两共轴环电流之间的互感系数和作用力

第卷第１０期年１０月

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＰＨＹＳＩＣＳ

大学物理

Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．１０

Ｏｃｔ．２０２０

两共轴环电流之间的互感系数和作用力

２．长沙学院电子信息与电气工程学院，（１．广州理工学院，广东广州　５１０５４０；湖南长沙　４１００２２；陕西西安　７１００６４；江西赣州　３４１０００）３．长安大学理学院应用物理系，４．赣南医学院信息工程学院，

周群益，莫云飞，侯兆阳，周丽丽

１

２

３

４

本文通过无量纲作图展现共轴环电流之间的互感系数的图像，说明互感系数与两环半径和距离之间的关系．文本介摘要：

绍通电圆环之间轴向力和径向力的计算方法，用多种无量纲作图方法展现和检验力的图像，说明力与两环半径和距离之间的关系．

关键词：共轴环电流；互感系数；作用力；无量纲作图；椭圆积分中图分类号：Ｏ４４１　　　文献标识码：Ａ　　　文章编号：１００００７１２（２０２０）１００００５０７【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１００００７１２．１９０４６８

两共轴环电流之间的互感系数和作用力是电磁场理论中的一个典型问题，许多教材都有介绍［］．有些文献对这个问题进行了讨论［］，推导出公式并画出了图像．朱思华和杨万发的文献［８］比较新，此文献对以前的文献做了评论，并且推导出正确的互感系数公式和相互作用力的公式，画了作用力的

我们认为有几点需要改进和更正．曲线族．不过，

１）原文第二类完全椭圆积分的展开式出现明显

２ｉ－２）２ｉ）（！（！－１２的差错，Ｅ（ｋ）＝π[２ｉ－１）ｉ！（！（）ｋ]，本文做了更正，见同一差错还出现在文献［，］之中，

６）．式（

２）原文在求轴向力的极值时所得出的公式与数值计算的结果不吻合，（８ａｂ－ｈｋ＋ｈｋ′ｋ）Ｋ（ｋ）－

１３

４－８

∞

４ｉ－１

２ｉ

ｉ＝０

３

５６

２

２

２

２

２

２

４

２

２

２

２

４

２

）互感系数也可以用曲面和曲线族说明其分布规律，原文中没有，我们做了大量的补充．

５）原文用两环的具体大小和具体距离计算数值，所作出的图像具有一定的局限性，而且所有图像都没有峰值分布线，本文用无量纲的物理量计算和作图，画出曲面和曲线族，并画出峰值分布线．

６）两环之间不但有轴向力，还有径向力．原文没有计算张力，本文说明了力的计算公式，并介绍了张力的计算方法和结果．

７）原文用Ｃ语言和ＭＡＴＬＡＢ计算和作图．其实，充分利用ＭＡＴＬＡＢ的计算和图片功能，只用很少的指令就能计算结果，并画出理想的图像［］．

４

９

１　

两共轴圆环电流之间的互感系数

Ａ

Ｂ

８

Ａ和Ｂ两个通电圆环的半径分别如图１所示，为ａ和ｂ，电流强度分别为Ｉ和Ｉ，相距为ｈ，它们之４ａｂ２ｈｋ

－２ｈｋ＋＝０，［］（）（，同４ａｂ＋Ｅ（ｋ）ｋ′＝１－ｋ）间的互感系数为ｋ′ｋ′

ａｂ２μ槡１一差错还出现在的文献［６］之中．经过推导和检验，－Ｅ（Ｍ＝１－ｋ)Ｋ（ｋ）ｋ）]（１）[(ｋ２２８）．文本列出了正确的公式，见式（

本文的其中３）原文极值图像的纵坐标的标示有误，

ｄΦ图像用公式和数值梯度以及等值线等多种方法进行＝∫Ｋ（ｋ）２）（－计算和绘制，检验了图像的正确性，见图９．槡１ｋｓｉｎΦ

０

２

π／２０

２２２０１９－１０－１６；２０２０－０２－２７收稿日期：修回日期：

国家自然科学基金（１１７４７１２３）；湖南省自然科学基金（２０１８ＪＪ３５６０）；长沙市科技计划项目（ｋｃ１８０９０２２），湖南省教育厅科学研究项　基金项目：

目（１９Ｃ０１７６）

周群益（１９５５－），男，湖南衡阳人，广州理工学院副教授，从事凝聚态物理研究工作．　作者简介：莫云飞，　通信作者：Ｅ－ｍａｉｌ：ｍｏｙｕｎｆｅｉ８８９９＠ｃｃｓｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　

　６

π／２

大　学　物　理　

Ｅｋ＝

２２０

第３９卷

３）（）∫槡１－ｋｓｉｎΦｄΦ（

分别称为第一类完全椭圆积分和第二类完全椭圆积分．ｋ是积分中的参数，也是两类完全椭圆积分的自变量，称为模数．

４ａｂ

ｋ＝４）（ｈ＋（ｂ＋ａ）两类椭圆函数的展开式是

２ｉ）［（！］ｋπ

＝　Ｋ（ｋ）５）（２（！）２

２

２

∞

２

２ｉ

４ｉ

４

则两径和距离可以改变．取Ａ环半径ａ为长度单位，

线圈的半径之比为约化半径，距离之比为约化距离

ｂ＝ｂ／ａ，　ｈ＝ｈ／ａ１３）（

约化半径ｂ和约化距离ｈ是无量纲的长度量．模数的平方可表示为

４ｂ

ｋ＝１４）（ｈ＋（ｂ＋１）互感系数可表示为

２ｂ１

（（］（槡［）（）））







２

２

２

２

ｉ＝０

２ｉ∞

２

　Ｅ（ｋ）＝π

２ｉ

２{１－［（２ｉ）！］ｉ＝１

２４ｉ

（ｉ！４

２ｉ－１ｋ}（６）（当）（）！ｂ＜＜ａ时，Ｂ环是一个相对较小的环，由式

４）可得

ｋ≈２槡ａｂ２２

由式（）和（）可得

ｈ＋ａ

（７）５６２２

　Ｋ（ｋ）＝π

２１４

２［１＋(１·３２)ｋ＋(２·４)ｋ＋…］（８）２２

　Ｅ（ｋ）＝π

１－１２１·３４

将上式代入式（２{[(，不计２)ｋ＋(１２·４)３ｋ＋…]}（９）１）ｋ６项和高次项，可得

２

Ｍ≈２μ３

０

０

２２３／２

这个结果与电磁学教材中的结果完全相同槡ａｂπ

πμ（ａｂ）３２ｋ＝２（ｈ＋ａ）（１０）．

当图１　两个共轴环电流

ｈ＝０时，两环共面，由式（４）

可得ｋ２

＝

４ａｂ

２

由式（可得共面圆环的互感系数

（ｂ＋ａ）（１１）１）Ｍ＝μ（ｂ＋ａ）［ｂ２＋ａ

２

０

（ｂ＋ａ）２

Ｋ（ｋ）－Ｅ（ｋ）］（１２）取Ａ为不动的标准环，

Ｂ为可调节环，Ｂ环的半Ｍ＝μ０

ａ１－ｋＫｋ－Ｅｋ取ｋ２

１５系数，μ０

ａ即：为互感系数的单位，

约化互感系数Ｍ／μ０

ａ是无量纲的互感．

数，调用格式是

ＭＡＴＬＡＢ有专门计算两类完全椭圆积分的函用［Ｋ，

Ｅ］＝ｅｌｌｉｐｋｅ（ｋ＾２）ＭＡＴＬＡＢ计算时就不需要展开式了．

如图１）互感系数Ｍ随半径ｂ和距离ｈ变化的曲面

于２所示．当Ｂ环与Ａ环共面时，

ｈ当＝０，Ｂ环越近Ａ环，它们之间的互感系数越大；ｂ→ａ时，

Ｍ→＋之间的关系比较复杂，∞．两环距离ｈ越大，Ｍ令

就越小．当ｈ一定时，Ｍ与ｂＭ

＝利用两个完全椭圆积分的导数与复合函数的导数，ｂ

０（１６）可得峰值线方程

［ｈ２

＋（ｂ－ａ）２

］Ｋ（ｋ）－（ｈ２

＋ｂ２

－ａ２

）Ｅ（ｋ）＝０

（

１７））取半径图２　两共轴圆环的互感系数

化如图２

ｂ为参数，互感系数径的三种情况所示Ｍ随距离ｈ的变

３．Ｂ环半径有小于、等于和大于Ａ感系数不论当环半．Ｂ环半径如何，ｈ＝０时，互而增加，Ｍ这是因为两环越来越近；最大．当ｂ＜ａ时，Ｍ的最大值随着当ｂ的增加

ｂ＞ａ时，

Ｍ的最第１０期

周群益，等：两共轴环电流之间的互感系数和作用力

　７

大值随着不论ｂ的增加而减小，这是因为两环越来越远．

而变小Ｂ环半径如何，互感系数Ｍ随距离｜ｈ｜的增加．

图３　两共轴圆环的互感系数与距离的关系

化如图３

）取距离ｈ为参数，互感系数Ｍ随半径ｂ的变

无限接近的情况，４所示．当所以互感系数趋于无穷大ｈ＝０，ｂ→ａ时，Ｍ→∞，这是两环

．当ｈ≠０加而减小，时，Ｍ随ｂ峰值的半径先增加再减小．Ｍ的峰值随距离ｈ的增ｂ随ｈ的增加而增加．

图４　两共轴圆环的互感系数与半径的关系高线的的俯视图４）互感系数的等值线如图５所示，这是图２等．每一条曲线都是闭合曲线，Ｂ环与

Ａ达到环越近，曲线越圆．最里面一圈的互感系数最大，２μ０ａ；最外面半圈的互感系数最小，只有０．０

ａ．面放置，当Ｂ环半径大约为将２μ

Ｂ环与Ａ环共轴共同样放置互感系数为０．７ａ时，

１μ０

ａ．当Ｂ环半径约为１．８ａ时，互感系数取得越小，Ｂ环，Ｂ环与Ａ环的互感系数也是１μ０

的距离范围就越大环的半径范围和ａ．ＢＢ环与Ａ环．图５　两共轴圆环的互感系数的等值线

２　

两共轴圆环电流间的轴向作用力

根据虚功原理，

Ｂ环所受的作用力为Ｆ＝ＩＡＩＢ

ΔＭ

（

１８）其中，Δ是微分算符，Δ＝ｈｋ＋ρ

引起的轴向作用力大小为

ｂｅ，由轴向虚位移Ｆｚ＝ＩＡＩＭ

Ｂ

１９由径向虚位移（向作用力大小为

例如圆环膨胀或收缩）ｈ

（）而引起的径Ｆρ＝ＩＡＩＭ

Ｂ

（是［还有专门计算梯度的函数，ｂ

２０）ＭＡＴＬＡＢ调用格式Ｆｚ，

Ｆｒ］＝ｇｒａｄｉｅｎｔ（Ｍ，ｄｈ，ｄｂ）．求得力的数值解；如果无法求得力的解析解，过数值解检验解析解如果已经求得力的解析解，通过梯度函数可以则可通公式和数值梯度两种方法计算，．下面有关力的曲线都用解析利用两类完全椭圆积分的导数然后作图验证［１０

］（：

．

ｄＫｋ）ｄｋ＝１ｋ[１１－ｋ２

Ｅ（ｋ）－Ｋ（ｋ）]（２１）ｄＥ（ｋ）＝１［Ｅ（ｋ）－Ｋ（ｋ）］２２）结合复合函数的导数可得轴向力：ｄｋｋ（２

２

２　Ｆ＝槡μ０ＩＡＩＢ

ｈｚ

ｈ２＋（ｂ＋ａ）２［Ｋ（ｋ）－ｈ＋ｂ＋ａｈ２

＋（ｂ－ａ）２Ｅ（ｋ）］＝

μ０ＩＡＩＢ

ｈｋ２　　　　　２槡ａｂ［Ｋ（ｋ）－２－ｋ２（１－ｋ２

）Ｅ（ｋ）］（２３）　８

大　学　物　理　

ｚ

ｚ

第３９卷

如果Ｆ＞０，则Ｂ环受到的轴向力方向向上，而Ａ环受到的轴向力方向向下；Ｂ两如果Ｆ＜０，则Ａ、环受到轴向力方向相反．轴向力是距离ｈ的奇函数，只需要讨论Ｂ环在ｈ≥０时的受力情况就行了．

利用约化半径和约化距离可得

μＩＩｈｋｋ／２Ｆ＝Ｅ（ｋ）２４）［Ｋ（ｋ）－１－－］（

０ＡＢ

２

ｚ

２

其中，２μ０ＩＡＩＢ

Ａ

Ｂ

０

Ａ

Ｂ同号Ａ

和是力的单位槡ｂ１和ｋ．如果ＩＩ同号，则μＩＩ＞０；如果ＩＩＢ

异号，则μ０ＩＡＩＢ

＜０．不妨默认ＩＡ

和ＩＢ

．

如图１）取半径ｂ为参数，轴向力Ｆｚ

随距离ｈ的变化６ｚ

，所示．每一条曲线都是奇对称的受到向下的引力；当．当ｈ＞０时，Ｆ＜０Ｂ环在上，ｈ＜０时，Ｆｚ

＞０面，Ｂ环在下，受到向上的引力．如果ｂ≠ａ，在两环共

情况ｚ＝０的情况下，

Ｆｚ＝０．因此，只需要考虑的ｈ＞０小．如果ｂ＝ａ，

Ｆｚ

随ｈ的增加而单调上升，｜Ｆｚ

｜减增后减．在一般情况下，

当Ｆｚ

随ｈ增加而先降后升，｜Ｆｚ

｜先加，．０＜ｂ＜ａ时，｜Ｆｚ

的增加而减小，其距离则随着减小；当｜的峰值随ｂ的增加而增ｂ＞ａ时，｜Ｆｚ

｜的峰值随ｂ峰值曲线，成的它们是同一条峰值线在其距离则随着增加．因此，存在两条ｂ＝ａ处截断而．

图６　两共轴圆环的轴向作用力与距离的关系

如图２

）取距离所示ｈ为参数，轴向力Ｆｚ

随半径ｂ的变化

的缘故７．当ｈ＝０时，Ｆｚ

＝０，这是因为两环共面同时是吸引力．当ｈ＞０时，Ｆｚ

＜０，

说明两环在电流方向相随．｜Ｆｚ

｜随半径ｂ先增后减；｜Ｆｚ

｜的峰值增大ｈ增加而减小，峰值所对应的半径ｂ随ｈ增加而．

面如图３）轴向力｜其中有两条峰值线Ｆｚ

｜随半径ｂ和距离ｈ变化的的曲

多视角观察轴向力与半径和距离之间的关系８所示，

．通过曲面，能够．

图７　两共轴圆环的轴向作用力与半径的关系

保持半径不变，图８　两共轴圆环的轴向力与距离和半径的关系

令

Ｆｚｈ＝０

（

２５）则可得一条峰值线的代数方程

（ａ＋ｂ）２

（１－ｋ２

）［２（１－ｋ２

）Ｋ（ｋ）－（２－ｋ２

）Ｅ（ｋ）］＋　２

２

２

２

提取公因式　ｈｋ［（１＋ｋ）Ｅ（ｋ）－（１－ｋ）Ｋ（ｋ）］＝０（

２６）（Ｋ（ｋ）和Ｅ（ｋ），可得

１－ｋ２

）［２（ａ＋ｂ）２

（１－ｋ２

）－ｈ２

ｋ２

］Ｋ（ｋ）＋　　［ｈ２

ｋ２

（１＋ｋ２

）－（ａ＋ｂ）２

（１－ｋ２

）（２－ｋ２

）］Ｅ（ｋ）（＝０

２７）

将式（４）变形为（ｂ＋ａ）２

＝４ａｂ２

ｋ２

－ｈ，代入式（２７），可得新的公式

２

４

　　（８ａｂ－２ｈ２

ｋ２

－ｈｋ

ｋ′

２

）Ｋ（ｋ）－（２　　　　　

４ａｂ＋４ａｂ

－２ｈ２

ｋ２

－２ｈｋ４

２

４

）Ｅ（ｋ）＝０（２８）线函数很容易求出数值解这些代数方程没有解析解，ｋ′ｋ′

用ＭＡＴＬＡＢ的等高过代数方程求得，．实际上，数值解不需要通求得数值解根据最大值或最小值函数可直接．轴向力｜Ｆｚ

｜曲面的正视图如图９所示，第１０期

周群益，等：两共轴环电流之间的互感系数和作用力

　９

曲面左右两个边缘的曲线就是半径一定时最大轴向

力与半径的关系．

保持距离不变，图９　轴向力随距离变化的极值与半径的关系令Ｆｚ

＝０（２９）可得另一条峰值线的代数方程ｂ左视图如图．轴向力｜Ｆｚ

｜曲面的定时最大轴向力与距离的关系１０所示，曲面右边缘的曲线就是距离一．

轴向力图１０　轴向力随半径变化的极值与距离的关系

峰值线满足式（｜Ｆｚ

｜曲面的俯视图如图２５）或式（１１２６）～（２８）

，这是所示．两边的

Ｂ环半径图１１　轴向力取极值时距离与半径的关系

一定时峰值的距离与半径之间的关系．这种曲线以ｂ离一定时峰值的＝ａ为界分为两支．中间的峰值线满足式（２９），是距Ｂ两共轴圆环电流之间的径向作用力和环环半径与距离之间的关系．

３　

内的张力

数可得

利用两类完全椭圆积分的导数和复合函数的导２

２

２

Ｆ＝槡μ０ＩＡＩＢ

ｂρ

２

２

［Ｋ（ｋ）－ｈ＋ｂ－ａ

２

２

Ｅｈ＋（ｂ＋ａ）

ｈ＋（ｂ－ａ）（ｋ）］ρ

的方向沿径向向外的方向为正（

３０）Ｆ．由于对称的缘故，

Ｂ环内部会产生张力环所受的径向合力为零．但是径向作用力Ｆρ

在Ｂ如图．

１２所示，Ｂ环单位长度上所受的径向力为ｆ一线元＝Ｆρ

／２πｂ．将Ｂ环分为左右两半，在Ｂ环右半部取

ｄｓ＝ｂｄφ，则半个Ｂ环所受磁力的ｘ分量为π／２

Ｆ＝∫ｆｄｓｃｏｓφ＝Ｆρ

π／２

＝Ｆ

ρ

ｘ

－π／２

２π∫ｃｏｓ－φｄφπ／２

π半个图１２　径向力和张

Ｂ环所受另一半的张力与磁力平衡，因此环内

张力为Ｔ＝１

Ｆρ

２Ｆｘ

＝２π

．即Ｔ＝

槡μ０ＩＡＩ（Ｂｂ

２π

ｈ２＋ｂ＋ａ

）２［Ｋ（ｋ）－ｈ２＋ｂ２－ａ２

ｈ２

＋（ｂ－ａ）２

Ｅ（ｋ）］＝

μＩＩ槡ｂｋ［２０ＡＢ

Ｋ（ｋ）－２ｂ－（ｂ＋ａ）ｋ２

Ｅ（ｋ）］（内产生了张力，张力４π槡ａ２ｂ（１－ｋ）３１）Ｔ是距离ｈ的偶函数．当则而在环内产生了压力；Ｔ＞０时，当表示Ｂ环ＡＴ＜０时，论Ａ、

Ｂ两环内的压力和张力互相变换．因此只要讨Ｂ环内的力就行了．

　１０

大　学　物　理　

０ａｂ



２



第３９卷

利用约化半径和约化距离可得

ｂｋμＩＩ槡１－（ｂ＋１）ｋ／２ｂ

－Ｔ＝Ｋ（ｋ）Ｅ（ｋ）［］４π１－ｋ

３２）（

２

减小为零，然后变成反方向的压力，并随ｂ的增加而

增加，当压力达到极值后再随ｂ的增加而减小．

３）张力曲面如图１５所示．当ｈ＝０时，如果ｂ

Ｂ环内的则Ｔ→∞，这是Ｂ环向Ａ环扩张时，→ａ，

张力变化的趋势；如果，则，这是环

－

＋

其中，μ０ａｂ

图）取半径ＩＩ是力的单位．

１ｂ为参数，张力Ｔ随距离ｈ的变化如最大，１３所示存在张力，如果．每一条曲线都是偶对称的．当ｈ＝０时Ｔｂ＜ａ，则Ｂ环在Ａ环内，Ｔ＞０表示环在其峰值随着随着Ａ环外，

表示增加而增加；如果Ｂ，环内ｂｂ＞ａ则Ｂ

Ｔ＜０Ｂ环内存在压力，｜Ｔ｜的峰值都是张力；ｂ增加而减小力，当距离比较大时，

如果．如果ｂ＜ａ，不论距离如何，ｂ＞ａ，当距离比较小时，

环内是压Ｂ环内

ＢＢ环内是张力．图１３　两共轴通电圆环的张力与距离的关系

图１４　两共轴通电圆环的张力与半径的关系

图２

）取距离半径当ｈ为参数，张力Ｔ随半径ｂ的变化如

１４所示．ｈ＝０时，如果是压力，ｂ增加向无穷大增加，

如果Ｂ环在Ａ环之内，

Ｔ随再减小，随Ｂ环在Ａ环之外，Ｔｂ增加而减小．当ｈ≠０Ｔ随ｂ先增加却先减后增其峰值随时，

环在ｈ的增加而减小，但是峰值的半径．当ＢＡ环之外时，Ｔ随ｂ的增加而

向ｂ→ａＴ→－∞Ｂ如同两个点电荷或环电荷无限接近时，Ａ环收缩时，

Ｂ环内的压力变化的趋势．这种情况于无穷大一样其作用力趋压力的方向相反，．由于中有一条张力的峰值线，所以，

Ｂ环在在奇点两侧发生跃变Ａ环内外两侧时张力和

Ｔ．图零值线，即张力压力临界线一条压力的峰值线和一条－．

图１５　张力曲面的左视图如图共轴通电圆环内的张力与距离和半径的关系

曲线是保持距离不变的最大张力与距离的关系，１６所示，曲面上边缘的面下边缘的曲线则是最大压力与距离的关系曲．

图１６　最大张力和最大压力与距离的关系

大张力的距离与半径的关系，张力曲面的俯视图如图１７所示，左边曲线是最

的距离与半径的关系，界线中间曲线是张力和压力的临

右边曲线是最大压力．在临界线两侧，

张力和压力发生了转变．可以得到式（注意：当环内张力Ｔ为零时，必有Ｆ＝０，由此

１７），这时，两环之间的互感系数最大ρ

．

第１０期

周群益，等：两共轴环电流之间的互感系数和作用力

　１１

片，可以把每个问题的细节搞得一清二楚．

５）程序精简．本文图片较多，计算和绘图有许多技巧．“工欲善其事，必先利其器．”我们热烈希望广大师生掌握编程方法，以利于教学和科研．有需要程序者可联系作者．

参考文献：

［１］　冯慈璋．电磁场［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社，１９８３：１６０１６１．

［２］　林为干，等．电磁场理论［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，１９８４：２２３２５３．

［３］　毕德显．电磁场理论［Ｍ］．北京：电子工业出版社，１９８５：２８２２８５．

［４］　范淑华．两共轴圆环的电磁相互作用力［Ｊ］．大学物理，

：１９９４，１３（９）２２２４．

［５］　向裕民．平行共轴载流线圈间的磁力计算［Ｊ］．重庆大学学报（自然科学版），１９９７，２０（６）：４９５２．

［６］　王素梅．利用虚功原理计算两平行共轴载流圆线圈的磁力［Ｊ］．佳木斯大学学报（自然科学版），２００２，２０（１）：１１０１１２．

［７］　曾令宏，张之翔．圆环电流的磁场以及两共轴圆环电流之间的相互作用力［Ｊ］．大学物理，２００２，２１（９）：［８］　朱思华，杨万民．两共轴平行圆环电流之间的电磁作用

２４２６．力［Ｊ］．大学物理，２００５，２４（１０）：

［９］　周群益，等．ＭＡＴＬＡＢ可视化大学物理学［Ｍ］．北京：清华大学出版社．２０１１：２５４０．

［１０］　王竹溪，郭敦仁．特殊函数概论［Ｍ］．北京：北京大学

出版社，２０００：５４８５４９．

１４１６．

图１７　最大张力（压力）和张力－压力的临界线

４　

结束语

本文全面解决了两个共轴圆环之间互感系数和作

用力的计算和可视化的问题，因而具有一些独创之处．

１）直接引用两个共轴圆环之间互感系数的公

也将公式式，将公式无量纲化．推导了作用力和公式，

无量纲化．无量纲化的公式十分便于做纯数值计算．

２）利用的ＭＡＴＬＡＢ的两类完全椭圆积分的函数，简单地计算出所有公式的值，减少了程序的长度，提高了计算速度和精度．

３）用无量纲数值绘制了大量三维曲面和二维曲线，详细说明了物理量的变化规律．无量纲作图方法受具体条件限制较少，又能反映物理量的变化规律，在大学物理中有着广泛应用．

４）创造了图形检验法．公式是否有错，例如极值公

绘制图式是否正确，通过画图即可检验．通过设计程序，

Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇａｎｄｄｒａｗｉｎｇｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｔｈｅ

ｆｏｒｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｗｏｃｏａｘｉａｌｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔｓ

（１．ＧｕａｎｇｚｈｏｕＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ５１０５４０，Ｃｈｉｎａ；

２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｈａｎｇｓｈａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００２２，Ｃｈｉｎａ；

３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ，Ｓｈａａｎｘｉ７１００６４，Ｃｈｉｎａ；

４．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＧａｎｎａｎＭｅｄｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｘｉ３４１０００，Ｃｈｉｎａ）

ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｂｅｔｗｅｅｎｔｗｏｃｏａｘｉａｌｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔｓｉｓｖｉｓｕａｌｉｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｍｅｔｈｏｄｐｒｏｐｏｓｅｄｈｅｒｅ．Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓｏｆｔｈｅｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｒａｄｉｕｓａｎｄｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｗｏｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔｓａｒｅｄｉｓｐｌａｙｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｅｇｒａｐｈｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅａｘｉａｌａｎｄｒａｄｉａｌｆｏｒｃｅｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｗｏｃｏａｘｉａｌｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔｓｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｔｗｏｆｏｒｃｅｓａｒｅｖｉｓｕａｌｉｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓｏｆｆｏｒｃｅｗｉｔｈｔｈｅｒａｄｉｕｓａｎｄｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｗｏｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔｓａｒｅｓｈｏｗｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓｄｒａｗｉｎｇｅｌｌｉｐｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｌ

ＺＨＯＵＱｕｎｙｉ１

，ＭＯＹｕｎｆｅｉ，ＨＯＵＺｈａｏｙａｎｇ，ＺＨＯＵＬｉｌｉ

２

３

４

：

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：ｃｏａｘｉａｌｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔ；ｍｕｔｕａｌｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ａｘｉａｌａｎｄｒａｄｉａｌｆｏｒｃｅｓ；ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ