2019年上海高考数学第一轮复习 第43讲 二项式定理

第43讲 二项式定理

[基础篇]

一、二项式定理：

0n1n11 （1）二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb,nN*

【注意】 ①项数：展开式中总共有(n1)项. ②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)与(ba)是不同的. ③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n. 012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn.项的系数是a与nnb的系数（包括二项式系数）. rnrr（2）通项：Tr1Cnab,r0,1,2,,n.

（3）二项式系数的性质：

0nkk1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，··· CnCnCn012②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为CnCnCn12 变形式CnCnrCnnCn2n1．

rCnnCn2n，

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123在二项式定理中，令a1,b1，则CnCnCnCn0242r13从而得到：CnCnCnCnCnCnn(1)nCn(11)n0，

2r1Cn1n22n1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

1

0n01n12n22(ax)nCnaxCnaxCnax00n122n2(xa)nCnaxCnaxn1Cnaxn0nCnaxa0a1x1a2x2nn0Cnaxanxnanxna2x2a1x1a0

令x1, 则a0a1a2a3令x1,则a0a1a2a3①②得,a0a2a4①②得,a1a3a5⑤二项式系数的最大项：

an(a1)n①an(a1)n②(a1)n(a1)nan(奇数项的系数和)2(a1)n(a1)nan(偶数项的系数和)2n2n如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C⑥系数的最大项：

求(abx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A1,A2,,An1，

设

nn12n,Cn12同时取得最大值。 nAr1Ar第r1项系数最大，应有，从而解出r来．

AAr1r2(4)常用的结论：

0122令a1,bx, (1xn)CCxCnnnx0122令a1,bx, (1xn)CnCnxCnxrrCxnrrCxnnnCn(xn )Nn(1)nnCnx(n N)

【二项式定理主要应用】 求展开式中的特定项或特定项的系数； 求二项式系数和或各项的系数和，主要运用“赋值法”； 整除性的证明、求余数，主要运用“配凑法”、“消去法”； 近似值的计算； 不等式的证明. 2

[技能篇]

例题1 求二项式(x2

例题2 若1ax 展开式中x3 的系数为-80，则a= .

例题3 12x

例题4 求42xx2

5012x)10的展开式中的常数项？

5a0a1xa2x2a50x50,求a1a2a50的值.

2x7的展开式中x5的系数.

1例题5 已知x的展开式前三项中的x的系数成等差数列 42x(1)求展开式里所有的x的有理项； (2)求展开式里系数最大的项.

3

n

31例题6 x2展开式系数最大的项系数与最小的项的系数之比为，求展开式的常数项.

4x

例题7 求(2x1)的展开式中 （1）各项系数之和；

（2）各项的二项式系数之和； （3）偶数项的二项式系数之和； （4）各项系数的绝对值之和； （5）奇次项系数之和.

例题8 求0.9986的近似值，使误差小于0.001．

例题9 求46n5n1 被20除的余数．

1232例题10 CnCn6Cn6

n2例题11 利用二项式定理证明：2nn1n5,nN

n5nn1Cn6= .



例题12 设二项式(33x)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

1xps272,则n等于多少？

4

[竞技篇]

一、填空题：

1、在(x26)的二项展开式中，常数项等于 x612、在x的二项式展开式中，常数项等于

xa3、设常数aR，若x2的二项展开式中x7项的系数为10，则a______

x4、已知5a9x的展开式中x3的系数为，常数a的值为_______ x4295、在(1x)(1x)2(1x)6的展开式中，x2项的系数是_______（用数字作答）

6、已知(12x)6a0a1xa2x2…a6x6，求 （1）a1a2…a6______, （2）a0a1a5_______,

（3）|a0||a1||a2||a6|______ （4）a0a2a4a6__________

7、若（ax1)5的展开式中x的系数是80, 则实数a的值是_________ 8、(x11)(x12)(x13)…(x20)的展开式中含x项的系数是_____

9、若(12x)100a0a1(x1)a2(x1)2a100(x1)100,则a1a2a100＝ 1232nn110、设nN,则CnCn6Cn6Cn6___________.

3911、若nN*，则Cn3n12、若nN，求证明：3

0C1n13n …… +(1)n1Cn3(1)nn1Cn03的值是 n

2n324n37能被64整除。

5

13、已知(x3x2)n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．

(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项。

12314、(1)求证：13Cn32Cn33Cn(1)n3n(2)n

23(2)若(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求(a0a2a4)2(a1a3)2的值．

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