺着电流方向电势降落 b、含源电路欧姆定律

在如图7-1所示的含源电路中，从A点到B点，遵照原则：①遇电阻，顺电流方向电势降落（逆电流方向电势升高）②遇电源，正极到负极电势降落，负极到正极电势升高（与电流方向无关），可以得到以下关系

UA − IR − ε − Ir = UB 这就是含源电路欧姆定律。 c、闭合电路欧姆定律

图7-1

lS在图中，若将A、B两点短接，则电流方向只可能向左，含源电路欧姆定律成为 UA + IR − ε + Ir = UB = UA 即 ε = IR + Ir ，或 I =

 Rr这就是闭合电路欧姆定律。值得注意的的是：①对于复杂电路，“干路电流I”不能做绝对的理解（任何要考察的一条路均可视为干路）；②电源的概念也是相对的，它可以是多个电源的串、并联，也可以是电源和电阻组成的系统；③外电阻R可以是多个电阻的串、并联或混联，但不能包含电源。 复杂电路的计算

7、2、1戴维南定理：一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络，可以用一个电压源和电阻串联的二端网络来等效。（事实上，也可等效为“电流源和电阻并联的的二端网络”——这就成了诺顿定理。）

应用方法：其等效电路的电压源的电动势等于网络的开路电压，其串联电阻等于从端钮看进去该网络中所有独立源为零值时的等效电阻。 ．．．

7、2、2基尔霍夫定律

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a、基尔霍夫第一定律：在任一时刻流入电路中某一分节点的电流强度的总和，等于从该点流出的电流强度的总和。

例如，在图7-2中，针对节点P ，有 I2 + I3 = I1

基尔霍夫第一定律也被称为“节点电流定律”，它是电荷守恒定律在电路中的具体体现。

对于基尔霍夫第一定律的理解，近来已经拓展为：流

图7-2

入电路中某一“包容块”的电流强度的总和，等于从该“包容块”流出的电流强度的总和。

b、基尔霍夫第二定律：在电路中任取一闭合回路，并规定正的绕行方向，其中电动势的代数和，等于各部分电阻（在交流电路中为阻抗）与电流强度乘积的代数和。

例如，在图中，针对闭合回路① ，有 ε3 − ε2 = I3 ( r3 + R2 + r2 ) − I2R2

基尔霍夫第二定律事实上是含源部分电路欧姆定律的变体 7、2、3Y—△电路的等效代换

用基尔霍夫方程组计算直流电路问题需要求解代数方程组。虽然原则上不难求解，但如果电路复杂，方程很多，则计算量很大，也容易出错。因而人们针对各类不同问题，想出许多简化方法。这里仅介绍一种方法Y—△电路的等效代换。 在某些复杂电路中，往往会遇到电阻的Y形或△形联接，如图7－3所示。有时，把Y形联接代换成等效的△形联接，或相反，把△形联接代换成等效的Y形联接，可以使电路变为简单的串、并联，从而简化计算。

所谓等效代换是指两种联接之间的代换不改变电路其余部分的电压和电流，即要求Y形联接三个端钮

的U1、U2、U3，以及流过的电流I1、I2、I3，与△形联接的三个端钮完全相同。 可以证明，从Y形联接到△形联接，各电阻之间的变换关系为:

R12=

图7-3

R1R2R2R3R3R1RRR2R3R3R1RRR2R3R3R1 R23=12 R31=12

R3R1R2从△形联接到Y形联接，各电阻之间的逆变换关系为

R12R23R23R31R31R12R1= R2= R3=

R12R23R31R12R23R31R12R23R317、3、1电源

使其他形式的能量转变为电能的装置。如发电机、电池等。发电机是将机械能转变为电能；干电池、蓄电池是将化学能转变为电能；光电池是将光能转变为电能；原子电池是将原子核放射能转变为电能；在电子设备中，有时也把变换电能形式的装置，如整流器等，作为电源看待。

电源电动势定义为电源的开路电压，内阻则定义为没有电动势时电路通过电源所遇到的电

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阻。据此不难推出相同电源串联、并联，甚至不同电源串联、并联的时的电动势和内阻的值。

例如，电动势、内阻分别为ε1 、r1和ε2 、r2的电源并联，构成的新电源的电动势ε和内阻r分别为ε =

1r22r1rr r = 12 r1r2r1r27、3、2电功、电功率

电流通过电路时，电场力对电荷作的功叫做电功W。单位时间内电场力所作的功叫做电功率P。

计算时，只有W = UIt和P = UI是完全没有条件的，对于不含源的纯电阻，电功和焦耳热

U2U22

重合，电功率则和热功率重合，有W = IRt = t和P = IR = 。

RR2

对非纯电阻电路，电功和电热的关系依据能量守恒定律求解。

典型例题 【例题1】如图7-4是测量灵敏电流表G的内电阻Rg的一个实验电路．P、R、S为阻值已知的电阻，Q为电阻箱，调节Q使开关S不论接通或断开，表G的读数都不发生变化．求：

（1）电流表内阻 Rg。

（2）已知电源电动势为ε，内阻不计，求流过电流表的电流强度． 解:（1）电桥平衡，必有

PSQPS Rg=

RRPRSQQg()RRg （2）由于电源内阻不计，G两端的电压为

图7-4

RRgRRgRRg UG=

RRgS(PRg)RRgSRRg 流过电流表G的电流强度

IG=

UGRR RGS(RRg)RRgRS(SR)Rg 将Rg的值代入上式，得

IG=

RRS(SR)PSQPRSQPRSQ

RS(PQ)—53—

【例题2】如图7-5所示的电路中，已知R1＝50Ω，R2＝40Ω，R3=15Ω，R4=26Ω，R5=10Ω，求电路中A、D两端之间的总电阻RAB。

解:应注意由R1、R2、R3、R4和R5构成的电桥并未处于平衡状态， 可用下述方法处理。将A、B、C三点之间的电路用一星形电路代替，如图7-6所示，变换前后的情况也可等效为如图所示电路，可依△→Y公式进行计算。

Ra=Rb=Rc=

图7-5

RABRCA

RABRBCRCARABRBC

RABRBCRCARBCRCA

RABRBCRCA解：由上述公式可得 RA=RB=RC=

所以RAD=RA+

R1R2504020

R1R2R5504010R1R550105

R1R2R5504010R2R540104

R1R2R5504010(RBR3)(RCR4)(515)(426)2032

RBR3RCR4515426图7-6

课堂练习 1.为探究小灯泡L的伏安特性，连好图7-7示的电路后闭合开关，通过移动变阻器的滑片，使小灯泡中的电流由零开始逐渐增大，直到小灯泡正常发光。由电流表和电压表得到的多组读数描绘出的U-I图象应是

2. 在图7-8所示的电路中，电容C=2μF，电动势e =12V，电源内阻不计，电阻R1:R2:R3:R4=1:2:6:3，则电容器极板a所带的电量为

A．8×10-6C B．-8×10-6C C．4×10-6C D．-4×10-6C

3.如图7-9所示，电动势为E、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接。只合上开关S1，三个灯泡都能正常工作。如果再合上S2，则下列表述正确的是

A．电源输出功率减小

B．L1上消耗的功0率增大

图7-9

图7-8 图7-7

C．通过R1上的电流增大 D．通过R3上的电流增大

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4.图7-10示电路中，R1＝12，R2＝6，滑动变阻器R3上标有“20，2A”字样，理想电压表的量程有0-3V和0-15V两档，理想电流表的量程有0-0.6A和0-3A两档。闭合电键S，将滑片P从最左端向右移动到某位置时，电压表、电流表示数分别为2.5V S 和0.3A；继续向右移动滑片P到另一位置，电压表指针指在满偏的1/3， R1 A R3 电流表指针指在满偏的1/4，则此时电流表示数为__________A，该电 R2 源的电动势为__________V。

5．图7-11为测量某电源电动势和内阻时得到的U-I图线。用此电源与三个阻值均为3的电阻连接成电路，测得路端电压为4.8V。则该电路可能为

V 图7-10

图7-11

6．某同学设计了一个转向灯电路（如图7-12），其中L为指示灯，L1、L2分别为左、右转向灯，S为单刀双掷开关，E为电源，当S置于位置1时，以下判断正确的是 A.L的功率小于额定功率 B.L1亮，其功率等于额定功率 C.L2亮，其功率等于额定功率 D.含L支路的总功率较另一支路的大

7．汽车电动机启动时车灯会瞬时变暗，如图7-13，在打开车灯的情况下，电动机未启动时电流表读数为10 A，电动机启动时电流表读数为58 A，若电源电动势为12.5 V，内阻为0.05 Ω，电流表内阻不计，则因电动机启动，车灯的电功率降低了

A．35.8 W B．43.2 W C．48.2 W D．76.8 W 8．图7-14中B为电源，R1、R2为电阻.K为电键。现用多用电表测量流过电阻R2的电流。将多用电表的选择开关调至直流电流挡（内阻很小）以后，正确的接法是

A．保持K闭合，将红表笔接在a处，黑表笔接在b处 B．保持K闭合，将红表笔接在b处，黑表笔接在a处 C．将K断开，红表笔接在a处，黑表笔接在b处 D．将K断开，红表笔接在b处，黑表笔接在a处

图7-14

× M 电动机 A 图7-13 图7-12

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