高中数学选修2-1 导学案

2.2 椭圆

2.2.1 椭圆及其标准方程

学习目标

1.掌握椭圆的定义及其标准方程；

2.理解椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。 基础感知

预习教材，完成下列问题： 例3.设点A、B的坐标分别为（-5,0）（5,0）,（1）平面内 的点直线AM、BM相交于点M,且他们的斜率之的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆积是-4/9,求点M的轨迹方程？

的 ，两焦点之间的距离叫做椭

圆的

（2）椭圆的标准方程：当焦点在x轴

时，标准方程为 ；当

焦点在y轴时，椭圆的标准方程为

（3）集合语言：点集P=｛M｜

|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|｝

当2a=|F1F2|时，轨迹是 当2a<|F1F2|时，轨迹是

合作学习

例1.已知椭圆两个焦点的坐标分别是

（-2,0）（2,0），并且经过点（2.5,-1.5）,求它

的标准方程。 当堂检测 课后练习

例2.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在圆上运

动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

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2.2.2 椭圆的简单几何性质 班级 姓名 小组

学习目标

1.掌握椭圆的几何性质

2.椭圆的几何性质的实际应用 基础感知

预习教材，完成下列表格 焦点位置 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦距 对称性 离心率

合作学习

例1.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长、离心率、焦点、顶点坐标

例2.点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到直线x焦点在x轴 焦点在y轴

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254的距离之比是常数,求45点M的轨迹方程

当堂检测

《师说》随堂自测

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限时训练（1）

班级 姓名 小组

限时训练（2）

班级 姓名 小组

1.焦点在x轴上，a=6,c=1的椭圆的标准方程1.已知椭圆的离心率是1/3,长轴长为12,则椭为: 圆的方程为:

2.已知椭圆的方程为m2x2+16y2=16m2,焦点

在x轴上，则m的取值范围: 2.椭圆的方程为9x2+4y2=36,则焦点坐标 为 ，离心率为

3.过点（-3,2）且与4x2+9y2=36有相同焦点

的椭圆方程为: 3.椭圆的方程为x2+25y2=100,则长轴长为 短轴长为 顶点坐标为

4.已知椭圆的方程是25x2+a2y2=25a2,它的两个焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点

F1，则三角形ABF2的周长为:

2

2

4.已知

121（m>0,n>0）则当mn取最mn2小值时，椭圆n2x2+m2y2=mn的焦距为

5.椭圆25x+16y=1的焦点坐标是: 6.已知两定点F1（-1,0）F2（1,0）,动点P满5.若直线y=x+6与椭圆m2x2+y2=m2（m>0,且足:|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,求: m≠1只有一个公共点则椭圆的长轴长为：

（1）点P的轨迹方程

。

（2）若∠F1PF2=120，求三角形PF1F26.求适合下列条件的椭圆的标准方程 的面积 （1）短轴长为6,焦距为8 （2）两个顶点分别是（-7,0）（7,0），且过 点（1,1）

7.已知椭圆的方程为16x2+25y2=400,求:椭圆

的长轴长，短轴长，焦点坐标，以及椭圆上7.若椭圆9x2+（k+8）y2=9（k+8）的离心率任意一点与两个焦点的距离之和。 为0.5,求k的值？

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2.3双曲线

2.3.1 双曲线及其标准方程 班级 姓名 小组

学习目标

1.理解双曲线的定义，标准方程，几何图形；

2.掌握双曲线的标准方程及其求法； 基础感知 一知识链接

1.椭圆的定义及几何性质

2.椭圆的标准方程？如何判断焦点的位置？

二知识梳理

阅读课本，回答下列问题: 1.双曲线的定义:

几何语言:

焦点: 焦距:

2.写出双曲线的两种形式的标准方程:

3.双曲线标准方程中的a、b有大小关系吗？如何判断焦点位置？

4.双曲线定义中的常数有限制条件吗？如果去掉“绝对值”还是双曲线吗？

三合作学习

例1.已知双曲线两焦点分别是F1（-5,0）、F2（5,0）,双曲线上一点P到F1、F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程？

例2.点P是双曲线9x2-16y2=144上的任一点，F1、F2是其两个焦点，且｜PF1｜=17,求|PF2|的值？

例3.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）a=4,且经过点A（1,4√10/3）

（2）焦点在y轴，且经过点（3,-4√2）（9/4,5）

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2.3.2双曲线的简单几何性质 班级 姓名 小组

学习目标

1.掌握双曲线的几何性质，了解离心率、渐近线对双曲线形状的影响

2.能利用双曲线的基本量a、b、c求出双曲线的标准方程（待定系数法） 基础感知 1.旧知回顾

（1）双曲线的定义:

（2）双曲线的两种形式的标准方程: 2.探究新知

阅读课本，完成下列表格: 焦点位置 标准方程 图形 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 渐近线 a、b、c的关系 离心率 焦点在x轴 焦点在y轴 合作学习

例1.求双曲线4x2-y2=4的实轴长和虚轴长、顶点和焦点、离心率和渐近线方程；

例2.求分别适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）已知双曲线的右焦点（3,0）离心率为3/2； （2）分别以椭圆16x2+25y2=400的顶点及焦点作为双曲线的焦点和顶点；

（3）一个顶点是（0,6）且离心率是3/2；

当堂检测

课本61练习1、2、3

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限时训练一

班级 姓名 小组

1.动点P到点M（1,0）及到点N（2,0）的距离之差为1,则点P的轨迹是 ；

2.已知两定点F1（-5,0）、F2（5,0），动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时，P点的轨迹分别是 ；

限时训练二

班级 姓名 小组

1.双曲线kx2+4y2=4k的离心率e∈（1,2）则k的取值范围 ；

2.双曲线x2-4y2=4的顶点到其渐近线的距离为

3.焦点在x轴的双曲线的离心率为√5/2,则其渐近线方程为

x2y21表示双曲线，则3.已知方程

1k1k4.双曲线9x2-16y2=144的渐近线方程为

k的取值范围为: 5.双曲线ax2-y2=a的一条渐近线与直线 x-y+3=0垂直，则a的值为:

4.过点（2,1）且a2的双曲线方程为

6.求与双曲线9x2-16y2=144共渐近线且经过

点33，-3的双曲线方程为

5.求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）以椭圆9x2+16y2=144的两个顶点为

焦点，且经过椭圆的两个焦点

（2）焦点为（0,-6）（0,6）且经过点（2,-5） （3）与双曲线4x2-16y2=64有公共焦点，且经过点32，2

x2y21表示双曲线，则k7.若曲线

4k1k的范围:

8.若双曲线mx2-4y2=4m渐近线方程为yy

9.双曲线3x2-y2=3,过点M（2,1）的直线l交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，若M为AB的中点，求:

（1）直线l的方程 （2）弦AB的长

3x,则焦点坐标为 2

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2.4 抛物线

2.4.1抛物线及其标准方程 班级 姓名 小组

学习目标

1.掌握抛物线的定义，能够根据具体条件求出抛物线的标准方程以及由标准方程求焦点坐标和准线方程 （重点）

2.理解抛物线方程的推导 （难点） 基础感知 1.知识回顾

前面我们学习了椭圆和双曲线这两种圆锥曲线，今天我们学习第3种圆锥曲线-抛物线

抛物线的形成、定义及标准方程又是怎样的呢？

提问:椭圆和双曲线的定义及其标准方程？

2.探究新知

预习教材，完成下列问题: （1）抛物线是如何定义的？

（2）抛物线四种形式的标准方程 图形 标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 焦点坐标 准线方程 合作学习 例1.（1）已知抛物线的标准方程为y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点坐标（0,-2），求标准方程

例2. 一种卫星接受天线的轴截面是一个抛物线，已知接收口径为4.8m（直径）深度为0.5m,试建立适当的坐标系，求出抛物线的标准方程和焦点坐标？

当堂检测

《师说》随堂自测

思考:你能说明二次函数y=ax2（a≠0）的图象为什么是抛物线吗？并指出它的焦点坐标、准线方程

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2.4.2 抛物线的简单几何性质及

其应用

班级 姓名 小组

学习目标

1.会根据方程讨论曲线的简单几何性质，并注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的联系

2，-22的抛物线有几条？并求出其标准

与区别（重点）

2.会应用抛物线的性质解决有关抛物线的方程

实际问题 （重点 难点）

基础感知

1.知识回顾：

（1）抛物线的定义（注意定义中的关

键点）

（2）抛物线的四种形式的标准方程

2.探究新知：

预习教材，完成下列问题（以y2=2px

（p>0）为例）

（1）范围:抛物线上的点的横坐标的

范围是 ，纵坐标的范围

是 ，抛物线的图象向

和 无限延伸，开口向

（2）对称性：关于 对称；

（3）顶点坐标：

（4）离心率：

（5）焦点弦：

AB的长。

当堂检测

1.若对称轴是坐标轴，且经过点

合作学习

例1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过点2，-22,求它的标准方程？

例2. 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，求线段

学习资料分享

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限时训练一 班级 姓名 小组

1.顶点在原点，准线方程为y=4的抛物线方程为：

2.直角坐标系中到点（1,1）和到直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是：

3.若抛物线y=2px上横坐标为6的点的焦半径为10,则顶点到准线的距离为:

4.抛物线y2=4px（p>0）上一点M到焦点的距离为a,则M到y轴的距离为：

5.求经过点（-3,-5）的抛物线的标准方程；

6.求焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程；

7.若抛物线通过直线y=

2

限时训练二

班级 姓名 小组

1.抛物线y2=4x的焦点坐标为： 准线方程为：

2.准线为y=-1的抛物线的标准方程为:

3.抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围:

4.抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为5,则P点坐标为:

5.已知抛物线y=16x2,求该抛物线的焦点坐标，准线方程以及顶点坐标

6.若直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长；

7.直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值

时，直线与抛物线:（1）有一个公共点 （2）有两个公共点

1x与圆x2+y2+6x=02的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的标准方程；

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3.1 空间向量及其运算 第一课时 空间向量的线性运算 班级 姓名 小组

学习目标

类比平面向量的相关概念及其运算，学习空间向量的概念及其运算 重点

空间向量的数乘运算 难点

向量共线的充要条件及空间向量共面的充要条件 基础感知 1.复习旧知

①向量的相关概念：定义 单位向量 零向量 相等（反）向量 共线向量（平行向量） ②向量的数乘运算

③平面两向量共线的充要条件 2.自主学习

阅读课本84-88页，回答下列问题： 问题1.空间向量的相关概念与平面向量的是否相同？类比平面向量的加减法运算法则，完成86页练习3

问题2.空间两个向量共线的充要条件是什么？空间任意一点P在直线l上的充要条件是什么？

问题3.什么是共面向量？如果两个向量共面，那么它们所在直线有什么位置关系？

问题4.空间任意向量p 与不共线的向量ab共面的充要条件是什么？如何利用向量判断空间四点共面？

合作探究

例1.已知M、N分别是四面体ABCD棱AB、

1CD的中点，求证:MNADBC

2

例

2.

已

知

ABa5b

BC2a8b,CD3a3b 且a与b不共线，求证:B、A、D三点共线

例3.已知两个非零向量e1、e2不共线， 求证:A、B、C、D四点共面

当堂检测

《师说》随堂自测 1-4



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第二课时 空间向量的数量积运

算

班级 姓名 小组

学习目标

1.掌握空间向量数量积概念、性质、计算方法以及运算规律

2.空间向量夹角的概念及其表示方法 重点

空间向量数量积计算方法及其应用 难点

用空间向量数量积来解决立体几何问题 基础感知

一、自主学习 阅读课本，类比平面向量数量积的相关知识，完成下列问题：

1.空间两个向量的夹角是如何定义的？其范围是多少？

2.如何判断两个向量垂直？

3.空间向量数量积是如何定义的？两个向量的数量积是数量还是向量？

4.类比平面向量的数量积 ，ab的几何意义是？

5.空间向量的数量积有哪些运算律？是否满足消去率和结合律？

二、合作学习 例1. 判断正误

①|ab| =|a||b| （）

②（ab）c= .a（bc） （）

③mab= mamb （）

④若ab=3，则a

3

b 例2.空间四边形ABCD中的每条边和对角

线长都为1，E、F分别是AB、AD的中点，计算： 1EFBA

2EFBD

3EFDC

当堂检测

《师说》随堂自测1-3



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第三课时 空间向量的正交分解

及其坐标表示 班级 姓名 小组

学习目标

1.能准确理解空间向量的正交分解及空间向量基本定理；

2.能将空间向量用坐标表示出来.

a= ，则称 为a的坐标，记作 。



二、合作探究

1. 设a=2i-j3k 则a的坐标为 2. 在三棱锥O-ABC 中，G为三角形ABC的重心，选OA,OB,OC为基底，表示OG;

3.已知向量a、b,c,是空间的一个正交基底，向量ab、a-b,c, 是另一组基底，若p在ab,c,的坐标是 （1,2,3）,求p 在

基础感知

一、自主学习

阅读课本第92——93页，完成一下内容：

1.空间向量的正交分解

空间的任意向量a，都可以分解为不共面的三个向量i,j,k,使得

a= ，如果i,j,k两两 ，这种分解叫空间向量的正交分解。

2.空间向量基本定理：

思考：空间任意一个向量的基底有多少个？是否任意的三个向量都可以作基底？

3.什么是单位正交基底？通常用什么表示？

4.空间向量的坐标表示

给定一个空间直角坐标系o-xyz和向量

ab、a-b、c下的坐标；



4. M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P、Q是MM的三等分点，其中Q是离M较近的点，用OA,OB,OC表示

OP,OQ

三、当堂检测

完成课后练习1、2、3

a，设分别为x轴、y轴、z轴正方向上的

单位向量，则存在有序实数对｛x,y,z｝，使

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第四课时 空间向量运算的坐标

表示

班级 姓名 小组

学习目标

1.牢记空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式 （重点）

2.会用这些公式解决相关问题 （难点） 基础感知

一.自主探究:

阅读课本95-96页，完成下列内容： 1.空间向量运算的坐标表示

（1）设A（x1,y1,z1）B（x2,y2,z2）

则：AB=

（2）设a=（a1,a2,a3） b=（b1,b2,b3）则：

a+b= a-b= λa= ab=

2.空间向量共线、垂直的坐标表示： 设a=（a1,a2,a3）b=（b1,b2,b3）则： （1）a//b⇔ （2）a⊥b⇔

3.空间向量长度、夹角的坐标表示： （1）已知设a=（a1,a2,a3） b=（b1,b2,b3）则： |AB|=

（2）已知a=（a1,a2,a3） b=（b1,b2,b3）则：

 |a|= cosθ=

合作探究

例1.已知已知空间三点A（-2,0,2）B（-1,1,2）C（-3,0,4）设a=AB,b=AC （1）求|c|=3,且c//BC求c的坐标； （2）若ka+b与ka-2b垂直，求k的值.

例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是A1B1、C1D1的四等分点，（离B1、D1最近的）求：BE与DF所成角的余弦值

当堂检测

课本97页练习1、2、3

学习资料分享

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限时训练

班级 姓名 小组

1.下列说法正确的有： ①所有的单位向量都相等

②方向相反的两个向量是相反向量

7.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，求：AEAF的值？

  ③若a与b同向，且|a|<|b|，则a④若a、b所在直线是异面直线，则a与b

不共面

2.若a=（x,2,0）,b=（3,2-x,x）且a与b的夹角为直角，则x=

3.若a=（1,1,0）b=（-1,0,2）且（ka+b）⊥（2a-b）,则k=

4.已知=a（1,2,-y）b=（x,1,2）且（a+2b）//（2a-b）,则x= y=

5.下列命题正确的有： ①|a|-|b|=|a+b|是a与b共线的充要条件

②若a//b,则存在唯一实数λ，使得a=λb

③空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若OP=22OAOBOC则P、A、B、C四点共面

④|（ab）c|=|a||b||c|

6.已知点A（1,1,0）1/2AB=（4,1,2），则点B的坐标为：

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2

