湖北省华师一附中2011年高中自主招生数学试题(word含答案)

师大附中2011年高一自主招生考试

数学测试题

本卷满分150分 考试时间120分钟

题号 一 二 三 1 2 3 4 5 总 分 复 核 得分 阅卷教师

一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）

311、下列图中阴影部分面积与算式21的结果相同的是………………【 】

42

2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】

① 实数不是有理数就是无理数；② a＜a＋a；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，

非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，

女儿按

半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】

A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关 4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右

3则x114x255 。

28、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多

道。

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三、解答题（本大题6小题，共72分）

1、（10分）在ABC中，ABAC，A45。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果AD1，求：tanBCD的值。

2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。 价格（万元／台） 每台日产量（个） 甲 7 100 乙 5 60 ⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？

⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF2，BF1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,ACD60, 点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。 求证：△PQS是等边三角形。

5、（12分）如右图，直线OB是一次函数y2x的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB

上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

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6、（14分）已知关于x的方程(m1)x3(3m1)x180有两个正整数根（m 是整数）。

2222△ABC的三边a、b、c满足c23，mam8a0，mbm8b0。

22求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。

滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【 】 A、2π B、π C、23 D、4

5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则mn 等于……………………………………………………………………………【 】 A、36 B、37 C、38 D、39

二、填空题（每小题6分，共48分）

1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。

2、若化简1xx28x16的结果为2x5，则x的取值范围

是 。

3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。 甲 乙 丙 笔试 90 88 90 实践能力 83 90 88 成长记录 95 95 90 2的图像在第一象限内的交点，x点B在x 轴的负半轴上，且OAOB（O为坐标原点），则AOB的面积

4、已知点A是一次函数yx的图像与反比例函数y为 。

5、如果多项式xpx12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是 。

6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0x1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是 。

27、已知x1，x2为方程x4x20的两实根，则

2..

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x1314x255 。

8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多

道。

三、解答题（本大题6小题，共72分）

1、（10分）在ABC中，ABAC，A45。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果AD1，求：tanBCD的值。

2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。

价格（万元／台） 每台日产量（个） 甲 7 100 乙 5 60 ⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？

⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF2，BF1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,ACD60, 点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。 求证：△PQS是等边三角形。

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5、（12分）如右图，直线OB是一次函数y2x的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB

上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

6、（14分）已知关于x的方程(m1)x3(3m1)x180有两个正整数根（m 是整数）。

2222△ABC的三边a、b、c满足c23，mam8a0，mbm8b0。

22求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。

师大附中2011年高一自主招生考试

数学试题参考答案

一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B

二、1、2 2、1x4 3、甲、乙 4、2 5、7,8,136、8、20

三1、有已知可得ADE和CDE均为等腰直角三角形，计算得BD角形BCD中，tanBCD3(3x24x2) 7、7 821，在直角三

BD21。 CD2、（1）设购买x台甲机器，则7x5(6x)34，所以x2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金6530（万元），日产量为660360（个）；按方案②，所需资金175532（万元），日产量为1100560400（个）；按方案③，所需资金为275434（万元），日产量为2100460440（个）。所以，选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy， ①

..

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因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

4y1，即x102y．

2(4x)2 代入①，得S(102y)y2y10y，

2EMAPQFBD5225 即S2(y)．

2255 因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

22NC当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。 4、连CS。

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形. ∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.

在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC. 同理BP⊥AC.

在Rt△BPC中，PQ=BC.

又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2. 8816 设C1（x,2x），则得x2(2x2)222，解得x，得C1（,）

55512121212 若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2. 设C2（x',2x'），则得x'2(2x')222，解得x' 又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（424.得C2（5,5） 555245,5） 5511 若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（,1）.

22 所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：

18162424（,），（，（5,5），C4（,1） 5,5）55255556、（1）方程有两个实数根，则m10，解方程得

2m0,1,2,5,m11,2,3,6,63x1，x2．由题意，得 即

m1m1m11,3,m2,4.故m2．

（2）把m2代入两等式，化简得a4a20，b4b20，

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22.

当ab时，ab22．

2当ab时，a、b是方程x4x20的两根，而△＞0，由韦达定理得，

ab4＞0，ab2＞0，则a＞0、b＞0．

2222①ab，c23时，由于ab(ab)2ab16412c

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝②ab22，c23时，因2(2意，舍去． ③ab2121ab1． 22)23，故不能构成三角形，不合题

2，c23时，因2(22)＞23，故能构成三角形．

S△ABC＝23(22)2(3)29122 综上，△ABC的面积为1或9122．

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