上海市嘉定区2020-2021学年高三第一次质量调研测试 数学试卷

嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试

数 学 试 卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

，则AB____________． 1．已知集合A0,2,4，B0，2．抛物线y4x的焦点坐标为____________．

23．不等式

x41x0的解为____________．

4．已知复数z满足1iz2（i为虚数单位），则z___________． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(3,4)，

则tan()____________． 6．设函数f(x)ax1π22（a1)的反函数为yf1(x)，若f121，

则f(2)____________．

，a22a31，则数列a2n的各项7．设各项均为正数的无穷等比数列an满足：a11

的和为____________．

8．在△ABC中，A90，AB3，AC4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为____________． 9．在△ABC中，AB1,AC2，CE12CBCA，则AEBC____________． 6310．甲和乙等五名志愿者参加进博会A、B、C、D四个不同的岗位服务，每人一个岗位，

每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a10，公差d0，若对任意的nN，总

*存在kN，使S2k1(2k1)Sn，则k3n的最小值为_____________．

*

12．已知函数f(x)x|xa|3x．若存在a[3,4]，使得关于x的方程f(x)tf(a)有

三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

113．已知x0，nN，则“n2”是“x的二项展开式中存在常数项”的（ ）．

x*nA．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．已知a、bR，且ab，则下列不等式恒成立的是 （ ）．

A．

11 B．lnalnb C．a2b2 D．2a2b abx2y215．过双曲线C：221 （a0,b0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相

ab交于点A．若以C的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为 （ ）．

x2x2y2x2y2y222y1 B．x1 C．1 D．1 A．

33222616．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是

该正方体棱上一点．若满足PB||PC1m（m0）的

1D1B1C1点P的个数为4，则m的取值范围是 A （ ）．

A．[22,4] B．[4,223]

DACB

42] C．[4,42] D．[223，

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

D117．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，

A1C1B1A1D4．

（1）求该正四棱柱的表面积和体积；

（2）求异面直线A1D与AC所成的角的大小（结果用反三

DABC

角函数值表示）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数

f(x)cos(x) （0）的最小正周期为π．

（1）求的值及函数g(x)3f(x)f(x)，x0,的值域；

24（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若A0,πππ， 21f(A)，△ABC的面积为33，bc2，求a的值．

2

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：

0x20,50， （kR）． vk60,20x120140x研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．

（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；

（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足yxv， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：221(ab0)的长轴长为6，且经

ab过点Q(,3）．A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，

32PB交x轴于点D．

（1）求椭圆的标准方程；

y CP （2）若OB2OC0，求线段AP的长；

A O DxB （3）试问：四边形ABDC的面积是否为定值？若是，求出该定值； 若不是，请说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

*若项数为k的有穷数列an满足：0a1a2a3akkN,k3，且对任

ajai与ajai至少有一个是数列an中的项，意的i、j1ijk，则称数列an具

有性质P．

（1）判断数列1,2,4,8是否具有性质P，并说明理由；

（2）设项数为kkN,k3的数列an具有性质P，求证：

*

kak2(a1a2ak1ak)；

（3）若项数为kkN*,k3的数列an具有性质P，写出一个当k4时，an不是等差数列的例子，并证明当k4时，数列an是等差数列.



嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试

数 学 试 卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

，则AB____________． 1．已知集合A0,2,4，B0，【答案】2,4

【解析】由题意得，AB2,4

2．抛物线y4x的焦点坐标为____________． 【答案】1,0

【解析】由抛物线性质得，焦点坐标1,0 3．不等式

2x41x0的解为____________．

【答案】2x2

【解析】由x240得，2x2

4．已知复数z满足1iz2（i为虚数单位），则z___________． 【答案】2 【解析】由z21i21i得，z2 1+i1+i1i5．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(3,4)，

π23【答案】

4则tan()____________．

【解析】因为终边经过点P(3,4)，所以tan3πtan()cot

246．设函数f(x)ax143

2（a1)的反函数为yf1(x)，若f121，

则f(2)____________． 【答案】6

【解析】根据反函数定义得，若f所以a11121，则f(1)2

22,a2

3所以f(2)226

，a22a31，则数列a2n的各项7．设各项均为正数的无穷等比数列an满足：a11的和为____________． 【答案】

2 3【解析】设等比数列公比为q，

，a22a31得a1q2q212q2q10 则由a11解得q1或q1 2n111又因为数列an各项均为正数，所以q，即an22

122

所以数列a2n的各项的和为

13148．在△ABC中，A90，AB3，AC4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为____________． 【答案】15π

【解析】因为A90，AB3，AC4

所以旋转后的圆锥母线的长为5，底面半径为3 所以此面积为S5315

9．在△ABC中，AB1,AC2，CE【答案】

12CBCA，则AEBC____________． 631 2【解析】特殊化△ABC以A为直角的直角三角形建系得，

A0,0,B0,1,C2,0,Ex,y

由CE1211CBCA得，x,y

3663

所以AEBC1 210．甲和乙等五名志愿者参加进博会A、B、C、D四个不同的岗位服务，每人一个岗位，

每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）． 【答案】216

【解析】由题意得，每个岗位至少一人的情况有C5P4种

甲和乙不在同一岗位服务有P4种

244所以共有C5P4P4216种

424

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a10，公差d0，若对任意的nN，总

*存在kN，使S2k1(2k1)Sn，则k3n的最小值为_____________．

*【答案】8 【解析】由题意得

（2k1)(a1a2k1)（2k1)Sn，

2（2k1)ak则得 （2k1)Sn，即 akSn．

2令n2得 akS2，即 a1(k1)d2a1d（*），即得 k2因为首项a10，公差d0，则得 k2*a1． da10，即 k2． d又因为 kN，所以 k1，代入（*）得da1． 当da1时，由akSn得 a1(k1)a1na1n(n1)a1， 2

即 k(n1)(n2)191，所以 k3nn2n2，

222219即 k3nn2277， 2因此当n4或5时，k3n的最小值为 8

12．已知函数f(x)x|xa|3x．若存在a[3,4]，使得关于x的方程f(x)tf(a)有

三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是____________． 【答案】1,49 482x(3a)x,xa,【解析】【法一】由题意得f(x)，且关于x的方程f(x)3at有

2x(3a)x,xa三个不相等的实数根． （1）当3a3时，3aa33aa3，且，可知f(x)在a02222(,)上是增函数，此时关于x的方程f(x)3at不可能有三个不相等的实数

解；

3aa3a， 22a3可知f(x)在区间,、[a,)上分别是 2a3,a上是减函数（如右图所示）增函数，而在区间， 2(a3)2当且仅当3a3at时，方程f(x)3at有三个

4（2）当3a4时，0不相等的实数解．

yyf(x) y3at O a3a 2x (a3)219a6． 即1t12a12a

令g(a)a925，则g(a)在a(3,4]时是增函数，则得g(a)maxg(4)． a449． 48所以，所求实数t的取值范围是1,

【法二】x|xa|3x3at

3at|xa|3x①at0：由图得a0

3atxa3x2(a3)x3at0xa31 2(a3)12at0t124a243149 t1216248 3at30xatx49

aat1t48②at0：由图得a0

3at2xa3x(a3)x3at0xa31 2(a3)12at0t124a2 331t112122aat1t，矛盾

1t49 48二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

1*13．已知x0，nN，则“n2”是“x的二项展开式中存在常数项”的（ ）．

xA．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A

n1rr1【解析】因为二项式x通项为Tr1Cnxxxnnnrr2rnCnx(0rn)

1所以x的二项式展开式中存在常数项n2rn为正偶数，

x因为n2n为正偶数，n为正偶数推不出n2

1所以“n2”是“x的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件

x14．已知a、bR，且ab，则下列不等式恒成立的是 （ ）．

A．

n11 B．lnalnb C．a2b2 D．2a2b ab【答案】D

【解析】由不等式性质得，2a2b恒成立，故选D

x2y215．过双曲线C：221 （a0,b0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相

ab交于点A．若以C的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为 （ ）．

x2x2y2x2y2y222y1 B．x1 C．1 D．1 A．

332226

【答案】B

【解析】因为以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过两点A,O（O为坐标原点），

所以半径Rc2，圆的标准方程为(x2)y4

22因为A(a,0),y22bab,即B(a,b) a则(a2)b4 即a24a4b24 即c4a0,即4a4 则a1,b413 则双曲线C的方程为x2

2222D13 22

C142 A14 y1，故答案选B 3223 2B1 42D

C 22B

4

A16．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是

该正方体棱上一点．若满足PB||PC1m（m0）的

D1C1B1点P的个数为4，则m的取值范围是 A 1 （ ）．

A．[22,4] B．[4,223]

DAB

C42] C．[4,42] D．[223，【答案】B

【解析】先计算正方体的8个顶点到B、C1两点的距离 （如右图所示），则得：

4]；（1）当点P分别在棱BB1、BC、CC1、B1C1上运动时，m的取值范围是[22，

（2）当点P分别在棱C1D1、AB上运动时，

m的取值范围是[22，223]；

（3）当点P分别在棱A1B1、CD上

42]； 运动时，m的取值范围是[4，（4）当点P分别在棱A1D1、DD1、

22 4 223 42 x AD、AA1上运动时，m的取值范围是

[223，42]．

由几何直观可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m的值是一一对应的，则当PB||PC1m（m0）的点P的个数为4时，则m的取值范围是

[4,223]．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，

D1A1B1C1A1D4．

（1）求该正四棱柱的表面积和体积；

（2）求异面直线A1D与AC所成的角的大小（结果用反三角函数示）．

【解析】（1）由题意得 AA1则该正四棱柱的表面积为

DC值表

AA1D2AD223

BS全22222348163，

体积为 V22383．

2（2）联结A1C1,DC1，则AC∥A1C1，

所以直线A1D与A1C1所成的角就是异面直线A1D与AC所成的角．在△A1DC1中，A1DDC123,A1C122, 由余弦定理得

D1A1C1B1A1D2A1C1DC1 cosDA1C12A1DA1C142(22)2422，

424222则得DA1C1arccos，

4所以，异面直线A1D与AC所成的角的大小arccos22DCAB2． 418．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数

f(x)cos(x) （0）的最小正周期为π．

（1）求的值及函数g(x)ππ3f(x)f(x)，x0,的值域；

42π， 2（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若A0,1f(A)，△ABC的面积为33，bc2，求a的值．

2【解析】（1）因为函数

由 Tf(x)cos(x)的最小正周期为π，

2ππ，||2， ||又因为0，所以2． 此时

πf(x)cos2x，则得 g(x)3cos2xcos2x，

4πg(x)2sin(2x)． 即 g(x)3sin2xcos2x，即

6当x0,ππ5πππ2x,2sin(2x)1,2， 时，，26666所以所求函数的值域为

1,2．

1cos2A（2）由题意得 ．

2因为A0,π2ππ，解得 A． ，则得 2A0,π，所以 2A233因为△ABC的面积为33，则得 即 bc12．又因为 bc2 ，

11πbcsinA33，即 bcsin33， 223

由余弦定理，得 ab2c22bccosAb2c2bc(bc)2bc

22124，

所以 a4．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：

0x20,50， （kR）． vk60,20x120140x研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．

（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；

（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足yxv， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．

【解析】（1）由题意知 当x120（辆/千米）时，v0（千米/小时），

代入 v60kk 得 060，解得 k1200，

140x140120

0x20,50，所以 v 120060,20x120.140x当0x20时，v5040，符合题意； 当20x120时，令 60综上，0x80．

答：若车流速度v不小于40千米/小时，则车流密度x的取值范围是(20,80]．

120040，解得 x80，所以 20x80．

140x0x20,50x，（2）由题意得 y 1200x60x,20x120.140x当0x20时，y50x为增函数，

所以y20501000，等号当且仅当x20成立； 当20x120时，

y60x1200x20x20(140x)280060x 60x140x140x140x280028006020x60160140x 140x140x2800601602140x601604073250，

140x即 y3250，等号当且仅当140x2800，

140x即x14020787(20,120]成立． 综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．

答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：221(ab0)的长轴长为6，且经

ab过点Q(,3）．A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，

32PB交x轴于点D．

（1）求椭圆的标准方程；

y CPDBx（2）若OB2OC0，求线段AP的长；

A O （3）试问：四边形ABDC的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【解析】（1）解：由题意得 2a6，解得 a3分

x2y293把点Q的坐标代入椭圆C的方程 221，得1，

ab4a2b2由于 a3，解得 b2．

x2y21． 所以所求的椭圆的标准方程为 941（2）解：因为OB2OC0， 则得 OCOB(0,1)，即C(0,1)，

21又因为 A(3,0)，所以直线AP的方程为 y(x3)．

31y(x3)3由 2 解得 2xy14927xx3272415P（，）（舍去）或，即得 ． 241515y0y15

241027243所以 |AP|， 151515即线段AP的长为

222410． 15（3）【解法一】由题意知，直线PB的斜率存在，可设直线PB：ykx2 （k令y0，得D（,0)．

2）． 32kykx2,36k22由x2y2 得 (4k9)x36kx0，解得 x0（舍去）或x， 249k14918k2836k18k28,)． 所以 y，即P（22249k49k49k18k2822(3k2)(x3)． 于是直线AP的方程为y4k9(x3)，即 y36k（33k2)314k2令x0,得y2(3k2)2(3k2)，即C0,．

3k23k2所以四边形ABDC的面积等于|AD||BC|

12122(3k2)13k212k326， 2k3k22k3k2即四边形ABDC的面积为定值．

【解法二】由题意知，设P(x0,y0) （0x03,0y02）， 则直线PB的方程为 y2y02y2x2． (x0)，即y0x0x0

令y0，得D（2x0,0)． y02又直线PA的方程为yy0(x3)， x03令x0,得y3y03y0，即C0,x3． x03012所以四边形ABDC的面积等于|AD||BC|

3y01(2x03y06)212x0 322y02x032（x03)(y02)14x9y012x0y024x036y036 （*） 02（x03)(y02)xy22因为点P在椭圆上，则得 001，所以 9y0364x0，

94222214x9y012x0y024x036y036（6x03)(y02)代入（*）得 06，

2（x03)(y02)（x03)(y02)即四边形ABDC的面积为定值．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

*若项数为k的有穷数列an满足：0a1a2a3akkN,k3，且对任

22

ajai与ajai至少有一个是数列an中的项，意的i、j1ijk，则称数列an具

有性质P．

（1）判断数列1,2,4,8是否具有性质P，并说明理由；

（2）设项数为kkN*,k3的数列an具有性质P，求证：

kak2(a1a2ak1ak)；

（3）若项数为kkN*,k3的数列an具有性质P，写出一个当k4时，an不是等差数列的例子，并证明当k4时，数列an是等差数列． 【解析】（1）数列1,2,4,8不具有性质P．

因为01248，但是415、413，它们均不是数列1,2,4,8中的项， 所以数列1,2,4,8不具有性质P．

（2）证明：因为akakM，所以akakM，即 0M，所以a10． 设2ik，因为akaiM，所以akaiM．

则得0akakakak1akak2aka2aka1． 因为0a1a2a3ak1ak，

所以akaka1，akak1a2，akak2a3，…….，aka2ak1，aka1ak， 将上面的式子相加得

kak(akak1ak2a2a1)a1a2a3ak1ak，

所以 kak2(a1a2ak1ak)．

（3）数列0,1,4,5具有性质P，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）

下面证明当k4，即k5时，数列an是等差数列． 由（2）得 a10． ①设2ik，

由（2）知 0akakakak1akak2aka2aka1． 因为0a1a2a3ak1ak，

所以akaka1，akak1a2，akak2a3，…….，aka2ak1，aka1ak， 因此 akakiai11ik1． (*) ②设3ik2，

则ak1aiak1a2ak，所以ak1aiM，得ak1aiM． 由0ak1ak1ak1ak2ak1a3aka3ak2 及0a1a2a3ak3ak2，

可得 ak1ak1a1，ak1ak2a2，ak1ak3a3，…….，ak1a3ak3． 所以 ak1akiai(1ik3)．

因为k5，由上知，ak1ak1a1，且 ak1ak2a2， 所以ak1a1ak1，且ak1a2ak2，

所以ak1akiai(1ik1)． (**) 由(*)知 akakiai11ik1， 两式相减得akak1ai1ai1ik1，

所以当k4时，a1,a2,a3,,ak是等差数列．

(t2)2已知实数s、t满足：st142

22则实数t的取值范围是 s的取值范围是