第３４卷第２期 Ｖｏ１．３４，Ｎｏ．２ 西华大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２０１５年３月 Ｍａｒ．２０１５ ・基础学科・ 一类解析函数的性质 郭栋，黄金超 、 （滁州职业技术学院基础部，安徽滁州２３９０００） 摘要：利用微分从属的方法研究解析函数类的一些性质。引入解析函数类Ｈ的子类日（Ａ， ，Ａ， ），利用 Ｂｒｉｏｔ—Ｂｏｕｑｕｅｔ微分从属的方法，分别研究其从属关系、包含关系、属于曰（Ａ， ，Ａ，Ｂ）或属于其子类的充要条件。 关键词：从属；单叶函数； （Ａ， ，Ａ，曰）函数；Ｂｒｉｏｔ—Ｂｏｕｑｕｅｔ微分从属 中图分类号： 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３—１５９Ｘ（２０１５）０２—００３６—５ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—１５９Ｘ．２０１５．０２．００７ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｆｏｒ ａ Ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ＧＵＯ Ｄｏｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｊｉｎ—ｃｈａｏ （Ｆｏｕｎｄａｔｗｎｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｃｈｕｚｈｏｕ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｕｚｈｏｕ ２３９０００ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ａ ｓｕｂｃｌａｓｓ口（ＡＯ／，Ａ，Ｂ）ｏｆＨａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｔｓ ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｔｈｅ ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ，ｉｎｃｌｕ— ，ｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｓｏｍｅ ｓｕｆｉｃｉｅｎｔｆ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｅｌｏｎｇｉｎｇ ｔｏ ｔｈｉｓ ｃｌａｓｓ ｏｒ ｉｔｓ ｓｕｂｃｌａｓｓｅｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｏｆ Ｂｒｉｏｔ—Ｂｏｕｑｕｅｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ；ｕｎｉｖａｌｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｂ（ＡＯＬ，Ａ，曰）ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｂｒｉｏｔ—Ｂｏｕｑｕｅｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ，令Ｈ表不形如 ）＝ｚ＋ａ２ｚ ＋ａ３ｚ。＋… （１） 且在Ｕ＝｛ ： ＜１｝内解析的函数 ｚ）的全体所成的函数类。 中单叶函数全体记作Ｓ。用５ 、Ｃ和Ｋ 分别表示通常的星像函数类、凸像函数类和近于凸函数类，它们都是ｓ的子类。设 ｚ）∈Ｈ，由（１）式给出。 我们类似于Ｓ 定义 一５ ＝｛ ∈ ，Ｒｅ（ ）“＞０， ∈ｕｔ。 设 ）和Ｆ（ｚ）都在 内解析，如果存在 内的解析函数０２（ ），满足０２（０）：０，Ｉ （ ）Ｉ＜１，使得 ｚ）＝Ｆ（ （ ））（１ Ｚ ｌ＜１），则简称 ｚ）属于Ｆ（ｚ），记作 ｚ）＜Ｆ（ｚ）。若Ｆ（ｚ）在 内单叶，则 Ｚ）＜ Ｆ（ｚ）等价于 ０）＝Ｆ（Ｏ）且 Ｕ）ｃ Ｆ（Ｕ）。 定义１设Ａ≥０， ＞０，定义 ＝㈤ （ ＋ 一 ］＜ ＋ 一 ）’ （２） 其中一１≤Ｂ＜Ａ≤１，幂函数取主值。特别地，我们定义 Ｂｌ（ｈ，ａ，ｐ）：㈣ （ ，…｝， ，则微分方程 其中０≤Ｐ＜１。本文对函数类Ｂ（Ａ， ，Ａ。Ｂ）的相关性质进行了研究，为此我们需要如下定理。 引理１… 如果一１≤ ＜Ａ≤１， ＞０，且复数 满足Ｒｅ（ ）≥二 收稿日期：２０１４—０３—１８ 基金项目：安徽省高校自然科学基金资助项目（ＩＱ２０１３Ｚ２５２）；安徽省高等学校省级质量工程项目（２０１４ｊｙｘｍ５１５） 第一作者：郭栋（１９７６一），男，讲师，硕士，主要研究方向为复分析及其应用。 第２期 郭栋等：一类解析函数的性质 ３７ ）十 在Ｕ内有一个单叶解，其中 ｆ 一 ，，、１ｆ 口＋ｙ一 巍专（１＋Ｂｔ） （Ａ—日）／ ｄ ’ …≠０， （３） 。 ’ ｅｘｐ（ 仁ｌ ２ 如果 （ｚ）＝１＋ＣＩ ＋ｃ２ ＋…在Ｕ内解析且满足 ）＋ ＜ ，ｚ∈ ， （４） 则 ）＜ ）＜ ， Ｅ ｕ， 且９（ｚ）是（４）的最佳控制。 和 ＾ｌ ｌ Ｉ引理２ 设一１≤Ｂ１≤Ｂ２ ＜Ａ２≤Ａｌ≤１，则 １＋Ａ １＋Ａ Ｚ １＋Ｂ Ｚ、１＋Ｂ ｚ。 引理３ 。 设厂（ ）∈Ｈ，ｇ（ｚ） ∈日，Ｆ（ｚ）∈Ｋ，若 ｚ）＜Ｆ（ｚ），ｇ（ ）＜Ｆ（ｚ），０≤Ａ≤１，则 ａｆ（ ）＋（１一Ａ）ｇ（ ）＜Ｆ（ｚ）。 仁＿２ 引理４ ｔＲ￣ｐ（ｚ）＝１＋Ｃ１ ＋ｃ： ＋…在Ｕ内解析，且ｐ（ ）≠Ｏ（ｚ∈Ｕ）。如果存在一个点 ∈ 满足 其中ｆ【 ≥ ： ＋÷ ’ 当ａｒｇＰ 。 詈７７’ 和（ｐ（ ））寺：± ， （ ＞。）。 ≤一 （ ＋÷） 当ａｒｇｐ（ ）＝一号叼 引理５ 设 。）＝ 十∑。 在Ｕ内解析，ｇ（ｚ）：ｚ＋∑ｂ ｚ 在Ｕ内解析，且ｇ（ｚ）∈Ｋ，如果 ）＜ｇ（ｚ）∈ｋ，如果厂（ ）＜ｇ（ ），那么 ｌ＜ｌ ６ ｌ，（ ＝１，２，３，…）。 １ 主要结果及证明 ． 定理１ 假设Ａ＞０，Ｏｔ＞０，一１≤Ｂ＜Ａ≤１， ＞０，如果 ）＝ｚ＋ｒ上２ｚ ＋口３ ＋…∈ （Ａ． ，Ａ．Ｂ）， 则 ［ ］ ＜ ）＜ ， （５） ， Ｂ≠０， Ｏｌｆ￡『ｎ （１＋Ｂｚ） Ａｌ ，Ｂｄｔ 其中ｑ（ｚ）＝ （６） －ｌ， Ｂ：０。 ｌ ｔ（ａ－ａ）／ａｅｘｐ（ａＡｚ／ａ）ｄｔ ３８ 西华大学学报（自然科学版） 且ｑ（ ）是（５）的最佳控制。 证明令 ）：［ ］ （７） 则ｐ（ｚ）＝１＋ｏ／ａ ＋…在Ｕ解析，对式（７）两边ｌＲｘ￣数导数，得 ［ 由式（１）和（８）得 Ａ［１＋ 一 ㈤＋Ａ ， （８） ｐ（ｚ）＋Ａ 则ｐ（ｚ）满足微分从属（４），所以由引理１，得 ）＜ ＜ ，ｚ∈ 。 （９） ）＜ ，ｚ∈ 。 （１０） 其中：ｇ（ ）由式（３）给出；这里卢＝＿Ｏｄ；ｙ＝０；ｇ（ ）是式（９）的最佳控制。所以由式（７）和式（１０），我们得 式（５），定理得证。 推论１ 假设Ａ＞０，Ｏｌ＞０，且０≤Ｐ＜１，如果 ）∈Ｂ （Ａ， ，ｐ），则 ［ ）＜ ，ｚ∈ ， 其中ｑ（ｚ）由式（６）给出，Ａ＝１一 ，Ｂ＝一１。 推论２ 假设Ａ≥０，Ｏｉ＞０，贝０ （ ，Ａ，Ａ， ）ｃ Ｂ（ ，０，Ａ，Ｂ）。 ． 定理２ 假设 ＞０，Ａ２≥Ａｌ≥０且一１≤Ｂｌ≤Ｂ２＜Ａ２≤Ａｌ≤１，贝０ Ｂ（ ，Ａ２，Ａ２，Ｂ２）Ｃ Ｂ（ ，Ａ１，Ａ１， Ｂ ） 证明假设／ ）∈ （Ｏ／，Ａ２，Ａ２，Ｂ２），从Ｂ（ＯＺ，Ａ２，Ａ２，Ｂ２）的足义，得 【 【 ＋ Ａ２［ ＋ 一 】＜ 一 ］＜ 。 ， 因为一１≤Ｂ１≤Ｂ２＜Ａ２≤Ａ１≤１，所以由引理２得 即 ）∈Ｂ（ ，Ａ ２，Ａｌ，Ｂ１），所以当Ａｚ＝Ａ ≥０时定理２成立。 如果Ａ ＞Ａ ≥０，由推论２和式（１１），得 ）∈Ｂ（Ｏｌ，０，Ａ ，Ｂ。），即 ［ 】“＜ 同时 ， ∈ 。 （１２） 【 ． Ａｌ［ ＋ 一 ：一 【 卜 一 ）， （１３） Ｅ ＋ 显然日（ｚ）＝｝｝ 是 内的解析凸像函数。所以由引理３和式（１１）、（１２）、（１３），得 ［ Ａ１［ ＋ 一 ］＜ ， 即 ）∈ （ ，Ａ１，Ａ１，Ｂ１），所以曰（ ，Ａ２，Ａ２，Ｂ２）ｃ Ｂ（Ｏ／，Ａ ，Ａ１，Ｂ１）。 定理３ 假设 ＞０，Ａ＞０， ＞０。如果 ｚ）∈Ｈ满足 ［ 卜Ａ［ ＋ 一 …， （１４） 第２期 郭栋等：一类解析函数的性质 ３９ 其中 是实数且满足 证明假设 ＞ Ａ（Ａ＋２ ），则 ｚ）∈ —Ｓ 。 （ ）：［ ］“， ∈ ， 其中 （０）＝１。由式（１４）易得 （ｚ）≠Ｏ（ｚ∈Ｕ）。事实上如果 （ ）在 ＝ ∈Ｕ有一个ｍ级零点，则 ‘Ｄ（ ）能写成如下形式： （ ）＝（ 一 ） ｑ（ｚ），（ｍ∈Ｎ ：｛１，２，３，．．．｝）， 其中 （ｚ）是Ｕ内的解析函数且 （ｚ ）≠０，所以有 ｙ［ …Ｅ ～ … ＝ ｙ。 ）＋Ａ Ｉ彳¨ 一彳１ Ｊ ｏｔｑｌ ｚ Ｊ ； 然而，当ｚ— 时，式（１５）的虚部取到任意小的值，这与（１４）相矛盾，所以，若存在一点 ∈Ｕ满足 Ｒｅｐ（ｚ）＞０，（ ＜ｌ ｚ。１），Ｒｅｐ（ｚｏ）＞０，ｐ（ｚ。）＝ｉｌ，（１≠０）， 则有ｐ（ｚ。）≠０。由引理４和式（１５），得： （ ）＋Ａ ： （ ＋ ）， ｙｆ＋警≥ １ 丁Ａ＋（Ａ＋２ｙ）ｌｌ≥ ，（ｚ＞０）， ｙｆ＋警一 ＋（Ａ＋２Ｔ） ］≤一 丽，（２＜０）； 则与式（１４）相矛盾。所以有Ｒｅｑ￣（ｚ）＞０（ｚ∈Ｕ），即ｌ厂（ ）∈ —Ｓ 。 定理４假设 ＞０，０≤Ｐ＜１．如果ｌ厂（ ）∈Ｈ满足 Ｒｅ Ｅ ］ ＞ｐ， ∈ ， 习『ｊ么．厂（ｚ）∈Ｂ （ ，Ａ，Ｐ），（１ ｌ＜Ｒ（Ａ，Ｐ）），其中Ａ＞０，目． 砌 ＿｛ （ ± 二，ＪＤ １） 。二 （ １—± ２ｐ 二 ）：二（ 二 ，Ｐ≠，— １； ［ 卜ｐ＋（１ ）， ∈ ， 其中 （ｚ）＝１＋ ＋ ＋…是Ｕ内解析的正实部函数。对式（１８）两边对数求导，得 ［ Ａ［１＋ 一 ］｝＿ ）Ｒｅ／ ）十 ｝≥（１＿ ㈤一 竽 ｝。 在式（１９）中应用我们熟悉的估计 Ｉｚｕ＇（ｚ）ｌ≤ Ｒｅ｛ （ ）｝，Ｒｅ｛ （ ）｝≥ １－－ｒ（ ＝ｒ＜１）， ｌ—ｒ ｌ十ｒ 得 Ｒｅ｛［ Ａ［１＋ 一 ｐ≥ （ 一ｐ）Ｒｅ｛Ｍ（ ）｝｛１一 —二＿ ＝＿ 二＿ 丽｝＞０，（ｒ＜Ｒ（ａ，ｐ））， （１５） （１６） （１７） （１８） （１９） 西华大学学报（自然科学版） ２０１５燕 兵中 （Ａ，Ｐ）由（１７）给出。 要证明Ｒ（Ａ，Ｐ）的界是最佳的，假设＿厂（ｚ）∈Ｈ且满足 ［ 卜ｐ＋（１＿ｐ） １＋ｚ，ｚ∈ 。 注意到 Ｒｅ｛［ Ａ［１＋ 一 ］｝＿ １＿ｐ）Ｒｅ／ １－－，５一 ，＝ｎ（ａ一 ，’ １ １ ｝＝０， ［ｐ（ ＋ ） ＋（ 一 ）（Ｐ １ 一 ）］’ 一ｕ’ 则Ｒ（Ａ，Ｐ）的界是最佳的。定理得证。 ，’ 定理５ 令 ）＝ｚ＋∑口 ∈Ｂ（ａ，ａ，Ａ， ），一１≤Ｂ＜Ａ≤１，则 ・≤ 、 ， （２０） 并且不等式是精确的。 ｉｆ．￣假设 ）＝ｚ＋∑０ ∈Ｂ（Ａ， ，Ａ，Ｂ），由Ｂ（Ａ， ， ， ）的定义得 ） １＋ … ＋ 。厂（ ） 一 ＋ －＜ ） ＝ 一 ＝ １＋（Ａ—Ｂ） ＋…， 所以由引理５和一ｌ≤Ｂ＜Ａ≤１得 ｌ ｎ（ ＋ｎＡ）口 ＋ ｌ≤Ａ—Ｂ， 由式（２１），易得ｌ ０ Ｉ≤ Ａ—日 （２１） 我们注意到 ）＝。＋ １＋…∈ （Ａ， ，Ａ， ），则式（２０）是精确的。 ３ 结论 本文利用对数求导法得到一类新的函数类，然后通过利用Ｂｒｉｏｔ—Ｂｏｕｑｕｅｔ微分从属的方法研究其一些 性质。本文给出新的函数类的构造过程，有利于新的函数论的研究。 参考文献 ［１］Ｍｉｌｌｅｒ ｓ ｓ，Ｍｏｃａｎｕ Ｐ Ｔ．Ｕｎｉｖａｌｅｎｔ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｂｒｉｏｔ—Ｂｏｕｑｕｅｔ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｎｓ，１９８５，５８：２９７—３０９． ［２］刘名生．关于Ｐ一叶型 级近于凸函数类的一个子类［Ｊ］．数学研究，１９９７，３０（１）：１０２—１０４． ［３］刘名生．关于某类解析函数［Ｊ］．华南师范大学学报：自然科学版，２００２（４）：１５—２０． ［４］Ｍａｃｇｒｅｇｏｒ Ｔ Ｈ．Ｔｈｅ Ｒａｄｉｕｓ ｏｆ Ｕｎｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ Ｃｅｒｔａｉｎ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９６３，１４：５１４—５２０． ［５］Ｒｏｇｏｓｉｎｓｋｉ Ｗ Ｗ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ Ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ Ｌｏｎｄｏｎ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９４３，４８：４８—８２． （编校：叶超）