圆与方程

圆与方程

考纲要求：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

②能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

2.2.1 圆的方程

重难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

经典例题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

当堂练习：

1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是（ ） A．-11 D．a=1 2．点P（m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（ ）

A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（ ）

A．点（a,b） B．点（-a,-b） C．以（a,b）为圆心的圆 D．以（-a,-b）为圆心的圆 4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（ ） A．(x-2)2+(y+3)2=13 B．(x+2)2+(y-3)2=13 C．(x-2)2+(y+3)2=52 D．(x+2)2+(y-3)2=52 5．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（ ）

A．a=b=r B．|a|=|b|=r C．|a|=|b|=|r|0 D．以上皆对 6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（ ）

A．(x+7)2+(y+1)2=1 B．(x+7)2+(y+2)2=1 C．(x+6)2+(y+1)2=1 D．(x+6)2+(y+2)2=1 7．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ） A．（-1，1） B．（1，-1） C．（-1，0） D．（0，-1） 8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（ ）

A． 圆心在直线y=x上 B．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切 C． 圆心在直线y=-x上 D．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切 9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（ ）

A．D=0，E=0，F0 B．E=0，F=0，D0 C．D=0，F=0，E0 D．F=0，D0，E0 10．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ） A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F 11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B．两条平行直线 C．两条平行直线和一个圆 D．两条相交直线和一个圆 12．若a0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（ ）

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A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x-y=0对称 D．关于直线x+y=0对称 13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（ ）

A．x2+y2-4x+2y+4=0 B．x2+y2-4x-2y-4=0 C．x2+y2-4x+2y-4=0 D．x2+y2+4x+2y+4=0 14．过点P（12，0）且与y轴切于原点的圆的方程为 __________________．

15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P（3，0），则过P点的最短弦的弦长为 _____，最短弦所在直线方程为___________________．

16．过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k的取值范围是 _______________． 17．已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 ___________，距离最远的点的坐标是________________．

18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．

19．已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．

20．已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9＝0表示一个圆， （1）求t的取值范围；

（2）求该圆半径r的取值范围．

21．已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-20＝0 (1)求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；

(2)证明当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上； (3)若曲线C与y轴相切，求m的值．

参考答案：

经典例题：

解：设所求的圆的方程为：∵到关于

在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得

的三元一次方程组，

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即

解此方程组，可得：∴所求圆的方程为：

；

得圆心坐标为（4，-3）. 或将

，圆心坐标为(4,-3) 当堂练习：

左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径

1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 2, x+y-3=0; 16.

; 17. (2-,2-), (2+,2+);

,(1)

18. 解：设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直，即且圆半径r=|PQ|=

由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -,(2)

(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.

=1或y=kx，

19. 解：圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为

由x+y-a=0，d=.

由kx-y=0，d=.

综上，圆的切线方程为x+y-5=0或(2)x-y=0.

20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0, 即：7t2-6t-1<0,

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（2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-

21. 解：（1）曲线C的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0,由

∴不论m取何值时，x＝4, y＝-2总适合曲线C的方程，即曲线C恒过定点(4, -2). （2）D＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2

,

)2+,

∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ∴曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由消去m得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.

（3）若曲线C与y轴相切，则m≠2，曲线C为圆，其半径r=

,

又圆心为(2m, -m),则

=|2m|, .

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