专训 巧用角平分线的有关计算
名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解.
角平分线间的夹角问题（分类讨论思想）
1.已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.
巧用角平分线解决折叠问题（折叠法）
2.如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？
（第2题）
巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问
题（方程思想）
3.如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数.
（第3题）
巧用角平分线解决角的推理说明问题
（转化思想）
4.如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由.
（第4题）
角平分线与线段中点的结合
5.如图，（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中∠BOC＝β（0°＜β＜90°），其他条件不变，求∠MON的度数； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么样的规律？
（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律.【导学号：53482036】
（第5题）
答案
1．解：如图①，当OC落在∠AOB的内部时， 因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
1111
所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°，
2222所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.
(第1题)
如图②，当OC落在∠AOB的外部时， 因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
1111
所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.
2222所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°. 综上可知，∠MON的度数为20°或80°.
点拨：本题已知没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．
2．解：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合， 所以∠CBA＝∠CBA′.
因为∠EBD与∠A′BD折叠重合， 所以∠EBD＝∠A′BD.
又因为∠ABC＋∠CBA′＋∠A′BD＋∠EBD＝180°， 1
所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×180°＝90°.
2即两折痕BC与BD间的夹角为90°.
点拨：本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系． 3．解：设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.
113因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝(∠AOC＋∠BOC)＝x. 2223
又因为∠DOC＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝x－x，
2解得x＝38°.
所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.
点拨：根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．
4．解：∠DOE＝∠COF.理由如下：
1
因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.
2
111
因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC，所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋∠BOC
222111
＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC，所以∠DOF222＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.
点拨：欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与∠COE的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠AOC＝2∠COE，即可转化成∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．
5．解：(1)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 11
所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
22
1111
所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOB＋∠BOC)－∠BOC
22221
＝∠AOB＝45°. 2
1α
(2)∠MON＝∠AOB＝.
221
(3)∠MON＝∠AOB＝45°.
2
(4)从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关．
(5)可设计的问题为：如图，线段AB＝a，延长AB到C使BC＝b，点M，N分别是线段AC，BC的中点，求线段MN的长．
(第5题)
解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点， 11
所以MC＝AC，NC＝BC.
22
111
所以MN＝MC－NC＝(AC－BC)＝AB＝a.
222
规律：线段MN的长度总等于线段AB长度的一半，而与线段BC的长度无关．
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