北师大版数学7年级上册6.思想方法专题：线段与角计算中的思想方法

——明确解题思路，体会便捷通道 ◆类型一 分类讨论思想在线段或角的计算中的应用【方法14】

1．已知∠AOB＝90°，OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于( ) A．30°或60° B．45°或60° C．30° D．45°

2．已知点A、B、C在同一条直线上，且AC＝5cm，BC＝3cm，M、N分别是AC、BC的中点．

(1)画出符合题意的图形；

(2)依据(1)的图形，求线段MN的长．

3．★已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．

◆类型二 整体思想及从特殊到一般的思想

4．如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：

(1)请猜想：当线段AB上有6个、10个点时(含A，B两点)，分别有几条线段？ (2)当线段AB上有n(n为正整数且n≥2)个点(含A，B两点)呢？

5．★已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.【方法13】

(1)如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；

(2)在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数(用含α的代数式表示)；

(3)将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

参考答案与解析

1．A

2．解：(1)点B在线段AC上，如图①所示； 点B在线段AC的延长线上，如图②所示．

(2)当点B在线段AC上时，由AC＝5cm，BC＝3cm，M、N分别是AC、BC的中点，115113

得MC＝AC＝×5＝(cm)，NC＝BC＝×3＝(cm)．由线段的和差，得MN＝MC－NC

22222253

＝－＝1(cm)； 22

53

当点B在线段AC的延长线上时，同理可得MC＝cm，NC＝cm.由线段的和差，得

2253

MN＝MC＋NC＝＋＝4(cm)．

22

综上所述，线段MN的长为1cm或4cm.

3．解：如图①，∵OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，∴∠AOD＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝80°.∵OF平分∠BOC，∴∠COF＝(80°＋20°)÷2＝50°；

如图②，∵OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，∴∠AOD＝30°＋30°－20°＝40°.∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝40°.∵OF平分∠BOC，∴∠COF＝(40°－20°)÷2＝10°.

综上所述，∠COF的度数为50°或10°. 4．解：6 10 (1)15条、45条．

1

(2)n(n－1)条． 2

5．解：(1)∵∠COD是直角，∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°－90°－30°＝60°，∠COB1＝180°－30°＝150°.∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝75°，∴∠DOE＝∠BOE－

2∠BOD＝75°－60°＝15°.

1

(2)∠DOE＝α. 解析：∵∠COD是直角，∠AOC＝α，∴∠BOD＝180°－∠90°－α＝

211

90°－α，∠COB＝180°－α.∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°－α，∴∠DOE＝

2211

∠BOE－∠BOD＝90°－α－(90°－α)＝α.

22

(3)∠AOC＝2∠DOE.理由如下：∵∠BOC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COE111

＝∠BOC＝(180°－∠AOC)＝90°－∠AOC.∵∠COD是直角，∴∠DOE＝∠COD－22211

90°－∠AOC＝∠AOC，即∠AOC＝2∠DOE. ∠COE＝90°－22