2014-2015学年浙江省台州市书生中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共39分.） 1．（3分）集合A={x∈Z|﹣1＜x＜3}的元素个数是（） A． 1 B． 2 C． 3
2．（3分）函数 A． （0，+∞）
3．（3分）已知全集U={﹣1，1，3}，集合A={a+2，a+2}，且CUA={﹣1}，则a的值是（） A． ﹣1 B． 1 C． 3 D．±1
4．（3分）设f（x）= A． 2
B． 3
x
2
D．4
在[1，2]上的值域为（） B． （0，]
C． （0，]
D．[
]
，则f[f（2）]=（）
C． 9
D．18
5．（3分）已知f（x）=a，g（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与
g（x）在同一坐标系内的图象可能是下图中的（）
A．
6．（3分）设a=3 A． c＜b＜a
B． C． D．
，b=3
，c=log3则它们的大小关系（）
C． a＜b＜c
D．a＜c＜b
B． c＜a＜b
x
﹣x
7．（3分）函数f（x）=2+2的图象关于（）对称．
A． 坐标原点 B． 直线y=x C． x轴
5
3
D．y轴
8．（3分）已知f（x）=x﹣ax+bx+2且f（﹣5）=17，则f（5）的值为（） A． ﹣13 B． 13 C． ﹣19 D．19
9．（3分）若函数y=a+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（） A． 0＜a＜1，且b＞0 B． a＞1，且b＞0 C． 0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0
x
10．（3分）已知f（x）是奇函数，且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则f（﹣）=（） A．
11．（3分）函数
的单调递减区间为（）
B． ﹣
C．
D．﹣
A． B． C． D．
12．（3分）已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，则x＜0时，f（x）的表达式为（） A． f（x）=x|x+2| B． f（x）=x|x﹣2| C． f（x）=﹣x|x+2| D．f（x）=﹣x|x﹣2|
13．（3分）已知
是R上的减函数，则a的取值范围是（）
A． （0，1） B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共21分.） 14．（3分）函数
15．（3分）幂函数f（x）=x（α∈R） 过点
16．（3分）函数f（x）=a+3（a＞0且a≠1）恒过定点． 17．（3分）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|，若f（a）=2，则f（﹣a）=．
18．（3分）已知
=．
2x﹣1α
的定义域为．
，则 f（4）=．
19．（3分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，并且f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．若af（a）＜0，则实数a的取值范围是．
20．（3分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2使f（x1）f（x2）=1成立，则称此函数为“梦想函数”．下列说法正确的是．（把你认为正确的序号填上）
①y=是“梦想函数”；②y=2是“梦想函数”；③y=lnx是“梦想函数”；
x
④若y=f（x），y=g（x）都是“梦想函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“梦想函数”．
三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 21．（6分）已知集合U=R，A={x|x﹣4x+3≤0}，（Ⅰ）集合A与B； （Ⅱ）A∪B．
22．（6分）（1）化简：0.027
2
2
．求：
﹣（﹣）+256
﹣2
﹣3+（
﹣1
）
0
（2）化简：log3（9×27）+log26﹣log23+log43×log316．
23．（8分）已知函数f（x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）（a＞0，且a≠1） （1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由． （2）若
24．（10分）已知函数f（x）=
，x∈（﹣1，1）
，求使f（x）＞0成立x的集合．
（Ⅰ）若x∈（0，1）试判断此时函数f（x）的单调性并利用定义证明； （Ⅱ）若设g（x）=f（x）+f（﹣x），求函数g（x）的值域．
25．（10分）已知函数f（x）=3x﹣6x﹣5． （1）求不等式f（x）＞4的解集；
2
（2）设g（x）=f（x）﹣2x+mx，其中m∈R，求g（x）在区间[l，3]上的最小值；
2
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x﹣（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．
2
2014-2015学年浙江省台州市书生中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共39分.） 1．（3分）集合A={x∈Z|﹣1＜x＜3}的元素个数是（） A． 1 B． 2 C． 3
D．4
考点： 集合中元素个数的最值． 专题： 计算题．
分析： 判断集合A中，整数的个数，即可得到结果． 解答： 解：∵集合A={x∈Z|﹣1＜x＜3}={0，1，2}， ∴集合A中元素的个数是3． 故选：C．
点评： 本题考查集合的求法，元素个数问题，基本知识的考查．
2．（3分）函数 A． （0，+∞）
在[1，2]上的值域为（） B． （0，]
C． （0，]
D．[
]
考点： 指数函数单调性的应用；函数的值域． 专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 判断指数函数的单调性，然后求出值域即可．
解答： 解：函数∴
．
在[1，2]上是减函数，
故选：D．
点评： 本题考查指数函数的单调性的应用，函数的值域的求法，考查基本知识的应用．
3．（3分）已知全集U={﹣1，1，3}，集合A={a+2，a+2}，且CUA={﹣1}，则a的值是（） A． ﹣1 B． 1 C． 3 D．±1
考点： 补集及其运算． 专题： 计算题．
分析： 通过CUA={﹣1}，说明1，3是集合A的元素，求出a的值即可．
2
解答： 解：因为全集U={﹣1，1，3}，集合A={a+2，a+2}，且CUA={﹣1}， 所以1，3是集合A的元素，
2
所以或，
解得a=﹣1，
解：无解．
所以a=﹣1． 故选A．
点评： 本题考查集合的基本运算，元素与集合的基本关系，考查计算能力．
4．（3分）设f（x）= A． 2 B． 3
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
，则f[f（2）]=（）
C． 9
D．18
分析： 由已知得f（2）=，由此能求出f[f（2）]=f（1）=2e
1﹣1
=2．
解答： 解：∵f（x）=，
∴f（2）=
1﹣1
，
f[f（2）]=f（1）=2e=2．
故选：A．
点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
5．（3分）已知f（x）=a，g（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是下图中的（）
x
A． B． C． D．
考点： 对数函数的图像与性质；函数的图象． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据条件f（3）•g（3）＜0，确定a的取值范围，然后利用指数函数和对数函数的单调性进行判断．
3
解答： 解：∵f（3）=a＞0，
∴由f（3）•g（3）＜0，得g（3）＜0， 即g（3）=loga3＜0， ∴0＜a＜1，
x
∴f（x）=a，g（x）=logax（a＞0，a≠1），都为单调递减函数， 故选：C．
点评： 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数的性质先判断f（3）＞0是解决本题的关键．
6．（3分）设a=3，b=3
，c=log3则它们的大小关系（）
A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． a＜b＜c D．a＜c＜b
考点： 不等关系与不等式；有理数指数幂的化简求值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 考查指数函数与对数函数的性质，并与0、1比较，容易得出a、b、c的大小．
解答： 解：考查指数函数y=3，是定义域上的增函数，且＜，∴0＜考查对数函数y=log3x，是定义域上的增函数，且＜1，∴log3＜0；
x
＜；
∴log3＜
＜；
即c＜a＜b； 故选：B．
点评： 本题考查了利用指数函数与对数函数的性质与应用，是基础题．
7．（3分）函数f（x）=2+2的图象关于（）对称． A． 坐标原点 B． 直线y=x C． x轴 D．y轴
考点： 奇偶函数图象的对称性． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据已知函数的解析式，求出函数的奇偶性，进而根据偶函数的图象关于y轴对称得到答案．
x﹣x
解答： 解：函数f（x）=2+2的定义域为R
﹣xx
∵f（﹣x）=2+2=f（x） ∴函数f（x）为偶函数， 故函数的图象关于y轴对称 故选D
点评： 本题考查的知识点是奇偶函数的图象的对称性质，其中分析出函数的奇偶性是解答的关键．
8．（3分）已知f（x）=x﹣ax+bx+2且f（﹣5）=17，则f（5）的值为（） A． ﹣13 B． 13 C． ﹣19 D．19
考点： 函数奇偶性的性质；函数的值． 专题： 计算题．
分析： 函数f（x）可看成是有一个奇函数与一常数的和，根据这一奇函数的性质进行求解即可．
x﹣x
53
解答： 解：∵g（x）=x﹣ax+bx是奇函数 ∴g（﹣x）=﹣g（x）
53
∵f（﹣5）=17=g（﹣5）+2 ∴g（5）=﹣15
∴f（5）=g（5）+2=﹣15+2=﹣13 故选A．
点评： 本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值的求解等有关知识，属于基础题．
9．（3分）若函数y=a+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（） A． 0＜a＜1，且b＞0 B． a＞1，且b＞0 C． 0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0
考点： 指数函数的图像与性质． 专题： 数形结合．
分析： 观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
0
解答： 解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a+b﹣1＜0，且0＜a＜1，
∴0＜a＜1，且b＜0．故选C． 故应选C．
x
点评： 考查指数型函数的图象与性质，本题由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围． 10．（3分）已知f（x）是奇函数，且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则f（﹣）=（） A．
B． ﹣
C．
D．﹣
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），可得=
．由于f（x）是奇函数，可得
．由于f（x+2）=f（x），可得f（﹣）=﹣
．
解答： 解：∵当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x）， ∴
=
=．
．
∵f（x+2）=f（x），∴f（﹣）=∵f（x）是奇函数，
∴=﹣=﹣．
∴f（﹣）=﹣．
故选：D．
点评： 本题考查了函数的奇偶性、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（3分）函数
的单调递减区间为（）
A． B． C． D．
考点： 复合函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 先求出函数的定义域，令t=﹣x+3x﹣2，则y=y=
2
，判断t=﹣x+3x﹣2及
2
的单调性，根据复合函数单调性的判断方法可求f（x）的单调减区间．
2
解答： 解：由﹣x+3x﹣2＞0解得1＜x＜2， 所以函数f（x）的定义域为（1，2）， 令t=﹣x+3x﹣2，则y=上递减，
所以f（x）在（1，）上递减，
故选B．
点评： 本题考查复合函数的单调性、二次函数及对数函数的单调性，复合函数单调性的判断方法是：“同增异减”，应准确把握． 12．（3分）已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，则x＜0时，f（x）的表达式为（） A． f（x）=x|x+2| B． f（x）=x|x﹣2| C． f（x）=﹣x|x+2| D．f（x）=﹣x|x﹣2|
考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 设x＜0，则﹣x＞0，又当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，故f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|，由奇函数的性质化简即得．
解答： 解：设x＜0，则﹣x＞0，又当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|， 故f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|，又函数为奇函数， 故﹣f（x）=f（﹣x）=﹣x|x+2|， 即f（x）=x|x+2|， 故选A
2
单调递减，且t=﹣x+3x﹣2在（1，）上递增，在（，2）
2
点评： 本题考查函数解析式的求解，整体代入即函数奇偶性的应用是解决问题的关键，属基础题．
13．（3分）已知
是R上的减函数，则a的取值范围是（）
A． （0，1） B． C． D．
考点： 函数单调性的性质． 专题： 计算题．
分析： 由题意可得0＜a＜1，且3a﹣1＜0，（3a﹣1）×1+4a＞a，于是可求得a的取值范围．
解答： 解：∵f（x）=是R上的减函数，
∴0＜a＜1，①且3a﹣1＜0，②（3a﹣1）×1+4a≥a，③ 由①②③得：≤a＜． 故选B．
点评： 本题考查函数单调性的性质，难点在于对“f（x）=
是R上
的减函数”的理解与应用，易错点在于忽视“（3a﹣1）×1+4a≥a”导致解的范围扩大，考查思维的缜密性，属于中档题．
二、填空题（每小题3分，共21分.） 14．（3分）函数
的定义域为{x|x≥﹣2且x≠﹣1}．
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据根式函数的取值意义求函数的定义域．
解答： 解：要使函数有意义，则，即，
∴x≥﹣2且x≠﹣1．
即函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠﹣1}． 故答案为：{x|x≥﹣2且x≠﹣1}．
点评： 本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域求法．
15．（3分）幂函数 f（x）=x（α∈R） 过点
考点： 幂函数的性质．
α
，则 f（4）=2．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 把幂函数y=x的图象经过的点（2，） 代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．
αα
解答： 解：∵已知幂函数y=x的图象过点（2，），则 2=， ∴α=，故函数的解析式为f（x）=x
，
α
∴f（4）=4=2，
故答案为：2．
点评： 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．
16．（3分）函数f（x）=a
2x﹣1
+3（a＞0且a≠1）恒过定点．
考点： 指数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 令2x﹣1=0，此时y=1+3，可得所给的函数的图象恒过定点解答： 解：指数数函数的定义，令2x﹣1=0，此时y=a+3=4， 故函数f（x）=a故答案为：
2x﹣1
0
．
+3（a＞0且a≠1）恒过定点 ．
．
点评： 本题考点是指数函数的单调性与特殊点，考查指数函数恒过定点的问题，由指数函数定义可直接得到幂指数为0时，指数式的值一定为0，利用此规律即可求得函数图象恒过定点的坐标，属于基础题． 17．（3分）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|，若f（a）=2，则f（﹣a）=﹣2．
考点： 函数的值． 专题： 计算题．
分析： 表示出f（a）与f（﹣a），由其表达式可知其为相反数． 解答： 解：∵f（a）=2， ∴|2a﹣1|﹣|2a+1|=2，
∴f（﹣a）=|﹣2a﹣1|﹣|﹣2a+1|=|2a+1|﹣|2a﹣1|=﹣2， 故答案为：﹣2．
点评： 本题考查函数值的计算，属基础题．
18．（3分）已知
考点： 对数的运算性质．
=1．
专题： 计算题．
分析： 首先分析题目已知2=5=10，求来代入
x
y
的值，故考虑到把x和y用对数的形式表达出
，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．
x
y
解答： 解：因为2=5=10，
1010
故x=log2，y=log5
=1
故答案为：1．
点评： 此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握． 19．（3分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，并且f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．若af（a）＜0，则实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 当a＜0时，由af（a）＜0可化为f（a）＞0，利用f（﹣1）=0，并且f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
可得﹣1＜a＜0．同理可得：当a＞0时，由af（a）＜0可化为f（a）＜0，由于偶函数f（﹣1）=0，并且f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，可得f（1）=0，并且f（x）在（0，+∞）上为减函数，即可得出．
解答： 解：①当a＜0时，由af（a）＜0可化为f（a）＞0，
∵f（﹣1）=0，并且f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∴﹣1＜a＜0． ②当a＞0时，由af（a）＜0可化为f（a）＜0，
∵偶函数f（﹣1）=0，并且f（x）在（﹣∞，0）上为增函数， ∴f（1）=0，并且f（x）在（0，+∞）上为减函数， ∴a＞1．
综上可得：实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了推理能力，属于中档题．
20．（3分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2使f（x1）f（x2）=1成立，则称此函数为“梦想函数”．下列说法正确的是②．（把你认为正确的序号填上） ①y=
是“梦想函数”；②y=2是“梦想函数”；③y=lnx是“梦想函数”；
x
④若y=f（x），y=g（x）都是“梦想函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“梦想函数”．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 新定义．
分析： ①假设y=f（x）=是“梦想函数”，其定义域为A={x|x≠0}．
对于∀x1∈A，
x
成立，取x1=1，则x2=±1，不满足新定义；
②假设y=f（x）=2是“梦想函数”，其定义域是R． 对于∀x1∈R，
成立，解得x2=﹣x1，满足条件；
③假设y=f（x）是lnx是“梦想函数”，其定义域是A=（0，+∞）．
对于∀x1∈A，lnx1lnx2=1成立，当取x1=1时，lnx1=0，上式不成立，即可判断出； ④假设y=f（x）•g（x）是“梦想函数”，对于定义域中每一个x1，都存在唯一的x2，
使y=f（x1）f（x2）=1和y=g（x1）g（x2）=1成立，e而两个x2不一定相等，不满足定义． 解答： 解：①假设y=f（x）=
是“梦想函数”，其定义域为A={x|x≠0}．
对于∀x1∈A，则∃唯一的x2∈A，使得f（x1）f（x2）=1成立，即，化为|x1x2|=1．
若取x1=1，则x2=±1，与假设矛盾，因此假设错误，即y=f（x）=②假设y=f（x）=2是“梦想函数”，其定义域是R． ∀x1∈R，则∃唯一的x2∈R，使得f（x1）f（x2）=1成立，即
x
x
不是“梦想函数”；
成立，∴，
解得x1+x2=0，即x2=﹣x1，满足条件，因此y=f（x）=2是“梦想函数”； ③假设y=f（x）是lnx是“梦想函数”，其定义域是A=（0，+∞）．
∀x1∈A，则∃唯一的x2∈A，使得f（x1）f（x2）=1成立，即lnx1lnx2=1成立，当取x1=1时，lnx1=0，上式不成立，
因此假设错误，故y=f（x）=lnx不是“梦想函数”； ④∵y=f（x），y=g（x）都是“梦想函数”，且定义域相同，
∴对于定义域中每一个x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1和y=g（x1）g（x2）=1成立，
∵两个x2不一定相等，
∴y=f（x1）g（x1）•f（x2）g（x2）=1不一定成立， ∴⑤不是“梦想函数”．
综上可知：只有②是“梦想函数”． 故答案为：②．
点评： 本题考查了新定义、指数函数和对数函数等函数的性质，考查了推理能力和解决新问题的能力，属于难题．
三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 21．（6分）已知集合U=R，A={x|x﹣4x+3≤0}，（Ⅰ）集合A与B； （Ⅱ）A∪B．
考点： 其他不等式的解法；并集及其运算． 专题： 高考数学专题；不等式的解法及应用．
2
．求：
分析： （Ⅰ）根据x﹣4x+3≤0，因式分解即可求出不等式的解集，从而得到集合A，根据B中是x的取值范围，即为函数y=
的定义域，求解即可得到集合B；
2
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的集合A和B，结合结合并集的定义，从而求得A∪B．
2
解答： 解：（Ⅰ）A={x|x﹣4x+3≤0}={x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}={x|1≤x≤3}，
={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，
故A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}， ∴A∪B={x|x≥1}．
点评： 本题考查了不等式的解法以及集合的运算．考查了一元二次不等式的解法，要求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．属于基础题．
22．（6分）（1）化简：0.027
2
﹣（﹣）+256
﹣2
﹣3+（
﹣1
）
0
（2）化简：log3（9×27）+log26﹣log23+log43×log316．
考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 专题： 计算题．
分析： （1）根据指数幂的运算性质进行计算即可；（2）根据对数的运算性质进行计算即可．
解答： 解：（1）原式=（0.3）﹣（﹣7）+4﹣+1 =
﹣49+48﹣+1
﹣123
=3； （2）原式=
+
+1+
﹣
+
•
=2+6+1+•
=9+2 =11．
点评： 本题考查了指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是一道基础题．
23．（8分）已知函数f（x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）（a＞0，且a≠1） （1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
（2）若，求使f（x）＞0成立x的集合．
考点： 对数函数图象与性质的综合应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）先定义域关于原点对称，専判断f（﹣x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，得到结论；
（2）将x=代入，可构造关于a的方程，解方程得a值，进而根据对数函数的单调性，可将f（x）＞0转化为整式不等式，进而得到答案． 解答： 解：（1）函数f（x）定义域为（﹣2，2）关于原点对称， ∵f（﹣x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）=﹣f（x） ∴函数f（x）是奇函数 （2）∵f（）=2
∴loga（2﹣）﹣loga（2+）=loga（）﹣loga（∴即
，
）=loga（）=2
∴f（x）=log（2﹣x）﹣log（2+x） 则f（x）＞0可化为
即0＜2﹣x＜2+x 解得：x∈（0，2）
点评： 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
24．（10分）已知函数f（x）=
，x∈（﹣1，1）
（Ⅰ）若x∈（0，1）试判断此时函数f（x）的单调性并利用定义证明； （Ⅱ）若设g（x）=f（x）+f（﹣x），求函数g（x）的值域．
考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）首先，得到f（x）为（﹣1，1）上的减函数，然后，结合单调性的定义进行证明；
（Ⅱ）首先，落实函数g（x）的表达式，然后，结合基本不等式求解其值域即可． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）为（﹣1，1）上的减函数，证明如下：
任意设x1，x2∈（﹣1，1）x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）=
=
∵x1＜x2， ∴
，
，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）为（﹣1，1）上的减函数． （Ⅱ）∵g（x）=f（x）+f（﹣x）， ∴g（x）=
+
，
=2，
=，
∵，
∴0＜f（x）≤1， ∴值域为（0，1]．
点评： 本题重点考查了指数函数的单调性和基本性质、函数的单调性的定义的证明过程等知识，属于中档题．
25．（10分）已知函数f（x）=3x﹣6x﹣5． （1）求不等式f（x）＞4的解集；
2
（2）设g（x）=f（x）﹣2x+mx，其中m∈R，求g（x）在区间[l，3]上的最小值；
2
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x﹣（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．
考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题；一元二次不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据已知中函数解析式，化简不等式 f（x）＞4，进而根据二次不等式的解法，可得不等式 f（x）＞4的解集；
2
（2）根据已知求出函数g（x）=f（x）﹣2x+mx的解析式，根据二次函数的图象及性质，可得函数在区间[1，3]上的最小值；
2
（3）根据已知中函数解析式，化简不等式f（x）＜x﹣（2a+6）x+a+b，根据二次函数的图象及性质，可得函数在区间[1，3]上恒成立，即函数在区间两端点的函数值均为负，构造不等式组，可得实数b的取值范围；
2
解答： 解：（1）不等式 f（x）＞4
即3x﹣6x﹣9＞0 解得x＞3，或x＜﹣1
∴不等式 f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
22
（2）g（x）=f（x）﹣2x+mx=x+（m﹣6）x﹣5 其图象是开口朝上，且以x=当
为对称轴的抛物线
2
＞3，即m＜0时，g（x）的最小值为g（3）=3m﹣14
当1≤≤3，即0≤m≤4时，g（x）的最小值为g（）=
当＜1，即m＞4时，g（x）的最小值为g（1）=m﹣10
2
（3）若不等式f（x）＜x﹣（2a+6）x+a+b在x∈[1，3]上恒成立，
2
即不等式2x+2ax﹣5﹣a﹣b＜0在x∈[1，3]上恒成立，
2
令h（x）=2x+2ax﹣5﹣a﹣b
∵a∈[1，2]，故h（x）图象的对称轴x=﹣∈[﹣1，﹣]
∴当x=3时，函数h（x）取最大值5a﹣b+13 故只须a∈[1，2]时，5a﹣b+13≤0恒成立即可； 即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立， ∴实数b的取值范围是[23，+∞）
点评： 本题考查的知识点是函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法，函数的交集运算，其中熟练掌握二次函数的图象和性质并能用之解答一元二次不等式问题是解答的关键．
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