末数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列计算正确的是（ ） A．（﹣3）2＝﹣9
B．﹣32＝﹣6
C．﹣3﹣（﹣2）＝﹣5 D．2﹣3＝﹣1
2．“一带一路”倡议提出5年来，有11家中资银行在27个“一带一路”沿线国家设立了71家一级分支机构，中资银行参与“一带一路”建设项目2600多个，累计发放贷款超过2000亿美元，涉及交通、基础设施、装备出口等多个领域，其中2000亿用科学记数法表示为（ ） A．2×103
B．2×1011
C．2×1012
D．2000×108
3．下列数或式：（﹣2）3，（﹣）6，﹣52，0，m2+1，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知﹣25a2mb和7b3﹣na4是同类项，则m+n的值是（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，那么，原点应是点（ ）
A．P
B．Q
C．S
D．T
6．下列说法不正确的是（ ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．连结两点的线段叫做这两点的距离 D．同角的补角相等
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知M是线段AB的中点，AM＝6cm，则AB＝ cm． 8．若x+y＝3，则x+y﹣1＝ ．
9．已知∠a＝29°18′，那么∠a的余角为 ．
10．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于 ．
11．某一项工作，甲独立完成需18天，乙独立完成24天，如果两人先合做8天后，余下的工作再由甲独立做x天完成，那么所列方程为 ． 12．已知x＝﹣2是方程2x﹣|k﹣1|＝﹣6的解，则k＝ ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算：
（1）﹣（﹣3）+|﹣1|﹣（+9）；
（2）[﹣3×（﹣）2+（﹣1）3]÷（﹣）． 14．解方程：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x．
15．问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点．若EC＝3，求线段DB的长． 请补全以下解答过程．
解：∵点C是线段AB的中点， ， ∴AB＝2AC，AD＝2AE ∵DB＝AB﹣ ，
∴DB＝ ﹣2AE＝2（AC﹣AE）＝2EC． ∵EC＝3， ∴DB＝ ．
16．如图，某小区计划在宽为30米，长为48米的长方形空地上，修建宽度为x米的水平和竖直的两条小路，余下的部分作为草地，选用的草皮的价格是每平方米a元． （1）请用含a，x的代数式表示买草皮需要多少元；（不需要化简） （2）当a＝60，x＝2时，计算买草皮的费用．
17．先化简下式，再求值： 5
（xy2﹣4x2y），其中x＝﹣，y＝．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． （1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
19．某一野外探险队由基地A处向北偏东30°方向前进了40千米到达B点，然后又向北偏西60°方向前进了30千米到达C点处工作．
（1）请在图中画出行走路线图．（1厘米表示10千米）
（2）通过度量，请你算出C点离基地A的距离．（精确到1千米）
（3）若基地要派一指导员赶往C点，要求在2小时内赶到，问指导员应以不低于多大的平均速度前进才能按时到达？
20．天誉百货商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装每件售价1200元，可盈利50%．
（1）每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．
（1）写出点A和点B表示的数；
（2）写出在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
（3）若直尺长度为a厘米，移动直尺，使得直尺的长边CD的中点与数轴上的点A重合，求此时左端点C表示的数．
22．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 六、（本大题共12分） 23．新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 ；【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列计算正确的是（ ） A．（﹣3）2＝﹣9
B．﹣32＝﹣6
C．﹣3﹣（﹣2）＝﹣5 D．2﹣3＝﹣1
【分析】根据有理数的乘方定义和加减运算法则计算可得． 解：A、（﹣3）2＝9，此选项错误； B、﹣32＝﹣9，此选项错误；
C、﹣3﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1，此选项错误； D、2﹣3＝2+（﹣3）＝﹣1，此选项正确； 故选：D．
2．“一带一路”倡议提出5年来，有11家中资银行在27个“一带一路”沿线国家设立了71家一级分支机构，中资银行参与“一带一路”建设项目2600多个，累计发放贷款超过2000亿美元，涉及交通、基础设施、装备出口等多个领域，其中2000亿用科学记数法表示为（ ） A．2×103
B．2×1011
C．2×1012
D．2000×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：2000亿＝2000 0000 0000＝2×1011， 故选：B．
3．下列数或式：（﹣2）3，（﹣）6，﹣52，0，m2+1，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．
解：（﹣2）3＝﹣8＜0，（﹣）6＝
＞0，﹣52＝﹣25＜0，0，m2+1≥1＞0，
∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，
故选：B．
4．已知﹣25a2mb和7b3﹣na4是同类项，则m+n的值是（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据同类项得定义得出关于m、n的方程组，解之可得m、n的值，代入即可得．解：根据题意得解得：m＝2，n＝2， ∴m+n＝4， 故选：C．
5．如图，数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，那么，原点应是点（ ）
A．P
B．Q
C．S
D．T
，
【分析】根据数轴可以分别假设原点在P、Q、S、T，然后分别求出p+q+s+t的值，从而可以判断原点在什么位置，本题得以解决． 解：由数轴可得，
若原点在P点，则p+q+s+t＝10， 若原点在Q点，则p+q+s+t＝6， 若原点在S点，则p+q+s+t＝﹣2， 若原点在T点，则p+q+s+t＝﹣14，
∵数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2， ∴原点应是点S， 故选：C．
6．下列说法不正确的是（ ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．连结两点的线段叫做这两点的距离 D．同角的补角相等
【分析】利用线段公理、两点间的距离的定义、确定直线的条件及补交的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、两点之间，线段最短，正确； B、两点确定一条直线，正确；
C、连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故错误； D、同角的补角相等，正确； 故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知M是线段AB的中点，AM＝6cm，则AB＝ 12 cm． 【分析】根据线段中点的定义即可得到结论． 解：∵M是线段AB的中点，AM＝6cm， ∴AB＝2AM＝2×6＝12（cm）， 故答案为：12．
8．若x+y＝3，则x+y﹣1＝ 2 ． 【分析】根据等式的基本性质解决此题． 解：∵x+y＝3， ∴x+y﹣1＝3﹣1＝2． 故答案为：2．
9．已知∠a＝29°18′，那么∠a的余角为 60°42′ ．
【分析】直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案． 解：∵∠a＝29°18′，
∴∠a的余角为：90°﹣29°18′＝60°42′． 故答案为：60°42′．
10．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于 30° ．
【分析】从如图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣150°＝30°． 故答案为：30°
11．某一项工作，甲独立完成需18天，乙独立完成24天，如果两人先合做8天后，余下的工作再由甲独立做x天完成，那么所列方程为
+
＝1 ．
【分析】根据甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 解：依题意得：故答案为：
+
+
＝1．
＝1．
12．已知x＝﹣2是方程2x﹣|k﹣1|＝﹣6的解，则k＝ 3或﹣1 ．
【分析】把x＝﹣2代入方程，得到|k﹣1|＝2，再根据绝对值的定义即可求出k的值． 解：将x＝﹣2代入方程得：﹣4﹣|k﹣1|＝﹣6， ∴|k﹣1|＝2， ∴k﹣1＝2或﹣2， 解得：k＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算：
（1）﹣（﹣3）+|﹣1|﹣（+9）；
（2）[﹣3×（﹣）2+（﹣1）3]÷（﹣）．
【分析】（1）﹣3的相反数是3，﹣1的绝对值是1，计算即可； （2）先算乘方，再算中括号里面，最后算乘法． 解：（1）原式＝3+1﹣9 ＝﹣5；
（2）原式＝[﹣3×+（﹣1）]×（﹣） ＝[﹣+（﹣1）]×（﹣） ＝﹣×（﹣）
＝2．
14．解方程：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x．
【分析】通过去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题． 解：∵1﹣2（x﹣1）＝﹣3x， ∴1﹣2x+2＝﹣3x． ∴﹣2x+3x＝﹣2﹣1． ∴x＝﹣3．
15．问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点．若EC＝3，求线段DB的长． 请补全以下解答过程．
解：∵点C是线段AB的中点， 点E是线段AD的中点 ， ∴AB＝2AC，AD＝2AE ∵DB＝AB﹣ AD ，
∴DB＝ 2AC ﹣2AE＝2（AC﹣AE）＝2EC． ∵EC＝3， ∴DB＝ 6 ．
【分析】根据点C是线段AB的中点，即可知AC＝BC，AB＝2AC，AD＝2AE，再根据DB＝AB﹣AD，将AB和AD用2AC和2AE代替即可找到DB与EC的关系进而求解． 解：∵点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点， ∴AB＝2AC，AD＝2AE ∵DB＝AB﹣AD，
∴DB＝2AC﹣2AE＝2（AC﹣AE）＝2EC． ∵EC＝3， ∴DB＝6．
故答案为：点E是线段AD的中点，AD，2AC，6．
16．如图，某小区计划在宽为30米，长为48米的长方形空地上，修建宽度为x米的水平和竖直的两条小路，余下的部分作为草地，选用的草皮的价格是每平方米a元． （1）请用含a，x的代数式表示买草皮需要多少元；（不需要化简）
（2）当a＝60，x＝2时，计算买草皮的费用．
【分析】（1）根据题意可将小路平移到长方形的边上，如图1，则余下的部分长为（48﹣x）米，宽为（30﹣x）米，根据长方形的面积计算即可得出得出答案； （2）把a＝60，x＝2代入（1）中的代数式即可得出答案． 解：（1）如图1，
余下草地的面积为，（48﹣x）（30﹣x）， 则买草皮需要，（48﹣x）（30﹣x）×a（元）； （2）把a＝60，x＝2代入（48﹣x）×（30﹣x）×a中， 得（48﹣2）×（30﹣2）×60＝77280（元）， 答：买草皮的费用为77280元．
17．先化简下式，再求值： 5
（xy2﹣4x2y），其中x＝﹣，y＝．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值． 解：原式＝xy2﹣5x2y﹣xy2+2x2y ＝（xy2﹣xy2）+（2x2y﹣5x2y） ＝2xy2﹣3x2y． 当x＝﹣，y＝时，
原式＝2×（﹣）×（）2﹣3×（﹣）2×
＝2×（﹣）×﹣3×× ＝﹣﹣ ＝﹣
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． （1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论． 解：（1）∵∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠DOE＝∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°； （2）∠BOD＝3∠COE， 设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x， ∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60﹣x）＝180﹣3x， ∴∠BOD＝180﹣∠AOD＝180﹣（180﹣3x）＝3x， ∴∠BOD＝3∠COE．
19．某一野外探险队由基地A处向北偏东30°方向前进了40千米到达B点，然后又向北偏西60°方向前进了30千米到达C点处工作．
（1）请在图中画出行走路线图．（1厘米表示10千米）
（2）通过度量，请你算出C点离基地A的距离．（精确到1千米）
（3）若基地要派一指导员赶往C点，要求在2小时内赶到，问指导员应以不低于多大的平均速度前进才能按时到达？
【分析】（1）根据方位角的意义，按要求的比例尺画图，确定B点位置，再在B点处画方位角以相同的比例尺确定C点；
（2）连接AC，量出图上距离，再按比例尺算出实际距离； （3）根据速度＝路程÷时间即可求解． 解：（1）如图所示：
（2）连接AC，度量出AC＝5厘米，即C点离基地A的实际距离为50千米；
（3）50÷2＝25（千米/时）．
答：指导员的平均速度应不低于25千米/时．
20．天誉百货商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装每件售价1200元，可盈利50%．
（1）每件甲种服装利润率为 60% ，乙种服装每件进价为 800 元；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？ 【分析】（1）根据利润率＝
×100%可求出每件甲种服装利润率，由乙种服装商品
每件售价1200元和盈利50%可求出进价；
（2）求出甲、乙两种服装各进的件数，则可求出答案． 解：（1）∵甲种服装每件进价500元，售价800元， ∴每件甲种服装利润率为
×100%＝60%，
∵乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%， ∴乙种服装每件进价为故答案为：60%，800；
（2）设甲种服装进了x件，则乙种服装进了（40﹣x）件， 由题意得500x+800（40﹣x）＝27500， 解得：x＝15．
商场销售完这批服装，共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）． 答：商场销售完这批服装，共盈利14500元． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．
＝800（元）．
（1）写出点A和点B表示的数；
（2）写出在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
（3）若直尺长度为a厘米，移动直尺，使得直尺的长边CD的中点与数轴上的点A重合，求此时左端点C表示的数．
【分析】（1）根据AB＝8﹣2＝6，点A和B表示的数互为相反数，即可得到结果；
（2）利用点B表示的数3减去9.5即可得到答案； （3）利用中点表示的数向左移动个单位计算即可． 解：（1）∵A对应刻度2，B对应刻度8， ∴AB＝8﹣2＝6，
∵A、B在数轴上互为相反数，A在左，B在右， ∴A表示﹣3，B表示3．
（2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米， ∴C表示的数：3﹣9.5＝﹣6.5． （3）∵CD＝acm，
∴CD中点到C的距离为cm， ∴移动后A距C的距离为cm， ∵A表示﹣3，
∴C表示的数为：﹣3﹣．
22．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
解：（1）∵方程3x＝m是和解方程， ∴＝m+3， 解得：m＝﹣．
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n， ∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n＝﹣． 六、（本大题共12分） 23．新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 是 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 15°或22.5°或30° ； 【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值． 【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可； （3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可． 解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是；
（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x， 由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°， ②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x， 由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，
③设∠AOC＝x，则∠BOC＝x， 由题意得，x+x＝45°，解得x＝30°， 故答案为：15°或22.5°或30°；
（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t， 若OA是射线OM与ON的幸运线， 则∠AON＝
，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝
； ； ；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60， 若ON是射线OM与OA的幸运线，
则∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）； ∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝
；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）； 故t的值是
或
或
或
．
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