模块复习提升课
一 常用逻辑用语
, [学生用书P76])
1．四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系
表述形式 若p，则q 若q，则p 若¬p，则¬q 若¬q，则¬p (3)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)分类
①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q； ②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/p； ③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/q， ④既不充分也不必要条件：p⇒/q，且q⇒/p. 3．简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，¬p. (2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断．
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与¬p必定是一真一假． 4．全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题． 全称量词用符号“∀”表示．
全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)． (2)存在量词与特称命题． 存在量词用符号“∃”表示．
特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)． 5．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬p(x0)
∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x)
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若¬p，则¬q”；命题的否定为“若p，则¬q”．
2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件． 3．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
四种命题及其关系[学生用书P76]
设命题为“若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”，该命题的否定、
逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．
【解析】 命题的否定：若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题； 逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k＞0.假命题； 否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题； 逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题． 【答案】 3
四种命题的写法及其真假的判断方法
(1)四种命题的写法
①明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；
②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件． (2)简单命题真假的判断方法
①直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证；
②间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．
写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命
题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0，真命题． 否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题． 逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠0，真命题． 充分、必要条件的判断及应用[学生用书P77]
(1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin
B”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“a＞5”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A≤sin B．故选A.
(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a＞4，而a＞5⇒a＞4，且a＞
4⇒/a＞5，所以“a＞5”是“A⊆B”的充分不必要条件．
【答案】 (1)A (2)A
判断充分、必要条件的方法
集合法：即看集合A和B的包含关系．
①若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．
②若A
B，则A是B的充分不必要条件；
③若AB，则A是B的必要不充分条件； ④若A＝B，则A，B互为充要条件；
⑤若A⊆/B，且A⊇/B，则A是B的既不充分也不必要条件．
已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：设A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10}， B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a}， 由于p是q的充分而不必要条件，
可知AB.
a>0，
a>0，
从而1－a≥－2，或1－a>－2，
1＋a<101＋a≤10，解得0 含有逻辑联结词的命题[学生用书P77] (1)命题p：正数的对数都是负数；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞) 上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题 C．¬p为假命题 D．¬q为假命题 (2)设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________． 【解析】 (1)例如∃x0>1，logax0＞0(a>1)， 所以命题p是假命题；命题q是假命题， －x＋1，x≤0， 例如f(x)＝ －x＋2，x>0. 综上可知，“p或q”是假命题，故选B. (2)若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1. 若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2. 依题意得p与q一真一假，若p真q假， a＞1，则 a≤2， 即1＜a≤2. 若p假q真， a≤1，则a不存在． a＞2， 综上1＜a≤2. 【答案】 (1)B (2)(1，2] 判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p，q. (2)分别确定简单命题p，q的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 1.已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其 中公差d≠0)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面选项中真命题是( ) A．¬p∧¬q B．¬p∨¬q C．¬p∨q D．p∧q 解析：选B.对于命题p，如图所示作出函数y＝ax(a>1)与y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命题． 对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要条件，故命题q为假命题． 所以¬p为假，¬q为真，所以p∧q为假， ¬p∨q为假，¬p∧¬q为假，¬p∨¬q为真． 2 2．设命题p：c＜c和命题q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是________． 解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1， 所以命题¬p：c≤0或c≥1. 11 又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜， 22 11 即命题q：－＜c＜， 22 11 所以命题¬q：c≤－或c≥， 22 由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真， 由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假， 所以p与q中一个为真命题，一个为假命题． 1 当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1. 21 当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0. 211 综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1. 22 11 －，0∪，1 答案：22 全称命题与特称命题[学生用书P78] (1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( ) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1 (2)若命题“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 【解析】 (1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A. 2 (2)因为∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，所以方程x0＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1. 【答案】 (1)A (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞) 全称命题、特称命题真假判断 (1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可． (2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假． 1.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为( ) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1 解析：选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定是¬p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1. 2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( ) 10， A．21B．2，3 C．(0，3] D．[3，＋∞) 解析：选D.由函数的性质可得函数f(x)＝x2－2x的值域为[－1，3]，g(x)＝ax＋2的值域是[2－a，2＋2a]．因为∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以[－1，3]⊆[2 2－a≤－1， －a，2＋2a]，所以解得a≥3. 2＋2a≥3， , [学生用书P147(单独成册)]) [A 基础达标] 1．命题“若a>0，则a2>0”的逆命题是( ) A．若a>0，则a2≤0 B．若a2>0，则a>0 C．若a≤0，则a2>0 D．若a≤0，则a2≤0 解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题． 2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为( ) A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3 C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3 解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A. 3．下列表述错误的是( ) A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β B．命题“若a∈M，则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M” C．“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件 D．对任意的φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 πππ 0＋＝tan 0＋tan成立，故选项A正确． 解析：选D.当α＝0，β＝时，tan333 对于选项B、C，显然正确． π 在D中，存在φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，D错误． 21x－14．设p：log2x<0，q：2>1，则p是q的( ) B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 1x－1解析：选B.p：log2x<0⇔0 充分不必要条件，故选B. 5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，x2>0，则( ) A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧(¬q)是真命题 D．命题p∨(¬q)是假命题 解析：选C.当x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2 ＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，¬q是真命题，进而得到命题p∧(¬q)是真命题，命题p∨(¬q)是真命题．故选C. 6．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac＞0”的一个等价命题：________________． 解析：一个命题与其逆否命题是等价命题． 答案：若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不均大于0 7．给出下列三个命题： ①当m＝0时，函数f(x)＝mx2＋2x是奇函数； ②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列； ③已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1. 其中为真命题的是________(填序号)． 解析：①中，当m＝0时，f(x)＝mx2＋2x＝2x是奇函数，故①是真命题；②中，取a＝b＝0，c＝1，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故②不是真命题；③的逆否命题为“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题． 答案：①③ 8．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0.若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________． 解析：p：－4＜x－a＜4，即a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0，即2＜x＜3，所以 a－4≤2， ¬p：x≤a－4或x≥a＋4，¬q：x≤2或x≥3；而¬p是¬q的充分条件，所以解得 a＋4≥3. －1≤a≤6. 答案：[－1，6] 9．指出下列命题中，p是q的什么条件： (1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}； (2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数； 1 (3)p：0 解：(1)因为{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2 所以p是q的必要不充分条件． (2)因为a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数⇒/ a、b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件． (3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔ 1Δ>0，4－12m>0，m<3，1 3⇔⇔⇔0 所以p是q的充要条件． A．充要条件 C．必要不充分条件 10．设有两个命题： m p：关于x的不等式sin xcos x>m2＋－1的解集是R； 2 － q：幂函数f(x)＝x73m在(0，＋∞)上是减函数． 若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围． 解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题． 因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题． 故p和q两个命题一真一假． 1 若p真，则2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1 7 若q真，则7－3m<0，所以m>. 3 17 p真q假时，－1 23 17 －1，∪，＋∞. 所以m的取值范围是23 [B 能力提升] 11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)＞0的一个必要不充分条件是( ) A．x＜0 B．x＜0或x＞4 C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3 2解析：选C.由x－4x＞0有x＞4或x＜0，故f(x)＞0的必要不充分条件中x的取值范围 应包含集合{x|x＞4或x＜0}，验证可知，只有C选项符合． 12．下列选项中叙述错误的是( ) A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题 B．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件 C．若“p∨q”为假命题，则“(¬p)∧(¬q)”也为假命题 D．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0 解析：选C.对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于B，由x＞2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0，反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，因此“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；对于C，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(¬p)∧(¬q)”是真命题；对于D，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，综上所述，选C. 13．已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2. (1)当b＞0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明：a≤2b； (2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b. 证明：(1)此题等价于对所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0， 因为b＞0，所以Δ＝a2－4b≤0. 又因为a＞0，所以a≤2b. (2)①必要性：设对所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1. 令x＝1∈[0，1]，则有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1. 11a11 因为b＞1，所以－≤≤＋. 22b2b22b a 这说明∈[0，1]． 2baa2a2所以f2b≤1，即－b·2≤1. 2b4b 所以a2≤4b，a≤2b. 综上所述，有b－1≤a≤2b. ②充分性：设b－1≤a≤2b. 因为b＞1， aa1所以＝·＜1. 2b2bb aaaa 所以当x∈[0，1]时f(x)的最大值为f(x)max＝f＝a·－b·＝＜1. 2b2b4b24b 2 2 又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线， 所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝ min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1. 所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1. 综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b. 14．(选做题)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范围． 解：将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 若g(x)＝2x－2<0，则x<1. 又因为对任意x∈R，g(x)<0或f(x)<0， 所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集． 又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0. 当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0. 当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件． 当2m>－m－3，即－1 即m<，所以－1 当2m<－m－3，即m<－1时，f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}．依题意－m－3<1，即m>－4， 所以－4 由①的解法知，当－1 当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解． 当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2. 综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4 , 1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2F1，F2的距离之和等的距离的差的绝对值等于定义 于常数(大于|F1F2|)的常数(小于|F1F2|且大于零)点的轨迹 的点的轨迹 x2y2y2x2x2y2y2x2－＝1或2－2＝＋＝1或2＋2＝a2b2aba2b2ab标准方程 1(a>b>0) 1(a>0，b>0) 抛物线 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹 y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0) 关系式 图形 变量范围 对称性 顶点 离心率 决定形状的因素 a2－b2＝c2 封闭图形 a2＋b2＝c2 无限延展，但有渐近线yba＝±x或y＝±x ab 无限延展，没有渐近线，有准线 x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴 一个 e＝1 2p决定开口 大小 |x|≤a，|y|≤b或|x|≥a或|y|≥a |y|≤a，|x|≤b 对称中心为原点 两条对称轴 四个 两个 cce＝， ae＝，且e>1 a且0 设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α， ab 则△PF1F2为焦点三角形(如图)． α (1)焦点三角形的面积S＝b2tan. 2 (2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 3．双曲线及渐近线的设法技巧 (1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换 x2y2x2y2 成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝ abab by2x2y2x2 0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，b>0)， aabab a 即y＝±x. b xyx2y2 (2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)． abab 4．特殊的两个双曲线 x2y2 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与2－2＝1具有相同渐近线的双曲线系 ab x2y2 方程为2－2＝k(k≠0)． ab (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)等轴双曲线方程一般设为x2－y2＝a2(或y2－x2＝a2)． 5．抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)． 6．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p. 1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a中，应有2a>|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a中，应有2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点F不在定直线l上． 2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式． 3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看x2，y2 系数的符号． 4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行． 轨迹问题[学生用书P79] (1)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂 →→→→ 线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ.则动点P的轨迹C的方程为________． 2xy2 2，b ab 点A1、A2分别为C0的左、右顶点，圆O与椭圆C0相交于A，B，C，D四点，求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程． 【解】 (1)设P(x，y)，则Q(x，－1)． →→→→因为QP·QF＝FP·FQ， 所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 即x2＝4y， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故填x2＝4y. (2)设A(x1，y1)，则B(x1，－y1)， 又知A1(－a，0)，A2(a，0)，则 y1 直线AA1的方程为y＝(x＋a)，① x1＋a－y1 直线A2B的方程为y＝(x－a)，② x1－a－y212 由①×②，得y＝22(x2－a2)，③ x1－a 又点A(x1，y1)在椭圆C0上， 2x1y21 故2＋2＝1， ab 2x122 从而y1＝b1－a2.④ x2y2 把④代入③，得2－2＝1(x<－a，y<0)，即为点M的轨迹方程． ab 求曲线方程的常用方法及特点 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 已知动点M到定点A(1，0)与到定直线l：x＝3的距离之和等于4，求动 点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 解：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，作MN⊥l于N， 由|MA|＋|MN|＝4得 （x－1）2＋y2＋|x－3|＝4. 当x≥3时，上式化简为y2＝－12(x－4)； 当x<3时，上式化简为y2＝4x. 所以点M的轨迹方程为y2＝－12(x－4)(x≥3)和y2＝4x(x<3)，其轨迹是两条抛物线段． 圆锥曲线的定义及应用[学生用书P80] (1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直 线x＝－1的距离之和的最小值为________． x2y2 (2)已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2 1625 ＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________． 【解析】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义，知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为求点P到点A(－1，1)的距离与点P到点F(1，0)的距离之和的最小值．显然，A，P，F三点共线时，所求的距离之和取得最小值，且AF的长为所求的最小值，故最小值为22＋12，即为5. (2)设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)．因为M，O分别是FP，FF′的中点，所 1 以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－ 2 111 |MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1. 222 【答案】 (1)5 (2)－1 圆锥曲线定义的应用技巧 (1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程． (2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决． (3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化． 已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹 是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 |3x＋4y－12| . 5 所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等． 所以动点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线． 解析：选C.把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝ 圆锥曲线的方程与几何性质[学生用书P80] xy (1)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端 ab 点，O为原点，若△ABO的面积是3c2，则这一椭圆的离心率是( ) 13A． B． 2223C． D． 23 22xy (2)双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 3，则C的 ab 焦距等于( ) A．2 B．22 C．4 D．42 1 【解析】 (1)ab＝3c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2， 2c1 a＝2c，故e＝＝. a2 xy (2)双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为 ab bcbcc ＝＝3，故b＝3，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4. 22caa＋b 【答案】 (1)A (2)C 求解离心率的方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y c 轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的 a 参数，这是基本且常用的方法． (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法． x2y2 1.过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 ab 线交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________． 解析：设直线方程为 b y＝(x－c)， a x2y2 －＝1，a2b2由 b y＝（x－c）aa2＋c2a2＋c2 得x＝，由＝2a， 2c2cc e＝，解得e＝2＋3(e＝2－3舍去)． a 答案：2＋3 x2y2452 2．已知抛物线x＝8y的焦点F到双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为， ab5 点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距 2 2 离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为__________． x2y2 解析：抛物线焦点为F(0，2)，准线为y＝－2，双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条 ab |－2a|b45a2 渐近线方程为y＝x，依题意可得22＝，即＝，又P到双曲线C的右焦点F2 a5c5a＋b 的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，在Rt△FOF2 x22 22 中，|OF2|＝3－2＝5，所以c＝5，所以a＝2，b＝1，所以双曲线方程为－y＝1. 4 2x 答案：－y2＝1 4 直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P81] x2y2 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为22， ab 2 离心率为. 2 (1)求椭圆的标准方程； 3 (2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M0，满足|MA|＝|MB|， 7 求直线l的斜率k的值． 【解】 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝22， c22 所以a＝2，e＝＝，所以c＝×2＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1， a22 2x 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 2 (2)由第一问知F2(1，0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y＝k(x－1)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝k（x－1）， 联立直线与椭圆的方程x22 ＋y＝1，2 化简得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， －2k4k2 所以x1＋x2＝，y＋y＝k(x＋x)－2k＝， 1212 1＋2k21＋2k2 －k2k2，所以AB的中点坐标为， 2 1＋2k1＋2k2 ①当k≠0时，AB的中垂线方程为 2k2－k1 y－＝－x－1＋2k2， k1＋2k2 因为|MA|＝|MB|， 所以点M在AB的中垂线上， 将点M的坐标代入直线方程得： 3k2k＋＝， 71＋2k21＋2k2 即23k2－7k＋3＝0， 3 解得k＝3或k＝. 6 ②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意． 3 所以斜率k的取值为0，3，. 6 直线与圆锥曲线关系问题的求解方法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线 与圆锥曲线的位置关系有如下三种： ①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“Δ>0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件． ②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等． x2y26 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为(2，0)，离心率为. ab3 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值； (3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值． 6 解：(1)因为椭圆的右焦点为(2，0)，离心率为， 3 c＝2， 所以c6 e＝a＝3，所以a＝3，b＝1. x22 所以椭圆C的方程为＋y＝1. 3 (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率存在时，直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程， 消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 3m2－36km 所以x1＋x2＝－，xx＝， 1＋3k2121＋3k2 因为以AB为直径的圆经过坐标原点， →→所以OA·OB＝0. 所以x1x2＋y1y2＝0， 3m2－36km2 所以(1＋k)－km×＋m2＝0， 1＋3k21＋3k2 所以4m2＝3(k2＋1)． 所以原点O到直线的距离为 |m|3d＝2＝， k＋12 当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2， 因为以AB为直径的圆经过坐标原点， →→222 所以OA·OB＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，所以x21－y1＝0，因为x1＋3y1＝3， 3 所以|x1|＝|y1|＝， 2 所以原点O到直线的距离为 3 d＝|x1|＝， 2 综上，点O到直线AB的距离为定值． (3)当直线AB斜率存在时， 由弦长公式可得|AB|＝1＋k2|x1－x2| （1＋k2）（36k2－12m2＋12）＝ （1＋3k2）21212 ＝3＋≤3＋＝2， 112 9k＋2＋66＋29k2·2 kk3 当且仅当k＝±时，等号成立， 3 所以|AB|≤2， 当直线AB斜率不存在时， |AB|＝|y1－y2|＝3<2， 1133 所以△OAB面积＝|AB|d≤×2×＝， 2222 3 所以△OAB面积的最大值为. 2 , [学生用书P149(单独成册)]) [A 基础达标] 1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( ) 1 ，0 A．(1，0) B．16 10， C．D．(0，1) 16 解析：选C.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a，所以a＝2， 11 0，.故选C. 所以抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为164 x2y2x2y2 2．设k<3，k≠0，则下列关于二次曲线－＝1与＋＝1的说法正确的是( ) 523－kk A．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆 B．有相同的顶点 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 x2y2 解析：选C.当0 a2＋b2＝3＝c2. 所以两曲线有相同焦点； 当k<0时，－k>0且3－k>－k， x2y2 所以＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆． 3－k－k a2＝3－k，b2＝－k. 所以a2－b2＝3＝c2， 与已知椭圆有相同焦点． x2y2 3．设点P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、 ab F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则此双曲线的离心率为( ) 10 A．5 B． 2 C．3＋1 D．3 解析：选C.由题知PF1⊥PF2， |PF1|－|PF2|＝2a， 则|PF1|2＋|PF2|2＝4c2， |PF1|＝3|PF2|， c 得＝3＋1.故选C. a 4．已知点P是椭圆16x2＋25y2＝400上一点，且在x轴上方，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为－43，则△PF1F2的面积是( ) A．243 B．123 C．63 D．33 x2y2 22 解析：选C.椭圆16x＋25y＝400的标准方程是2＋2＝1，F1(－3，0)、F2(3，0)． 54 直线PF2的方程为y＝－43(x－3)． 16x2＋25y2＝400，5 ，23.所以S△PFF由点P在x轴上方和方程组可得P点的坐标是2y＝－43（x－3） 12 1 ＝×6×23＝63. 2 x2y2 5．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2 ab 的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) 12A．± B．± 22C．±1 D．±2 解析：选C.由题设，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解 b2b2b2b2 －－ aaaab2b2b2 得y＝±.不妨设B(c，)，C(c，－)，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·aaac＋ac－ac＋ac－a b ＝－1，整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C. a x2y2 6．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆 ab C于A、B两点，椭圆C的上顶点为抛物线x2＝43y的焦点，则椭圆C的方程为________． 22xy 解析：根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F， ab 所以F(1，0)，所以c＝1.又因为椭圆C的上顶点为抛物线x2＝43y的焦点，所以b＝3， x2y2 2222 b＝3，所以a＝b＋c＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. 43 22xy 答案：＋＝1 43 7．已知点A(4，0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________． y2y214121112解析：设M(，y1)，则|MA|＝(－4)2＋y2y1－y1＋16＝(y2－6)2＋15≥15，当且1＝66363361 2y1 2 仅当y1＝6，即y1＝±6，x1＝＝1时，|MA|取最小值15，此时M(1，±6)． 6 答案：(1，±6) x2y2→1→→ 8．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足OM＝(OP＋OF)(O 25162 → 为坐标原点)，则|OM|＝________． 解析：设F1为右焦点， →→ 因为|PF|＝6，所以|PF1|＝10－6＝4， →1→→又OM＝(OP＋OF)， 2 所以M为PF的中点，所以OM为△FPF1的中位线， →1→ 所以|OM|＝|PF1|＝2. 2 答案：2 →→ 9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O为坐标原点，若OA·OB＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝413，求抛物线方程． y＝2x，p ，p， 解：由2解得A2y＝2px， →→ 又OA·OB＝0，所以OA⊥OB， 1 故直线OB的方程为y＝－x. 2 1y＝－2x， 由联立得B(8p，－4p)． y2＝2px， p8 －8p＋(p＋4p)2＝16×13，所以p＝，所以抛物线方程为y2因为|AB|＝413，所以2516 ＝x. 5 x2y22 10．设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线交椭 ab2 圆于A，B两点，|AB|＝2. (1)求该椭圆的标准方程； →→→ (2)设动点P(x0，y0)满足OP＝OM＋2 ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON 12 的斜率之积为－，求证：x20＋2y0为定值． 2 a2－b212 解：(1)由e＝2＝，得a2＝2b2， a2 因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝2， c21 所以由椭圆的对称性，知该直线过点(c，1)或(－c，1)，且点(±c，1)在椭圆上，即2＋2 ab ＝1， a2－b21 即2＋2＝1，解得a2＝4，b2＝2， ab x2y2 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 42 (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)， y1y21 则kOM·kON＝·＝－，化简得x1x2＋2y1y2＝0. x1x22 因为M，N是椭圆上的点， 2 x2y1x2y2122 所以＋＝1，＋＝1， 4242 222 即有x21＋2y1＝4，x2＋2y2＝4， x0＝x1＋2x2→→→ 由OP＝OM＋2 ON，得， y0＝y1＋2y2 222 所以x20＋2y0＝(x1＋2x2)＋2(y1＋2y2) 2＋2y2)＋4(x2＋2y2)＋4(xx＋2yy) ＝(x11221212＝4＋4×4＋0 2 ＝20. 2即x20＋2y0为定值． [B 能力提升] 11．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( ) 33 A．y2＝x B．y2＝－x 6633 C．y2＝±x D．y2＝±x 63 解析：选C.因为△AOB为边长等于1的正三角形， 31 所以O到AB的距离为，A或B到x轴的距离为. 22 当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 31 因为抛物线过点，， 22 2133所以＝2p·，所以2p＝. 226 3 所以抛物线的方程为y2＝x. 6 当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时， 设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)． 31 因为抛物线过点－，， 22 12－3， 所以2＝－2p· 23 所以2p＝. 6 3 所以抛物线的方程为y2＝－x. 622xy 12．点F是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线作 ab →→ 垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2AF＝FB，则双曲线C的离心率是________． b 解析：由题意得双曲线C的右焦点为F(c，0)，记一条渐近线OA的方程为y＝x，则 a b 另一条渐近线OB的方程为y＝－x， a bmbn 设A(m，)，B(n，－)， aa bmbn→→ 因为2AF＝FB，所以2(c－m，－)＝(n－c，－)， aa 2bmbn 所以2(c－m)＝n－c，－＝－， aa 3c3c3c3bc 解得m＝，n＝，所以A(，)． 4244a 3bc－04ab 由FA⊥OA可得·＝－1. 3ca－c4 所以 a2＝3b2，所以 a2＋b223c e＝＝＝. aa3 23答案： 3 x2y2 13．设椭圆E：2＋＝1的焦点在x轴上． a1－a2 (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上． 53 解：(1)因为a2>1－a2，2c＝1，a2＝1－a2＋c2，则a2＝，1－a2＝，所以椭圆E的方 88 8x28y2 程为＋＝1. 53 (2)证明：设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)，Q(0，m)， →→→→ 则F2P＝(x－c，y)，QF2＝(c，－m)，F1P＝(x＋c，y)，F1Q＝(c，m)． →→→→由F2P∥QF2，F1P⊥F1Q， m（c－x）＝yc，得 c（x＋c）＋my＝0， 所以(x－c)(x＋c)＝y2，即x2－y2＝c2. 由椭圆E的方程可知，c2＝a2－(1－a2)＝2a2－1， 所以x2－y2＝2a2－1，即y2＝x2－2a2＋1. x2x2－2a2＋1 将上式代入椭圆E的方程，得2＋＝1，解得x2＝a4. 2a1－a 因为点P是第一象限内的点，所以x＝a2，y＝1－a2. 故点P在定直线x＋y＝1上． 14．(选做题)已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，定点N(5，0)，点P为圆M上的动点，点 →→→→ Q在NP上，点G在MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0. (1)求点G的轨迹C的方程； (2)过点(2，0)作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存 →→ 在这样的直线l，使得OA·OB≤－1？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由． →→ NP＝2NQ， 解：(1)由知Q为线段PN的中点，且GQ⊥PN，则GQ为线段PN的中 →→GQ·NP＝0，→→→→→ 垂线，故|PG|＝|GN|，所以|GN|＋|GM|＝|PM|＝6.故点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且其长半轴长a＝3，半焦距c＝5， 所以短半轴长b＝2. x2y2 所以点G的轨迹C的方程是＋＝1. 94 (2)设l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， →→则OA·OB＝x1x2＋y1y2. y＝k（x－2）， 由x2y2⇒(9k2＋4)x2－36k2x＋36(k2－1)＝0， 9＋4＝1 36（k2－1）36k2 所以x1＋x2＝2，x1x2＝， 9k＋49k2＋4 y1y2＝[k(x1－2)][k(x2－2)] 20k2 2 ＝k[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－2， 9k＋4 36（k2－1）20k216k2－36 则x1x2＋y1y2＝－2＝2. 9k2＋49k＋49k＋4 →→由OA·OB＝x1x2＋y1y2≤－1， 216k－36得2≤－1， 9k＋4 324242 解得k2≤，故－≤k≤. 2555 →→ 故存在这样的直线l，使得OA·OB≤－1， 4242 且直线l的斜率k的取值范围是－. 5，5 三 空间向量与立体几何 , 1．空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. →→→ (2)共线向量定理的推论：若OA，OB不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是 OP＝→→ λ OA＋μ OB，且λ＋μ＝1. (3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb. (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B， →→→→ C四点共面的充要条件是OP＝x OA＋y OB＋z OC(其中x＋y＋z＝1)． (5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 2．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． (1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)重要结论 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 3．模、夹角和距离公式 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 22①|a|＝a·a＝a21＋a2＋a3； a1b1＋a2b2＋a3b3a·b ②cos〈a，b〉＝＝222 . 22|a||b|a1＋a2＋a3·b21＋b2＋b3 (2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 → dAB＝|AB|＝（a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2. 4．空间向量的运算与线面位置关系的判定 (1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)， 则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0， l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)． (2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0. 5．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小． (ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面 →→ 角的大小θ＝〈AB，CD〉． (ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 1．关注零向量 (1)由于零向量与任意向量平行，所以由a∥b，b∥c无法推出a∥c. (2)0a＝0，而0·a＝0. 2．正确理解数量积的概念和运算性质 (1)a·b＝a·c(a≠0)的本质是向量b，c在向量a方向上的投影相等，b与c不一定相等． →→ (2)求两个向量的夹角是求数量积的关键，也是易错点，如等边三角形ABC中，AB与BC的夹角为120°而不是60°. (3)两个非零向量a和b的夹角θ是锐角(或钝角)的充要条件是a·b>0(或<0)且a与b不同向(或反向)． 3．弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别 (1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角． (2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去90°为所求的线面角． (3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角． 空间向量的运算[学生用书P83] →1→→→→→ (1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 4 x＝________，y＝________． (2)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D 的距离都等于2.给出以下结论： →→→→→→→→→→→→→→①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝→→→→SC·SD；⑤SA·SC＝0，其中正确结论的序号是________． →→→→1→→1→→ 【解析】 (1)由题意知AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，从而有x＝1， 44 1y＝. 4 →→→→→→ (2)容易推出：SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长 →→→→ 为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2×2×cos∠ASB，SC·SD＝2×2×cos →→→→ ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. 1 【答案】 (1)1 (2)③④ 4 (1)解决空间向量线性运算问题的方法及技巧 ①进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． ②和空间向量的线性运算相关的结论： →→ a．位置向量：AB＝OB－OA. →→→→ b．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，有AC1＝AB＋AD＋AA1. →→ c．若G为△ABC的重心，则AG＋BG＋CG＝0. 1→→ d．若O为空间中任意一点，则点P是线段AB中点的充要条件是OP＝(OA＋OB)；若 2 1→→→ G为△ABC的重心，则OG＝(OA＋OB＋OC)． 3 (2)空间向量数量积的计算问题的解题思路 ①在几何体中求空间向量数量积的步骤： a．将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； b．利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； c．代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． ②长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件． 1→→ 平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分AC成的比为，N分A1D成的比为2， 2 →→→→设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a、b、c表示MN. →→→ 解：如题图，连接AN，则MN＝MA＋AN， →→→ 由已知ABCD是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝a＋b， 1→1→ 又MA＝－AC＝－(a＋b)． 33 →→→→→→→1→1 由已知，N分A1D成的比为2，故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝(c＋2b)． 33 11→→→ 于是MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋(c＋2b) 33 1 ＝(－a＋b＋c)． 3 空间向量与线面位置关系[学生用书P83] 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB， PC的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. 【证明】 (1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有，P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)， bbaa，0，0，N，，. 因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M2222aa→→→ 0，，，AP＝(0，0，a)，AD＝(0，a，0)， 所以MN＝22→1→1→所以MN＝AD＋AP. 22 又因为MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. b→→(2)由第一问可知PC＝(b，a，－a)，PM＝2，0，－a， → PD＝(0，a，－a)． 设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →n·PC＝0⇒bx1＋ay1－az1＝0，1 则 b→n1·PM＝0⇒2x1－az1＝0， 2ax1＝bz1， 所以令z1＝b， y1＝－z1， 则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →n2·PC＝0⇒bx2＋ay2－az2＝0， 则 →n2·PD＝0⇒ay2－az2＝0， x2＝0， 所以 y＝z，22 令z2＝1，则n2＝(0，1，1)． 因为n1·n2＝0－b＋b＝0， 所以n1⊥n2. 所以平面PMC⊥平面PDC. 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示． (4)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD? (3)在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1? 解：(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC， CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)． →→ 因为AC＝(－3，0，0)，BC1＝(0，－4，4)， →→→→所以AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1，所以AC⊥BC1. (2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD. →→ 设AD＝λAB＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1. → 则D(3－3λ，4λ，0)，于是CD＝(3－3λ，4λ，0)， → 由于AC1＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD， 所以－9＋9λ＝0，解得λ＝1.所以在AB上存在点D使得AC1⊥CD，这时点D与点B重合． (3)假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1， →→ 设AE＝tAB＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1. →→ 则E(3－3t，4t，0)，B1E＝(3－3t，4t－4，－4)，B1C＝(0，－4，－4)． →→→ 又因为AC1＝mB1E＋nB1C成立，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4， 1 所以t＝. 2 所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点． 空间向量与空间角[学生用书P84] (2017·宁波高二检测) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1＝BB1＝BA＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中 点，AB⊥B1D. (1)求证：平面ABC⊥平面ABB1A1； (2)求平面AB1D与平面ACC1A1所成角(锐角)的余弦值． 【解】 (1)证明：取AB的中点O，连接OD，OB1， 因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB. 又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD. 因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD， 由已知BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1. 因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1， 又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1. →→ (2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB →→ |为单位长度，OD的方向为y轴正方向，OB1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 由题设知B1(0，0，3)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，3)， →→→→ 则B1D＝(0，1，－3)，AC＝(2，2，0)，CC1＝(－1，0，3)，AD＝(1，1，0)． 设平面ACC1A1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →→则m·AC＝0，m·CC1＝0， x1＋y1＝0即，故取m＝(3，－3，1)为平面ACC1A1的一个法向量． －x＋3z＝011 设平面AB1D的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →→则n·B1D＝0，n·AD＝0， y2－3z2＝0即，故取n＝(3，－3，－1)为平面AB1D的一个法向量． x2＋y2＝0 设平面AB1D与平面ACC1A1所成的角(锐角)为θ， 3＋3－15 则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝. 7×77 用向量法求空间角应注意的问题 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n ππ 与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉． 22 (3) 二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角． (2017·太原高二检测) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底 面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的一点． (1)求证：平面EAC⊥平面PBC； (2)若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为 6 ，求直线PA与平面EAC所成角3 的正弦值． 解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥PC， 因为AB＝2，AD＝CD＝1，所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC， 因为AC⊂平面EAC， 所以平面EAC⊥平面PBC. (2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)， 设P(0，0，a)(a>0)， 11a，－，， 则E222 11a→→→→ ，－，，PA＝(1，1，－a)． CA＝(1，1，0)，CP＝(0，0，a)，CE＝222 → 显然m＝CB＝(1，－1，0)为平面PAC的一个法向量， x＋y＝0→→ 设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则n·CA＝n·CE＝0，即，取x＝a， x－y＋az＝0 y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)， |m·n|a6→ 所以|cos〈m，n〉|＝＝2＝，则a＝2，于是n＝(2，－2，－2)，PA＝(1， |m||n|a＋23 1，－2)． 设直线PA与平面EAC所成角为θ， →|PA·n||2－2＋4|2→ 则sin θ＝|cos〈PA，n〉|＝＝＝， →6×123|PA||n| 2 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为. 3, [学生用书P151(单独成册)]) [A 基础达标] 1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( ) A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23 解析：选C.a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44. →→→→ 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＋BC＋CC1－D1C1等于( ) →→A．AD1 B．AC1 →→C．AD D．AB →→→→→→→ 解析：选A.AB＋BC＋CC1－D1C1＝AC1＋C1D1＝AD1. 3．如图所示，在几何体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝ 2，点E为CD中点，则AE的长为( ) A．2 C．2 B．3 D．5 →→→→ 解析：选B.AE＝AB＋BC＋CE， →→→因为|AB|＝|BC|＝1＝|CE|， →→→→→→且AB·BC＝AB·CE＝BC·CE＝0. →→→→ 又因为AE2＝(AB＋BC＋CE)2， → 所以AE2＝3，所以AE的长为3.故选B. 4．在直角坐标系xOy中，设A(2，2)，B(－2，－3)，沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是( ) A．37 B．6 C．35 D．53 解析：选A. 过A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D， →→ 则|AC|＝2，|BD|＝2， → |CD|＝5， →→ 〈AC，DB〉＝60°， →→→2→2＝(AC所以AB＋CD＋DB) →→→2＋→2＋→2＋2AC＝AC·DB CDDB ＝4＋25＋4＋2×2×2cos 60°＝37. → |AB|＝37.故选A. 5．已知在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，给出下列两个命题： →→→→→→①AB·CD＝AC·BD＝AD·BC； →→→→2＋→2＋→2. ②(AB＋AC＋AD)2＝ABACAD 则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为( ) A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假 D．①假、②真 解析：选A.由AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，得AB⊥平面ACD，故AB⊥CD， →→→→→→即有AB·CD＝0.同理，AC·BD＝AD·BC＝0. 于是，命题①为真命题．以AB、AC、AD为同一顶点出发的三条棱，构造长方体， →→→ 则AB＋AC＋AD为自点A出发的长方体的对角线所在的向量，从而易知命题②亦真． →→→ 6．已知平行六面体OABC-O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO′＝b，D是四边形OABC的 → 对角线的交点，则O′D＝________． →→→ 解析：O′D＝OD－OO′ 1→→→＝(OA＋OC)－OO′ 211 ＝a＋c－b. 22 11 答案：a＋c－b 22 7．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为 ________． n·s2 解析：y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α |n|·|s|2 2π 所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是. 24 π答案： 4 D1P 8.如图所示，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝ D1B λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是__________． →→→ 解析：由题设可知，以DA，DC，DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)． →→→ 由D1B＝(1，1，－1)得D1P＝λ D1B＝(λ，λ，－λ)， →→→ 所以PA＝PD1＋D1A＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1) ＝(1－λ，－λ，λ－1)， →→→ PC＝PD1＋D1C＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1) ＝(－λ，1－λ，λ－1)． 显然∠APC不是平角， →→PA·PC→→→→ 所以∠APC为钝角⇔cos∠APC＝cos〈PA，PC〉＝<0⇔PA·PC<0， →→|PA||PC| 1 即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得<λ<1， 3 1 所以λ的取值范围是3，1. 1 答案：3，1 9．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直． 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设OA＝1，则由题设知A(1，0，0)，A1(0，3，0)，C(0，0，3)，B(－1，0，0)． →→→ 则BC＝(1，0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)， → A1C＝(0，－3，3)． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量， →BC＝0，x＋3z＝0，n·则即可取n＝(3，1，－1)． →－x＋3y＝0，BB1＝0，n· →n·A1C10→ 故cos〈n，A1C〉＝＝－. 5→ |n||A1C| 10 所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 5 10．(2017·武汉高二检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上． (1)求证：DE∥平面ABC； (2)求二面角E-BC-A的余弦值． 解：(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形， 取AC的中点O，连接BO，DO， 则BO⊥AC，DO⊥AC. 又平面ACD⊥平面ABC， 所以DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC， 那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上， 因为BE和平面ABC所成的角为60°，所以∠EBF＝60°， 因为BE＝2，所以EF＝DO＝3， 所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE∥OF. 因为DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC. (2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则B(0，3，0)，C(－1，0，0)， E(0，3－1，3)， → 所以BC＝(－1，－3，0)， → BE＝(0，－1，3)， 平面ABC的一个法向量为n1＝(0，0，1)， 设平面BCE的法向量为n2＝(x，y，z)， →n2·BC＝0 则， →n2·BE＝0－x－3y＝0所以， －y＋3z＝0 取z＝1，所以n2＝(－3，3，1)． n1·n213 所以cos〈n1，n2〉＝＝，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角 |n1|·|n2|13E-BC-A的余弦值为 13. 13 [B 能力提升] 11.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°. 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系． 设AC∩BD＝N，连接NE， 22 则N，，0， 22 E(0，0，1)， 22→ 所以NE＝－，－，1. 2222 又A(2，2，0)，M，，1， 22 22→ 所以AM＝－，－，1. 22 →→ 所以NE＝AM，且NE与AM不共线． 所以NE∥AM. 又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)设P(t，t，0)(0≤t≤2)， 因为F(2，2，1)， →→ 则PF＝(2－t，2－t，1)，CD＝(2，0，0)． →→ 又因为PF与CD所成的角为60°， |（2－t）×2|1 所以＝， （2－t）2＋（2－t）2＋1×22 232或t＝(舍去)． 22 故点P为AC的中点． 12．(2017·南京模拟)在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝3，AD＝DE＝2. 解之得t＝ (1)在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD(只需指出F的位置，不需证明)； (2)对(1)中F，求直线BF与平面ADEB所成角的正弦值． 解：(1) 取CE的中点F， 连接BF，BF∥平面ACD(如图)． (2)由已知AC＝3，CD＝1，AD＝2， 得AC2＋CD2＝AD2. 所以AC⊥CD， 以C为原点，CD，CA分别为x，y轴，过C垂直于平面ACD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 1则A(0，3，0)，D(1，0，0)，B(0，3，1)，F2，0，1， 1→→→ ，－3，0. 所以AD＝(1，－3，0)，AB＝(0，0，1)，BF＝2 →AD＝0n· 设n＝(x，y，z)是平面ADEB的法向量，则， →AB＝0n· x＝3y即，所以可取n＝(3，1，0)， z＝0 →n·BF39→ 故|cos〈n，BF〉|＝＝， 26→ |n||BF| 39. 26 13．(选做题)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线． 所以BF与平面ADEB所成角的正弦值为 (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； 1 (2)已知EF＝FB＝AC＝23，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值． 2 解：(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB， 所以GI∥OB. 在△CFB中，因为H是FB的中点， 所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI， 所以GH∥平面ABC. (2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC. 又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由题意得B(0，23，0)， C(－23，0，0)． 过点F作FM垂直OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3， 可得F(0，3，3)． →→ 故BC＝(－23，－23，0)，BF＝(0，－3，3)． 设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量， →BC＝0，m·由 →BF＝0，m· －23x－23y＝0，可得 －3y＋3z＝0. 3. 3 因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)， m·n7 所以cos〈m，n〉＝＝. |m|·|n|7 7 所以二面角F-BC-A的余弦值为. 7 可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1， 模块综合检测 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) 2A．不存在x0∈R，x30－x0＋1≤0 2 B．存在x0∈R，x30－x0＋1≤0 2 C．存在x0∈R，x30－x0＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 2 解析：选C.先变换量词，再否定结论，即“存在x0∈R，x30－x0＋1>0”． 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11 解析：选B.由(2x－1)x＝0可得x＝或x＝0.因为“x＝或x＝0”是“x＝0”的必要不 22 充分条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件． 3．若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则( ) A．p＝3，q＝2 B．p＝2，q＝3 C．p＝－3，q＝－2 D．p＝－2，q＝－3 →→ 解析：选A.AB＝(1，－1，3)，AC＝(p－1，－2，q＋4)， p－1－2q＋4→→ 因为AB∥AC，所以＝＝，所以p＝3，q＝2. 13－1 →→→ 4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点M，设AA1＝a，AB＝b，AD＝→ c，则下列向量中，与BM相等的是( ) 1111 A．a＋b＋c B．a＋b－c 22221111 C．a－b＋c D．a－b－c 2222 →→→→→→→1→→→→ 解析：选C.依题意得BM＝AM－AB＝AA1＋A1M－AB＝AA1＋(A1D1＋A1B1)－AB＝AA1 2 1→1→11 －AB＋AD＝a－b＋c，故选C. 2222 2y 5．与双曲线－x2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为( ) 5 x2y2x2y2A．＋＝1 B．＋＝1 8210222xyy2x2C．＋＝1 D．＋＝1 28104 解析：选C.由题知，焦点在y轴上，排除A，B，将(1，2)代入C，D可得C正确，故选C. x2y23x2y2 6．若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方 ab2ab 程为( ) 1 A．y＝±x B．y＝±2x 2 1 C．y＝±4x D．y＝±x 4 c3c2a2－b23b1x2y2 解析：选A.由椭圆的离心率e＝＝，可知2＝2＝，所以＝，故双曲线2－2 a2aa4a2ab 1 ＝1的渐近线方程为y＝±x. 2 1 7．已知命题p：若方程ax2＋x－1＝0有实数解，则a≥－且a≠0；命题q：函数y＝ 4 x2－2x在[0，3]上的最大值与最小值之和为2.则下列为真命题的是( ) A．p且q B．p且¬q C．p或¬q D．p或q 解析：选D.由于a＝0时，方程ax2＋x－1＝0有实数解x＝1，故p是假命题；函数y＝x2－2x在[0，3]上的最小值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，故q是真命题，在四个选项中，只有p或q是真命题． 8．若命题“∃x0∈R，使x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为( ) A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1 解析：选B.根据题意可得∀x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0， 所以Δ＝(a－1)2－4≤0， 所以－1≤a≤3. 9．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( ) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x a 解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为4，0.又直线l的斜率为2，故直线l的 a|a|1|a||a| x－，则|OA|＝，故S△OAF＝··＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为方程为y＝242242 y2＝±8x. 10．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( ) A．30° B．60° C．90° D．45° →→→→→→→→→→→ 解析：选B.由于AB＝AC＋CD＋DB ，则AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝CD2＝1，由cos →→AB·CD1→→→→ 〈AB，CD〉＝＝，得〈AB，CD〉＝60°，故直线a，b所成的角为60°. →→2|AB|·|CD| 11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原 2m 点的直线的斜率为，则的值为( ) 2n 223A． B． 23C．1 D．2 2222解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mx21＋ny1＝1，mx2＋ny2＝1，两式相减得mx1－ 22 mx22＋ny1－ny2＝0， 即m(x1－x2)(x1＋x2)＝－n(y1－y2)(y1＋y2)， x1－x2ny1＋y2 所以＝－·＝－1，① mx1＋x2y1－y2 y1＋y22又＝，② x1＋x22m2 由①②得＝. n2 12．若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左、右焦 11→→ 点，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若PF1·PF2＝0，则2＋2＝( ) e1e2 A．1 B．2 C．3 D．4 x2y2x2y2 解析：选B.设椭圆的方程为2＋2＝1(a1>b1>0)，双曲线的方程为2－2＝1(a2>0，b2>0)， a1b1a2b2 →→ 它们的半焦距为c，不妨设P为它们在第一象限的交点，因为PF1·PF2＝0，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.① |PF1|＋|PF2|＝2a1， 由椭圆和双曲线的定义知，解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，代入 |PF1|－|PF2|＝2a2， 22a211a21＋a21a2222222①式，得(a1＋a2)＋(a1－a2)＝4c，即a1＋a2＝2c，所以2＋2＝2＋2＝2＝2. e1e2ccc 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出下列四个命题： →→→→ ①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12； →→→ ②A1C·(A1B1－A1A)＝0； →→ ③向量AD1与向量A1B的夹角为60°； →→→ ④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________． →→→→→ 解析：①设正方体的棱长为1，则(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1C2＝3，3A1B12＝3，故①正确；→→→②中A1B1－A1A＝AB1，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，→→→→→但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0，故④不正确． 答案：①② x－y＋2≥0， 14．已知Ω为xOy平面内的一个区域．命题p：点(a，b)∈（x，y）|3x＋y－6≤0，； x≥0，y≥0 命题q：点(a，b)∈Ω.如果p是q的充分条件，那么区域Ω的面积的最小值是__________． 解析： x－y＋2≥0， 依题意知，区域Ω的面积的最小值即为（x，y）|3x＋y－6≤0，表示的区域(如图中 x≥0，y≥0 11 阴影部分所示)的面积，即S＝×4×3－×2×2＝4. 22 答案：4 x2y2 15．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的 ab 一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为__________． b 解析：由已知得＝2，所以b＝2a.在y＝2x＋10中令y＝0得x＝－5，故c＝5，从而a2 a x2y2 22222 ＋b＝5a＝c＝25，所以a＝5，b＝20，所以双曲线的方程为－＝1. 520 x2y2 答案：－＝1 520 1 16．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－， 2 则m等于__________． y2－y1x2＋x112－x2)，解析：依题意，得kAB＝＝－1，而y2－y1＝2(x2得x＋x＝－，且点(，121 22x2－x1 y2＋y1y2＋y1x2＋x1 2＋x2)＝)在直线y＝x＋m上，即＝＋m，得y2＋y1＝x2＋x1＋2m，所以2(x21 222 3 x2＋x1＋2m，得2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，得2m＝3，解得m＝. 2 3答案： 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2 －x＋m－4＝0有一正根和一负根”，若p∨q为真，¬p为真，求实数m的取值范围． |1＋0－m| 解：因为直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，则<1， 2 所以m∈(1－2，1＋2)． 因为mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根， m－4则<0，即0 又因为p∨q为真，¬p为真，所以p假，q真， 所以m∈[1＋2，4)． 18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线的方程； →→ (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0. 解：(1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2 ＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6. (2)证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝6，c＝23，所以F1(－23，0)， →→ F2(23，0)．由点M(3，m)，得MF1＝(－23－3，－m)，MF2＝(23－3，－m)，又点M(3， →→ m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以MF1·MF2＝m2－3＝0. 19.(本小题满分12分)如图，四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝2， PC＝4，E是AB的中点，F是CE的中点． (1)建立适当的直角坐标系，写出点B，C，E，F的坐标； (2)求BF与平面ABP所成的角的余弦值． 解：(1)以PA所在直线为x轴，PB所在直线为y轴，PC所在直线为z轴，P为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B点坐标为(0，2，0)，C点坐标为(0，0，4)，A点坐标为(2，0，0)． 因为E为AB的中点，所以E(1，1，0)． 11 因为F为CE的中点，所以F2，2，2. 11 (2)连接PE，设G为PE的中点，连接FG，BG，则G2，2，0. 因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以PC⊥平面ABP. 因为F，G分别为CE，PE的中点， 所以FG∥PC，所以FG⊥平面ABP. 故∠FBG为BF与平面ABP所成的角． →→ 又因为cos∠FBG＝cos〈BF，BG〉， 1313→→ ，－，2，BG＝，－，0. BF＝2222 5 →→2BF·BG65→→ 所以cos〈BF，BG〉＝＝＝， 13→→65|BF||BG| 2 65 即BF与平面ABP所成的角的余弦值为. 13 20.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点． (1)求证：AB∥平面DEG； (2)求证：BD⊥EG； (3)求二面角C-DF-E的余弦值． 解：(1)证明：由AD∥EF，EF∥BC，得AD∥BG. 又BC＝2AD，G是BC的中点，所以AD＝BG. 所以四边形ABGD为平行四边形，所以AB∥DG. 又DG⊂平面DEG，所以AB∥平面DEG. (2)证明：因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， 所以EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB. 所以EB，EF，EA两两垂直． 以E为坐标原点，EB，EF，EA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz. 由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)． →→ 所以EG＝(2，2，0)，BD＝(－2，2，2)． →→所以BD·EG＝－2×2＋2×2＋2×0＝0. →→ 所以BD⊥EG，所以BD⊥EG. → (3)由第二问，得EB＝(2，0，0)是平面EFDA的一个法向量． 设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)． →n＝0FD·－y＋2z＝0→→ 因为FD＝(0，－1，2)，FC＝(2，1，0)，且，所以.令z＝1，得x →2x＋y＝0n＝0FC· ＝－1，y＝2， 所以可取n＝(－1，2，1)． →n·EB26→ 所以cos〈n，EB〉＝＝－＝－. 6→26|n||EB| 由图易得二面角C-DF-E为钝角， 6 所以二面角C-DF-E的余弦值为－ . 6 21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线lx22 与椭圆＋y＝1有两个不同的交点P和Q. 2 (1)求k的取值范围； → (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP→→ ＋OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋2， x2 代入椭圆方程得＋(kx＋2)2＝1， 2 122 整理得2＋kx＋22kx＋1＝0①， 12 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于方程①的根的判别式Δ＝8k2－42＋k＝4k2－2>0， 2222解得k<－或k>，即k的取值范围为－∞，－∪，＋∞. 2222 →→ (2)不存在．理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 42k 由方程①，得x1＋x2＝－②. 1＋2k2 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22③. → 而A(2，0)，B(0，1)，AB＝(－2，1)， →→→ 所以OP＋OQ与AB共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)， 2 将②③代入上式，解得k＝. 2 22 由第一问知k<－或k>， 22 故没有符合题意的常数k. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，连接ME，NE并延长分别交抛物线C于点P，Q. (1)当MN⊥x轴时，求直线PQ与x轴交点的坐标； (2)当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1＝2k2. 解：(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)． 当MN⊥x轴时，直线MN的方程为x＝1. 将x＝1代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±2. 不妨设M(1，2)，N(1，－2)，则直线ME的方程为 y＝－2x＋4， y＝－2x＋4，由2解得x＝1或x＝4，于是得P(4，－4)． y＝4x， 同理得Q(4，4)，所以直线PQ的方程为x＝4. 故直线PQ与x轴的交点坐标为(4，0)． (2)证明：设直线MN的方程为x＝my＋1，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，x＝my＋1， y4)，由2得y2－4my－4＝0， y＝4x， 2 y21y2 于是y1y2＝－4，①从而x1x2＝·＝1.② 44 x＝ty＋2， 设直线MP的方程为x＝ty＋2，由2得y2－4ty－8＝0. y＝4x， 所以y1y3＝－8，③x1x3＝4.④ 同理y2y4＝－8，⑤x2x4＝4.⑥ y2－y1 由①②③④⑤⑥，得y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，x4＝4x1.所以k1＝kMN＝， x2－x1 y4－y32y1－2y2y2－y1 k2＝kPQ＝＝＝)， x4－x34x1－4x22（x2－x1） 所以k1＝2k2. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容