学案一、第一章统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，[例2] 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： 线性回归方程 1．回归分析 (1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．
(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．
2．线性回归模型
(1)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和 b是模型的未知参数，e称为随机误差．自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
(2)在回归方程^y＝^bx＋^
a中， ^b=__________________ ，^a＝y－^
bx.
其中x＝_____，y＝___(x，y)称为样本点的__ 线性回归方程中系数^
b的含义 (1)^
b是回归直线的斜率的估计值，表示x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数．
(2)当^b＞0时，变量y与x具有正的线性相关关系；当^b＜0时，变量y与x具有负的线性相关关系. 线性回归分析 1．残差分析 (1)残差：
样本点(x^
n，yn)的随机误差ei＝yi－bxi－a，其估计值为ei＝y^y^^^
i－i＝yi－bxi－a，ei称为相应于点(xi，yi)的残差(residual)．(以上i＝1,2，„，n)
(2)残差图：
作图时，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图．
(3)残差分析：
残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果，其步骤为：计算残差——画残差图——在残差图中分析残差特性．
回归方程的预报精度越高．
2．相关指数
我们可以用相关指数R2
来刻画回归的效果，其计算公式是：R2
＝__________________________.
R2越大，残差平方和_________越小，即模型的拟合效果越好；R2
越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在
线性回归模型中，R2的取值范围为[0,1]，R2
表示解释变量对
于预报变量变化的贡献率，1－R2
表示随机误差对于预报变量
变化的贡献率．R2
越接近于1，表示回归的效果越好．
残差分析的注意点
在残差图中，可疑数据的特征表现为：
(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误，如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．
(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．
[例1] 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)试根据数据预报广告费支出1 000万元的销售额；
(2)若广告费支出1 000万元的实际销售额为8 500万元，求误差．
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共 1 页 x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3
求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
[例3] 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 试建立y与x之间的回归方程．
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非线性回归分析的步骤
非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
[活学活用]
某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经
验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表： t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)
[典例]1 下列现象的线性相关程度最高的是( )
A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87
B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－0.94 C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51 D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81 2变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 [随堂即时演练]
1．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且^
y＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且^
y＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且^
y＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且^
y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．关于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的也可以是负的
C．在回归分析中，如果r2
＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2
≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
4．若施肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程
第 2 页
共 2 页 为^
y＝250＋4x，当施肥量为50 kg时，预计小麦产量为________．
5．某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回归直线方程^y＝^bx＋^a，其中^b＝－20，^a＝－y－^b－
x； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
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学案二、1．2独立性检验的基本思想及其初步应用 独立性检验的有关概念 1．分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 2．2³2列联表 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称2³2列联表)为： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 3．等高条形图 将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图． 4．K2统计量 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． 5．独立性检验 利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验． [化解疑难] 反证法原理与独立性检验原理的比较 反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立． 独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率. 独立性检验的步骤 独立性检验的具体做法 (1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查下表确定临界值k0. P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)利用公式K2
＝nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d，计算
随机变量K2
的观测值k.
(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错
误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
[化解疑难]
详析独立性检验
(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．
(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体． 列联表和等高条形图的应用 [例1] 某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
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独立性检验的原理 [例2] 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据： 患心脏病 未患心脏病 总计 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 总计 54 1 579 1 633 根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？
[活学活用]
某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？
张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
[典例]某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．
表1：A类工人生产能力的频数分布表 生产能力分组 [110,120) [120,130[130,140) ) [140,150) 人数 8 x 3 2 表2：B类工人生产能力的频数分布表 生产能力分组 [110,120) [120,130[130,140) ) [140,150) 人数 6 y 27 18 (1)确定x，y的值； (2)完成下面2³2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？ 生产能力分组 [110,130) [130,150) 总计 工人类别 A类工人 B类工人 总计 附：K2
＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 [活学活用]
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
根据已知条件完成下面的2³2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 总计 男 女 总计 附： P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 第 4 页
共 4 页 1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是
2．下面是一个2³2列联表： y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 则表中a，b处的值分别为( ) A．94,96 B．52,50 C．52,54 D．54,52
3．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构
造随机变量K2，如果K2
的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．
4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2
的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．
5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机？
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学案三、第二章 推理与证明2．1.1 合情推理
归纳推理 如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝„＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，„，OAn的长度构成数列{an}，
问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．
问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？以上两个推理有什么共同特点？
[导入新知]
1．归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． [化解疑难]
归纳推理的特点
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；
(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠. 类比推理 问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的1
2
，那么在四
面体中，如何表示四面体的体积？以上两个推理有什么共同特点？
[导入新知]
1．类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．
2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理． [化解疑难]
对类比推理的定义的理解
(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．
(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．
(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现． 数、式中的归纳推理 [例1] 已知数列{a2n}的前n项和为Sn，a1＝－3
，且Sn＋
1
S＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
n
[活学活用]将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
„
按照以上排列的规律，求第n行(n≥3)从左向右数第3个数．
第 5 页
共 5 页 图形中的归纳推理 [例2] (1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，„这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．
[活学活用]如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，„)，则第n个图形中的顶点个数为( )
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3) C．n2
D．N 类比推理 [例3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16
T成等比数列．
12
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[活学活用]已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C平上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k平面行PM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P图形 点 线 边长 面线线三角积 角 形 四圆 试对双曲线x2y2
的位置无关的定值．边a2－b2＝1(a＞0，b＞0)写出类
形 似的性质，并加以证明．
空间六 图形 线 面 面积 体二面四面积 角 体 面球 体 2．常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握： (1)三角形类比到三棱锥：
例：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB， AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几 何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以 得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD， ADB两两相互垂直，则 _____________________________________________________ ___________________”．
(2)平行四边形类比到平行六面体：
例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和
等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空间，可1.从平面到空间的类比
得到结论：“______________________________________”．
[典例] 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；(3)圆类比到球：
四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
例：半径为r的圆的面积S(r)＝πr2
，周长C(r)＝2πr，
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2
)′＝2πr ①，
线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，图形．
请你写出类似于①的式子②：__________________________，
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性②式可以用语言叙述为：质，并填写下表： _________________________________________________. 三角形 四面体 (4)平面解析几何类比到空间解析几何：
三角形的两边之和大于第三边 例：类比平面内一点P(x，yA2
00)到直线Ax＋By＋C＝0(＋三角形的中位线的长等于第三边长的B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax一半，且平行于第三边 ＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2
≠0)的距离公式为d＝三角形的三条内角平分线交于一点，_____________________________________________________且这个点是三角形内切圆的圆心 ___________________.
1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方1．根据给出的等式猜测123 456³9＋7等于( )
面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比1³9＋2＝11 点如下：
12³9＋3＝111
第 6 页
共 6 页 123³9＋4＝1 111 1 234³9＋5＝11 111 12 345³9＋6＝111 111
A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113
2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行 B．空间中平行于同一平面的两直线平行 C．空间中平行于同一直线的两平面平行 D．空间中平行于同一平面的两平面平行
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33
＋43＝102
，„，根据上述规律，第五个等式为________．
5.如图，已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，
C′，则OA′OB′OC′
AA′＋BB′＋CC′
＝1.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：
OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABSAA′＋BB′＋CC′＝S＋＋＝△ABC＝1. △ABCS△ABCS△ABCS△ABC运用类比猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
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学案四、2．1.2 演绎推理 演绎推理 看下面两个问题： 2 0122
[类题通法]三段论在几何问题中的应用
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(1)一切奇数都不能被2整除，(2＋1)是奇数，所以(2012
＋1)不能被2整除；
(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．
问题：这两个问题中的第一句都说的什么？第二句又说的什么？第三句呢？
[导入新知]1．演绎推理的概念 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P.
辨析演绎推理与合情推理
(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理．
(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想． 把演绎推理写成三段论的形式 [例1] 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．
(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．
[活学活用]
把下列推断写成三段论的形式： (1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．
三段论在证明几何问题中的应用 [例2] 已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD.
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共 7 页 (2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
[活学活用]已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
演绎推理在代数中的应用 [例3] 已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1
(a＞1)，求证：函数f(x)
在(－1，＋∞)上为增函数．
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[活学活用]已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形[典例] 定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，B．小前提错导致结论错 有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．
证明：令x＝y＝0，
则有f(0)＋f(0)＝2f(0)³f(0)， 因为f(0)≠0，所以f(0)＝1， 令x＝0，
则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以f(－y)＝f(y)， 因此，f(x)是偶函数．
以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：________________________________________________________________________.
[成功破障]
所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．
①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．
②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．
③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．
④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．
[随堂即时演练]
1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等 C．等腰梯形的对角线相等 D．矩形的对边平行且相等
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝log13x是对数函数(小前提)，所以y＝log1
3x是增函数(结
论)．”上面推理错误的原因是( )
A．大前提错导致结论错
第 8 页
共 8 页 C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
3．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义，即a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
4．用三段论证明函数f(x)＝x＋1
x在(1，＋∞)上为增函
数的过程如下，试将证明过程补充完整：
①________________________________„„„„„„大前提
②________________________________„„„„„„小前提
③
________________________________„„„„„„„„结论
5．将下列推理写成“三段论”的形式．
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
²
(3)0.332是有理数．
bb＋m式证明＜.
aa＋m张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
学案五、2.2直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法
综合法 阅读下列证明过程，回答问题． π求证：π是函数f(x)＝sin2x＋的一个周期． 4
π2x＋π＋证明：因为f(x＋π)＝sin＝4
法．
2．分析法的框图表示
得到一个明显
成立的条件
分析法的应用 222[例2] 设a＞b＞0，求证： a－b＋ ab－b＞ a(a－b)．
Q⇐P1→P1⇐P2―→P2⇐P3―→„―→
分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．
sin2x＋2π＋π4＝sin
2x＋π4＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sinπ
2x＋4的一个周期． 问题1：本题的条件和结论各是什么？，本题的证明顺序是什么？
1．综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示
P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→„―→Qn⇒Q
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证
明的结论)
综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．
(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.
分析法 阅读下列证明过程，回答问题． 求证：6＋7≥22＋5.
证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2
≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？，证明思路是什么？ [导入新知]
1．分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等． 综合法的应用 [例1] 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2
＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
[类题通法]综合法的证明步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
[活学活用]已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：41
a＋b≥9.
第 9 页
共 9 页
在锐角△ABC中，求证：tan Atan B＞1. 综合法和分析法的综合应用 [例3] 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1
.
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综合法与分析法的适用范围 (1)综合法适用的范围：
①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；
②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．
(2)分析法适用的范围：
分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．
[活学活用]
设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2
.
2.综合法、分析法的综合应用
[典例] (12分)设f(x)＝ax2
＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图像与f(x)的图像关于y轴对称．
求证：fx＋12
为偶函数．
[活学活用]
已知a≥－12，b≥－1
2，a＋b＝1，求证：2a＋1＋2b＋1
≤22.
[随堂即时演练]
1．下面叙述正确的是( )
A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的
2．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( )
A．(3－5)2＜(6－8)2 B．(3－6)2＜(5－8)2
C．(3＋8)2＜(6＋5)2 D．(3－5－6)2＜(－8)2
3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
第 10 页
共 10 页 求证：1a－11b－11c－1
≥8.
这种证法是________(填综合法、分析法)．
a2＋b2
4．将下面用分析法证明2
≥ab的步骤补充完整：要
证a2＋b222
≥ab，只需证a＋b2≥2ab，也就是证________，即证
________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
5．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥ a＋b.(要求用两种方法证明)
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学案六、2．2.2 反 证 法 反证法 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，1．用反证法证明否定性命题的适用类型 一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明． 2．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推用反证法证明唯一性命题的适用类型 (1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单． (2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
问题：王戎的论述运用了什么推理思想？反证法解题的实质是什么？ 1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．反证法实质，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：
肯定条件p，否定结论q―→
导致逻
辑矛盾
―→
“p且綈q”
为假
―→
“若p则
q”为真
2．反证法与逆否命题证明的区别
反证法的理论依据是p与非p真假性相反，通过证明非p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“非q⇒非p”是等价命题，通过证明命题“非q⇒非p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾． 用反证法证明否定性命题 [例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过即存在性问题和唯一性问题两个方面． 程．这个过程包括下面三个步骤： [活学活用] (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线真； b与已知直线a平行． (2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理， 得出矛盾； (3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立． 即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真． [活学活用] 设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2 ＋ab＋cd≠1. 用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题 [例3] 已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大于25. 用反证法证明唯一性命题 [例2] 已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有 一条直线和平面α垂直． 第 11 页
共 11 页 张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
常见“结论词”与“反设词” 原结论词 至少有一至多有一至少有n至多有n个 个 个 个 一个也没反设词 有(不存至少有两至多有(n至少有(n在) 个 ＋1)个 －1)个 原结论对任意词 只有一个 对所有x成立 x不成立 反设词 没有或至少有存在某个x不成存在某个x成两个 立 立 原结论词 都是 一定是 p或q p且q 反设词 不都是 不一定是 p且q p或q [活学活用] 已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
3.反证法的应用[典例] (12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
[活学活用]设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，证明l1与l2相交．
第 12 页
共 12 页 [随堂即时演练]
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( ) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除 3．下列命题适合用反证法证明的是________．
①已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1
(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有
负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：1＋x1＋yy和x中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2
＋(a－1)x＋a2＝0，x2
＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
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学案七、第三章 系数的扩充与复数的引入 _3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复
数的概念 复数的概念及代数表示 问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2
＋1＝0有解吗．
1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2
＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
对复数概念的理解
(1)对复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件. 复数的分类 问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？如何用集合关系表示实数集R和复数集C?
复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈ R)实数b＝0，a＝0时为纯虚数
虚数b≠0当(2)集合表示：
1．0的特殊性
0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0.
2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗
因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件． 复数相等的充要条件 [例1] (1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
(2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．
解决复数相等问题的步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式；
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)； (3)解方程(组)． [活学活用]
已知x2＋y2
－6＋(x－y－2)i＝0求实数x，y的值．
第 13 页
共 13 页 复数的分类 [例2] 已知m∈R，复数z＝mm＋22
m－1
＋(m＋2m－3)i，
当m为何值时，
(1)z为实数？ (2)z为虚数？ (3)z为纯虚数？
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[活学活用]
设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2
＋3m＋2)i，当m为何值时， (1)z是实数？ (2)z是纯虚数？
[典例] 设m∈R，m2＋m－2＋(m2
－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
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[成功破障]
22
若z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
[随堂即时演练]
2
1．在2＋7，i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，
a2－7a＋62
5．已知复数z＝2＋(a－5a－6)i(a∈R)，试求实数aa－1
分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
7
纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2
的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i B．2＋2i C．－5＋5i D.5＋5i 3．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2
＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
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共 14 页 张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
学案八、3．1.2 复数的几何意义 复数的几何意义 平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数； 复数与复平面内点的一一对应 2[例1] 实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x＋x2
－6＋(x－2x－15)i的点Z
[例2] (1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB复数与平面向量的一一对应 任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应．
问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ ．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ＝(a，
b)．
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模
叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝a2
＋b2
.
探究复数的几何意义
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量OZ之间的关系可用下图表示：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
探究复数z对应复平面内的点的位置
如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则 (1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．
(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上． (3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．
[活学活用]实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2
＋5m＋6)＋(m2
－2m－15)i的点
(1)位于x轴上方； (2)位于直线y＝x上．
第 15 页
共 15 页 对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数
是( )
A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i (2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量AB，AC，BC对应的复数；
②判定△ABC的形状．
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[活学活用](湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
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复数模的计算 [例3] 求复数z＝6＋8i及z112＝－2
－2i的模，并比较它们
的模的大小．
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
[活学活用]已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
[典例] 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2； (2)2＜|z|＜3.
解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．
1．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________．
2．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
[随堂即时演练]
1．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2
－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 2．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
第 16 页
共 16 页 5．在复平面内画出复数z1313
1＝2＋2i，z2＝－1，z3＝2－2
i对应的向量OZ，OZ12，OZ3，并求出各复数的模，同时
判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
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学案九、_3.2复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
复数加、减法的几何意义
如图：设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ，复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．
复数的加减法 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
问题3：以交换律说明之．
[导入新知]
1．复数的加、减法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
对复数加减法的理解
1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．
2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3. 复数加、减法的几何意义 如图OZOZ1，2分别与复数a＋bi，c＋问题1：试写出OZdi对应．
－OZ1、OZ2及OZ1＋OZ2，OZ12的坐标． 问题2：向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2对应的复数分别
是什么？
1OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z量是OZ2对应的向
，与z1－z2对应的向量是Z2Z1 .
对复数加减运算几何意义的认识
复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
复数的加、减运算 [例1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
第 17 页
共 17 页 计算下列各题．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋„＋(2 011－ 2 012i)．
复数加、减运算的几何意义 [例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC、BD的长．
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，应的复数．注意向量AB在三角形内可求得第三个向量及其对
对应的复数是zB－zA(终点对应的复数
减去起点对应的复数)．
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[活学活用]
复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
综合应用 [例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.
与复数模有关的几个常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； (3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
[活学活用]
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
[典例] M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.
第 18 页
共 18 页 1．本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误的将集合M和N化简为M＝{z|z＋1＝±1}，N＝{z|z＋i＝±(z－i)}从而造成解题错误．
2．在复数运算中，若z＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2
.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．
已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
[随堂即时演练]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( ) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i
2．在复平面内，AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，
－2－3i，则BC对应的复数为( )
A．－1－5i B．－1＋5i C．3－4i D．3＋4i
3．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．
4．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
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学案十、3．2.2 复数代数形式的乘除运算 复数的乘法 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1²z2＝z2²z1 结合律 (z1²z2)²z3＝z1²(z2²z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 对复数乘法的理解 (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必
须在所得结果中把i2
换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数. 复数的除法 问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？
问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积．
问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
[导入新知]1．共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则z1z＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2
i(c＋di≠0)． 2辨析复数除法与实数除法的关系
复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
复数的乘除运算 [例1] 计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)3－1
2＋2i32＋12i(1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i3－2－3i－2i2＋3i.
复数乘除运算的常用技巧
(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[活学活用]
第 19 页
共 19 页 (1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部；
(2)已知z是纯虚数，z－2
1＋i
是实数，求z.
共轭复数 [例2] (1)若z＝1＋2ii
，则复数z＝( )
A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i (2)(四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B C．C D．D
(3)复数z＝1＋i，－
z为z的
共轭复数，则z－
z－z－1＝( )
A．－2i B．－i C．i D．2i
[活学活用]
张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数－
z＝1－i，求实数
a、b使az＋2b－
z＝(a＋2z)2.
复数运算的综合应用 [例3] 已知z11是虚数，z2＝z1＋z是实数，且－1≤z2≤1.
1
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝1－z1
1＋z，求证：ω为纯虚数．
1
解决双复数问题的方法
解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．
[活学活用]
已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝z2＋i，且|ω|
＝52，求ω.
[典例] 已知关于x的方程x2
＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________．
1．求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以
Δ＝(k＋2i)2
－4(2＋ki)≥0，解得k≥23或k≤－23.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
2．复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
[成功破障]复数范围内方程x2
－5|x|＋6＝0的解的个数为
第 20 页
共 20 页 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8 [随堂即时演练]
1．(浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
2．(湖北高考)在复平面内，复数z＝2i
1＋i
(i为虚数单位)
的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若2
1－i
＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝
________.
4．设zz11＝a＋2i，z2＝3－4i，且z为纯虚数，则实数a的2
值为________．
5．计算：
(1)(1－i)－1
2＋32i(1＋i)；
(2)
2＋3i
3－2i
；
(3)(2－i)2
. 张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
学案11、第四章 框图学案
_4.1流程图 流程图 1．流程图的概念 由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图．流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．
2．工序流程图
用于描述工业生产的流程图通常称为工序流程图．
流程图的特点
(1)流程图通常用来描述一个过程性的活动．活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，基本单元之间通过流程线产生联系．基本单元中的内容要根据需要确定，可在基本单元中具体说明，也可为基本单元设置若干子单元．
即流程图由基本单元和流程线构成．
(2)通常，人们习惯按照从左到右、从上到下的顺序阅读图示．所示流程图一般按照从左到右、从上到下的顺序来画．
(3)流程图可以比较直观地表达数学计算或证明过程中的主要思路． 画算法的程序框图 [例1] 在国内寄平信，每封信的质量x(克)不超过60(克)时的邮费y(分)的标准为y＝
80，x∈0，20]，160，x∈20，40]，
240，x∈40，60].
试画出计算邮费的程序框图．
画算法的程序框图，一般需要将自然语言描述的算法的每一个步骤分解为若干输入、输出、条件结构、循环结构等基本算法单元，然后根据各单元的逻辑关系，用流程线将这些基本单元连接起来．即基本单元是构成程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线建立．
[活学活用]
求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．
画工序流程图 [例2] 阅读下列乌龙茶的制作工序步骤，并绘制其工序流程图：
首先，通过萎调散发部分水分，提高叶片韧性，便于后续工序进行．
做青是乌龙茶制作的重要工序．经过做青，叶片边缘细胞受到破坏，发生轻度氧化，呈现红色．叶片中央部分，叶色由暗绿转变为黄绿，即所谓的“绿叶红镶边”．
炒青是承上启下的转折工序，主要是抑制鲜叶中的酶的活性，控制氧化进程，防止叶子继续变红，固定做青形成的品质．
第 21 页
共 21 页 揉捻是塑造外形的一道工序．通过外力作用使叶片揉破变
轻，卷转成条，体积缩小，且便于冲泡．
干燥可抑制酶性氧化，蒸发水分和软化叶片，并起热化作用，消除苦涩味，使滋味醇厚．
工序流程图的画法
(1)从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理工作或工序的划分．
(2)明确各工作或工序之间的关系．
(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排． (4)开始时流程图可以画得粗疏，然后进行逐步细化． [活学活用]
某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报
公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去；如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．
张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
流程图的读图问题 [例3] 某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如图所示：
如果某人用手机查询该手机卡上的余额，请画出操作的流程图．
[活学活用]下图是2012年山东各类成人高考学校招生网上报名流程图．试叙述一名考生报名时所要做的工作．
[典例] 某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为( )
A．9天 B．8天C．7天 D．6天
1．若对“工程的总工时”理解有误，则会错误的认为用时为①→③→④→⑤→⑦，即6天，从而误选D.
2．根据各工序之间的关系，有时可将一些工序同时进行，以节省时间．完成一件事，巧妙运用统筹图，适当安排，能够在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益，实现优化．但是，解决此类问题的前提条件是工序完整．
[成功破障]
在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2 min，烧开水需要15 min，洗茶壶、杯需要3 min，取、放茶叶需要2 min，沏茶需要1 min.则最快能喝到茶所需要的时间为________ min. [随堂即时演练]
1．在如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．设备安装 B．土建设计C．厂房土建 D．工程设计 2．下面是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流
第 22 页
共 22 页 程图，则空白处应填( )
A．x1＝x2？ B．x1≠x2? C．y1＝y2? D．y1≠y2?
3．阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．
4．某工程的工序流程图如图所示，其中流程线上字母表示工序，数字表示工序所需工时(单位：天)，现已知工程总工时为10天，则工序c所需工时为________天．
5．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：
①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤．
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学案12、4.2结构图 结构图 1．结构图的概念 结构图是一种描述系统结构的图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．连线通常按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示要素的从属关系或逻辑的先后关系．
2．结构图的分类 (1)“树”形结构图：
表达要素之间的从属关系的结构图呈“树”形结构，即构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素．一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．“下位”要素越多，结构图越复杂．
树形结构图经常用来表示一个组织的构成，即组织结构图一般都呈“树”形结构，这种图比较直观，容易理解，应用广泛．
(2)“环”形结构图：
表达逻辑先后关系时通常使用“环”形结构图．在绘制“环”形结构图时，可以先根据逻辑先后关系按照从左到右或从上到下的顺序画出各要素的图框，再用连线或方向箭头适当连接．
“环”形结构图经常用来表示知识的网络关系，即复杂的知识结构图一般都呈“环”形结构，这种图能从多种不同联系的角度来理解各版块知识之间的关系．
结构图与流程图的比较
(1)相同点：①它们都是框图．框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，是表达和交流思想的有力工具．
②画结构图与画流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来表明各要素之间的关系．
(2)不同点：流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
树形结构图的画法 [例1] 北京期货商会组织结构设置如下： (1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会；
(2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长；
(3)秘书长分管秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．
据上绘制其组织结构图．
“树”形结构图多用来表示结构设置的层次、显示事物的分类等．画“树”形结构图时，必须理清一个系统中各部分的层次，首先要确定最高层次的基本单元，可称为“最上位要素”，然后要注意分清它的各下位要素之间是并列关系还是继续分上位、下位要素． [活学活用]
某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．
第 23 页
共 23 页
环形结构图的画法 [例2] 试画出《数学3》“算法初步”一章的知识结构图．
画“环”形结构图时，必须从整体上理清层次，并抓住系统的主要要素进行分解至基本单元，通过把握各要素之间的相互关系，确定各基本单元之间的逻辑先后顺序，然后按照一定的顺序连接基本单元．
[活学活用]
数列是一种特殊的函数，你能画出这一章的知识结构图吗？并指出“等差数列”与“等比数列”的下位要素是什么？
张家口市第一中学2015-2016学年度高二年级文科班数学学案 选修1-2 班级： 姓名：
[例3] 如图是某生态农场物质循环利用的结构图，请用语言描述此框图所包含的内容．
[活学活用]
下图为某集团组织结构图，请据图分析财务部、人力资源部的隶属关系．
[典例] 下列关于结构图的说法正确的是( ) A．结构图只能从左向右分解 B．结构图只能从上向下分解 C．结构图只能从下向上分解 D．以上都不对
下列框图中不是结构图的是( )
A.整数指数幂―→有理数指数幂―→无理数指数幂 B.随机事件―→频率―→概率
C.买票―→候车―→检票―→上车
D. [随堂即时演练]
1．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是( )
A.
B.
C.
D.
第 24 页
共 24 页 2．下列结构图中，各要素之间表示从属关系的是( ) A.频率→概率→应用 B.平面向量→空间向量
C.
D.
3．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．
4．如图所示为《数学5》第三章“不等式”的知识结构图，填空：①___________________；②______________
5．我们学过圆的有关知识及应用，试画出有关圆的知识结构图．
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