一次函数与全等三角形综合

知识互联网

与三角形全等模型的琮合

一次函数与全等三角形综合 与三角形面积的综合

题型切片

题型切片（两个） 对应题目 例1,例2,例3,例4,练习1,练习2,练习3; 例5,例6,练习4,练习5. 题型目标一次函数与全等三角形的综合 一次函数与面积综合

几种全等模型的回顾:

图1、图2为两垂直”全等模型，图1中将4ABC绕点C逆时针旋转90。得到4DEC ,此时可得结 论：4ACD , 4BCE均为等腰直角三角形；

DE AB.图2中△ ABCDBE

图3、图4为 三垂直”全等模型，其中△ ABC为等腰直角三角形,__AEEC, BF\"\"CF , E , C , F三 点共线，则有 △ACE0^CBF，图 3 中 EF AE BF ,图 4 中 EF |AE BF|

图5中，AB AC ,延长 AB至iJ F使得BF EC ,则有结论 ED DF ,若ED DF ,则有BF EC

例题精讲

【弓I例】 平面直角坐标系内有两点 A 4, 0和B 0, 4，点P在直线AB上运动.

⑴ 若P点横坐标为xp 2,求以直线OP为图象的函数解析式（直接写出结论） ⑵若点P在第四象限，作 BM 直线OP于M , AN 直线OP于N ,求证： MN BM AN ;

；

⑶若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN ,试探究线段 MN、BM、AN 所满足的数量关系

式，直接写出结论，并画图说明.

【解析】⑴设直线AB函数解析式为y kx b

0 4kb 4 b

当x为2时，y 6,，P的坐标为 2, 6

•••直线OP过原点，解析式为y 3x ⑵ 如图1,由题意可证 RtABMO RtAONA

BM ON , AN MO , MN BM AN

⑶ 如图2,证明RtABMO RtAONA 可得结论MN |BM AN

睁22

【例1】 如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，点A 0, 4，点B, C在x轴 上，作BE AC,垂足为E （点

E在线段AC上，且点E与点A不 重合），直线BE与y轴交于点 D ,若BD

AC .

⑴求点B的坐标；

⑵ 设OC长为m , ABOD的面积为S,求S与m的函数关系式， 并写出自变量m的取值范围.

【例2】 已知：如图，平面直角坐标系 xOy中，点A、B的坐标分别为

A 4, 0 , B 0, 4,P为y轴上B点下方一点，PB m m 0 , 以AP为边作等

腰直角三角形 APM ,其中PM PA,点M落在 第四象限. ⑴求直线AB的解析式；

⑵ 用m的代数式表示点 M的坐标；

⑶ 若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化 而变化，写出你的结论并说明理由.

【例3】 如图1,直线ljy 3x 3与x轴交于B点，与直线卜交于y轴上一点A ,且卜与x轴的

【例4】

交点为C 1, 0 ⑴求证： ABC ACB

⑵如图2,过x轴上一点D 3, 0 ,作DE AC于E , DE交y轴于F点，交AB于 G点，求G点的坐标；

⑶ 如图3, W △ ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于点P （ P不同于A和C两点）， 过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M ,且CP=BQ.在4ABC 平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变， 请求出它的长度.若变化，

确定其变化范围.

如图，在平面直角坐标系中, A (a, 0), B (0,

2 2 Jb 4 0.

⑴求直线AB的解析式；

⑵若点M为直线y=mx上一点，且^ ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求 m值； ⑶过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于 P, N点的横坐标为 1 ,过N点的直线

y kx k交AP于点M,试证明EM—PN的值为定值.

2 2 AM

题型二：一次函数与面积综合

思路导航

解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有:

1 .公式法：三角形、特殊四边形等面积公式;

2 .割补法：通过 割补”转化为易求图形面积的和或差; 3 .容斥法;

4 .等积变换法：①平行线法：构造同底等高; 5 .铅垂线法：如右图所不 SA ABC

必要时需分类讨论.

②直角三角形: ab=ch；

1

1

AP hi 2

h2 ,AP称为铅垂高,

hi

典题精练

【例5】 已知：平面直角坐标系

xOy中，直线 kx b k 0与直线 mx m 0 交于点

A 2, 4 .

⑴求直线y mx m 0 ⑵若直线y kx b k △

的解析式；

0与另一条直线 2x交于点B ,且点

B的横坐标为 4 ,求

ABO的面积.

真题赏析

1

【例6】 已知：一次函数 y -x 3的图象与正比例函数 y=kx的图象相交于点 A （a, 1）.

⑴求a的值及正比例函数 y=kx的解析式；

⑵点P在坐标轴上（不与点 O重合），若PA=OA,直接写出P点的坐标； ⑶直线x=m与一次函数的图象交于点

B,与正比例函数图象交于点 C,若△ ABC的面

积记为S,求S关于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）

题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习

【练习1】如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，点A 0, 4 ,点B,

在x轴上，C点坐标为 m, 0 .作BE AC,垂足为E （点 E在线段

AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴 交于点D , BD AC .第一象限内有一点 P ,坐标为

m, m 4 ,连接 PA, DC ,求证： PAC BDC .

【练习2】如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A、B的坐标分别为

轴上 AD // BC ,点E在CD上，且满足 AE、BE分别平分 DAB、

1,0、 4,0,点口 在 y

CBA .

⑴ 请你判断此时线段 CE与DE是否相等，并证明你的结论； ⑵已知 DAB 60° ,直接写出线段BC的长.

【练习3】如图，已知直线OA的解析式为y=x,直线AC垂直x轴于点C ,点C的坐标为2,0,

直线OA关于直线AC的对称直线为 AB交轴于点B. ⑴写出点A及点B的坐标；

⑵ 如图，直线AD交x轴于点D,且4ADB的面积为1,求 点D的坐标；

⑶ 若点D为⑵中所求，作OE AD于点E ,交AC于点H , 作BF AD于点F ,求证：OE AF ,并直接写出点 H 的坐标.

x

题型二一次函数与面积的综合 巩固练习

【练习4】⑴如图，点A、B、C在一次函数y 2x m的图象上，它们的横 坐标依次为

1、1、2,分别过这些点作 x轴与y轴的垂线，则图 中阴影部分的面积

和是（

）.

A. 1

C. 3（m 1）

B. 3

3

D. 一（m 2）

2

⑵如图1 ,在直角梯形 ABCD中，动点P从点B出发，沿BC , CD运动至点D停止.设点P运动的路程为x, ZXABP的面积 为y ,如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ BCD的面 积是（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3与x轴交于点A ,与y轴交于点B .若在x轴上有一点Q ,并且满足

【练习5】直线y 2x

8:3,求Q点坐标.

SA BAQ : SA AOB