３８ 数学教学研究 第２９卷第２期２０１０年２月 权方和不等式在求解竞赛题中的应用 司志本 河北省承德民族师专０６７０００ 对于有些比较复杂的数学竞赛题，当你 感到“山重水复疑无路”时，权方和不等式会 让你找到“柳暗花明又一村”的感觉．所谓权 方和不等式，是指下面这个不等式： ＋ ＋．．．＋ ‘ 。 ≥ ． ㈩ 当且仅当 一垒＝…一 时，（１）式取等号， Ｙｌ Ｙｚ Ｙ” 其中 ，ｚ ，Ｙ ∈Ｒ＋（ —ｌ，２，…，，ｚ）． １直接利用权方和不等式求解 有些竞赛题，完全满足权方和不等式的 条件，对于这类问题，不用作任何变形，直接 利用权方和不等式就可以求解． 例１ （第２４届全苏数学竞赛试题）已 知ｎｌ，“２，…，ｎ ∈Ｒ＋，且ｎ１＋ｎ２＋…＋ｎ 一 ，求证＋＋．．．＋ ≥ （ －ｌｌ －ｒ＿ ｆ－／２／ ／２．１－ ３ ｎ ｗ １＿口１ 证明这是权方和不等式中 一ｌ的情 况．直接运用权方和不等式，就有 — Ｌ十— Ｌ十…＋— Ｌ ａｌ十（２２（２２十Ⅱ３ ｎ¨十（Ａ１ ＼ （ｎｌ＋“２＋…＋口 ） ／，（Ⅱｌ＋ｎ。）＋（ｎ２＋ｎ３）＋…＋（口 ＋“１） 一 ２‘ 例２（１９８４年全国高中数学联赛试题） 已知“１，ｎ２，…，ｎ ∈Ｒ＋，求证 ２＋丝２＋…＋篮≥以 ＋ａ。＋…＋ｎ 证明堕＋堕＋…＋堕 ≥ 一ｎｌ＋ ２＋…＋ｎ 例３（第二届“友谊怀”国际数学邀请 赛试题）已知“，６，ｃＥＲ＋，求证 ｂ＋ｃ＋ ——十 ＋ 十 ≥ — ．’ 证明而（２ｇ＋ ＋ 、（“＋６＋ｃ）０ “＋ｂ＋ｃ ／，２（口＋６＋ｃ） ２ ‘ 例４（１９９１年亚太地区数学竞赛试题） 已知ｃｃ ，６ ∈Ｒ＋（ —ｌ，２，…，７２），且 “ 一 喜６＝＝ｌ ，求证誊 ≥专 ｉ ｉ＝１“十Ｄ ｉ ｎｌ ¨ ，ｒ 证明ｉ一∑ ＝１Ⅱｉ—ｔ＿Ｄ ≥ ＝丢（ｎ ＋ｎ：＋…＋“ ） 一丢 ２把分式的分子进行适当变形后求解 有些竞赛题，虽然是分式的形式，但是， 分子和分母的指数不符合权方和不等式中分 子、分母的指数“相差１”这个条件，所以，需 要先进行变形，然后再用权方和不等式． 例５ （第ｌ１届“希望杯”赛试题）已知“ ＞６＞ｃ，且 十 ≥ ＿ ７ｌ，则 的最人值 是． ——解因为ｎ＞６＞ｃ，所以ｎ一６＞０，ｂ一 ＞０，ｎ—ｃ＞０．注意到“１”可以写为“１＂’，由权 ０ 第２９卷第２期 ２ｏ｝ 年争月一… 数学教学研究 一一 ３９ 方和不等式可得 １ ． １ １。 ｌ Ｉ ａ－一－ｂ十一ｂ一 十一ｂ－ｃ－ｃ ≥ （ｎ一６）＋（６一ｆ） ｎ— ‘ 由此口Ｊ知， 的最大值是４． 例６（第ｌ５届全俄中学生数学竞赛试 题）设ｎ，ｂ，ｃＥ Ｒ＋，且“十６＋ｃ≤３．则 ｌ——十 十Ｆ ＋ａ＋ ＋ ≥导．‘ 证明 ＋ ＋ 一 ＋ ｌ＋ｎ‘ｌ＋ｂ’１＋ｆ 、（１＋ｌ＋１） ／，３＋（“＋ｂ十ｃ） ≥ ＝导． 例７（１９９０年日本ＩＭＯ选拔赛试题） 已知 ， ， Ｅ Ｒ＋，且 Ｔ＋ ＋ ＝１，求证 ＋ ＋９￣３６． 证明 ＋ ＋旦一 ＋ ＋ ＼（１＋２＋３）。 ＿－＝ 一３６． 例８（１９９０年山东省临沂市高一数学 竞赛试题）设ａ，ｂ，ｃ均为正数，且口＋６＋ｃ— ｌ，则 ＋ ＋ 的取值范围是（ｎ Ｄ Ｃ ）． （Ａ）［５，＋∞） （Ｂ）（５；＋。。） （Ｃ）［９，＋∞） （Ｄ）（９，＋。。） 解 因为 丢＋丢＋÷一导＋ｎ Ｄ Ｃ 口 ０＋等 ｆ ＼（１十ｌ＋１）。 ■ ＝９， 且仅当 一｛一一口０ Ｃ １，即 一６一 一 时，。 上 式取等号。所以，上＋｛＋ 的取值范围是 ［９，＋∞），即选Ｃ． 例９ （第３６届ＩＭ０试题）设口，ｂ，ｃ∈ Ｒ＋，且ａｂｃ＝１．求证 。而１（６＋ｆ 十 而１） （ｆ＋口 ＋ ｌ）’ｆ。（Ⅱ＿＋６ ≥导．） ２。 证明 因为ｎ，ｂ，ｆ∈Ｒ＋，Ⅱ 一１，所以， 一＿ 上 口。（６＋ｃ）。ｂ。（ｆ＋口）‘Ｃ （ｎ＋６） （ａｂｃ） Ｉ（ａｂｃ）。ｌ（ａｂｃ） 一ａ。（６＋ｆ）‘ｂ （ｃ＋口）。Ｃ。（（ｆ＋６） （６ｃ）。 ， （ｎｃ） ．（ｎ６） ａ（６＋ｃ）。６（ｃ＋Ⅱ）。ｃ（ａ＋６） 、（ｂｃ＋“ｆ＋ａｂ）。 ／，Ⅱ（６＋ｆ）＋ｂ（ｃ＋ｎ）＋ｆ（ａ＋６） ｂｃ＋ａｃ＋ａｂ ：：——２ ≥告・３ 一旦 ２’ ３把分式的分子分母同时变形后求解 分式的分子和分母同时变形，往往是将 分子和分母同时乘以一个非零表达式，使之 变为符合权方和不等式的形式． 例１０ （第３１届ＩＭＯ预选题）设ｎ，ｂ， ｃ，ｄ是满足ｎ６＋６ｃ＋ｃ ＋ｄａ一１的非负数． 求证 丽ａ３ ＋ 而ｂ３ ＋ 干苦 ＋ ｄ。 ＼１ 丽 ’ 证明 Ｆａ ａ 十 Ｆｂ ａ 十 Ｆｃ丽ａ ＋ ｄ３ 一 ： 一＿ Ⅱ（６＋ｃ＋ｄ）‘ｂ（ａ＋ｃ＋ｄ） 十 Ｉ ｃ 而十 ｌ ｄ 而 ＼ （口。＋ｂ ＋ｃ。＋ｄ。）。 干瓦干 再 ＼（ｎ。＋ｂ。十ｃ 十ｄ。） ４０ 数学教攀研究 第２９卷第２期２０１０年２月 一百１（以。＋６。＋ｃ ＋ ） ≥告（ｎ６＋ 十ｃｄ＋ｄ“） ： ３‘ 例１１ （第３４届ＩＭＯ预选题）设ａ，ｂ， ｃ，ｄ都是ｉＦ＿实数，求证 ＋ ｃ＋ ２ｄ ３ａ＋ｄ ２ａ ３ｂ＋＋ ‘ ＋ ＋ ’ ａ ２ｂ＋ ＋３ｃ ≥ ／ ３．。 证明 由权全方和不等式有 ｎ 。 ｂ ｂ—＋２ｃ—＋３ｄ— ｃ—＋２ｄ—＋３ａ ＋ ＋ ｄ丽 一 ！ ｆ｝（ｂ＋２ｒ＋ ｄ、ｔ ｂ（ｒ＋２ｄ＋３ｆ｜、 Ｉ Ｃ ｌ ｄ ’ｃ（（，＋２“十３ｂ） ｄ（ａ＋２ｂ＋３ｃ） 、、＞ ±垒±！± ： ／，４（“『Ｊ十“ｃ＋Ⅱ 十 ＋６ ＋ｃｄ）。 根据均值不等式， （Ⅱ＋ｂ＋Ｃ十 ）。 一ｎ ＋ｂ。＋Ｃ ＋ｄ。 ＋２（ａｂ＋ａｃ＋ｎ ＋６ｃ＋６ ＋ｃｄ） ：号［（ｎ。＋６ ）＋（口。＋ｃ。）＋（ｎ。＋ ） ＋（６。＋ｃ。）十（６。＋ ）＋（ｆ。＋ ）］ ＋２（ａｂ＋ａｃ＋ａｄ十ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ） ≥ （≥亏（ｎ６＋“ｃ＋ｎｄ＋ｂ＋ｎ ｃｄ＋ｂｃ ＋６ ＋ｃ ｄ） ＋２（ａｂ＋“ｃ＋“ｄ＋６ｃ＋６ ＋ｃｄ） 一萼（ａ６＋“ｃ＋“ｄ＋ｂｃ＋６ ＋ｃ ）． 所以 Ⅱ ．ｂ ６＋２ｆ＋３ｃｆ。ｆ十２ ＋３“ Ｉ ｃ ｆ ｄ ‘ ＋２“＋３６。（ｃ＋２６＋３ （ａ ｂ＋ ａ ｃ＋ ａｄ＋ ｂｃ＋ ｂｄ ＋ ｃｄ） ≥百 干干一羔 ３。 例１２（１９９４年四川省高中数学联赛试 题）已知口，ｂ，Ｃ，ｄ是任意正实数，求证 ｂ ＋南ｄ＋ｄ＋ｆ’ｆ＋ 。 ＋＋“‘ ≥２ｎ＋６ “． 证明 由权方和不等式有 ｂ＋ｃ ｃ＋ｄ ｄ＋口’ｎ＋ｂ ＋ ＋ ＋— ｎ 。 ｂ０ ：＝一。十一 ｎ（６＋ｃ） ｂ（ｃ＋ ） ＋ 。ｃ（ｄ＋ｎ）’ｄ（ａ＋６）＋ 、 （Ⅱ＋６＋Ｃ＋ ）。 ￣ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＋２ａｃ十２ｂｄ‘ 要证明 ｎ６＋，Ｊｃ＋ｃ ＋ Ⅱ＋ ２ ａｃ ＋２６ｄ。／≥２ 成立，只要证明 （口＋６＋Ｃ＋ ）。 ≥２（ａｂ＋ｂｃ十ｃｄ＋ｄａ＋２ａｃ＋２ｂｄ） 成立即可．展开后整理可知，只要证明 ａ ＋ｂ。＋Ｃ 十ｄ ≥２ａｃ＋２ｂｄ 成立即可，而上式显然成立．所以，原不等式 成立． 例１３ （１９９２年独联体数学奥林匹克试 题）证明，对于任何实数ｎ＞１，６＞１，不等式 ＋ ≥８均成立． 证明 设ｎ一１一ｚ，ｂ—ｌ—Ｙ，则ｚ， ＞ ０，只要证明 ＋ ≥８ Ｙ ｚ 即可．由权方和不等式可得 ！兰± 一＿ ± Ｙ ’≥ 工 ｌ： ± ！± 兰± ± ｚ十Ｙ 一４＋［（卅Ｙ）＋ ］ 第２９卷第２期２０玲年２月 数学教，学研究 ４ｌ ≥４＋２√（ｚ＋ ）・ 一８． 所以，原不等式成立． ４把整式问题变为分式问题求解 因为整式可以看成分母为ｌ的分式，所 以，对于一些从形式上看是整式的问题，我们 也可以先把它化为分式，然后再利用权方和 不等式求解． 例１４（前苏联奥尔德荣尼基市第三届 数学竞赛试题）设ｎ，ｂ，ｆ∈Ｒ¨且ｎ＋６＋ｃ— ｌ，求证“ ＋６：＋ｆ。≥÷． 证明 ｎ ＋ｂ。＋ｆ。 ： 一－ １ 。 ｌ 。 ｌ ＼（“＋６＋ｃ）。 ］＿干＿『干丁＿ 一ｌ —ｉ’ ． 例１５（１９８７年中国奥林匹克集训队试 题）若ｎ，ｂ，ｃＥＲ＋，求证 ａ。＋ｂ。＋ｃ。≥ｎ。ｂｃ＋ａｂ。ｃ＋ａｂｃ。． 证明 日。＋ｂ。＋ｆ。 ｎ ｂ ｃ ｌ ｂ ｄ ｆ。１ ｃ ｎ。ｂ。 Ⅱｂ ｃ ’ ６ｎ０ｆ０ ‘ ｃ ０ｂ０ 、（（ｆ ＋ｂ。（ＡＣ＋ ａｂ）。 ｎｂ２ｆ。＋ｂ“ Ｃ２＋ｃ“ ｂ （ａｂｃ） （ｎ ＋ｂ。＋ｆ。）。 一■ 一 ＼（ａｂｃ）（口。＋ｂ ＋ｃ ） ／， ｎ ＋６。＋ｃ 一ｎ ６ｃ＋ｄ６。ｃ＋ａｂｃ ． ５把原命题化为等价命题后求解 对于有些竞赛题，我们需要先转化为与 其等价的命题，然后再利用权方和不等式求 解． ＋ 例１６ （１９８４年列宁格勒数学竞赛试 题）设ｎ，ｂ，ｃＥＲ＋，且Ⅱ＋６＋ｃ—ｌ，求证 ｄ３ｂ＋ｂ。ｃ＋一口≥ａｂｃ． 证明 把所要证明的不等式的两边同时 除以ａｂｅ，则原不等式化为与其等价的不等 式 ａ２ｂ２十ｃ＿２一十一Ｃ 口０ ≥１． 我们只要证明上面这个与原不等式等价 的不等式成立即可．而由权方和不等式可知 ２ａｂｚ十 ｃ２一十 ≥ Ｏ一１． Ｃ Ⅱ Ｄ “Ｔ卞Ｃ 所以，原不等式成立． 例１７ （１９８４年巴尔干地区数学竞赛试 题）已知ｎ１，ｎ２，…，“ ＞０，，ｌ≥２，且 ｌ＋ｎ２＋ …＋口，。一１，求证 ２－－ａ Ｌ＋ Ｚ－－ａ２＋．．。 ．＋ ’２一“ 。／≥ ２”一ｌ‘． 证明 一十 一＋…＋ 一 一“ｌ 一“２ 一““ ２一“ｌ一２ ２一“２—２ ： 一●●● ２一ａｌ ２一“２ 一 二 ２一“ 一一 ＋２（ ＋ ＋…＋ ） 一＋２（ ＋ ＋．．．＋ １ ２） ≥一 ・ ２ ．一一 十—２—ｎ－－１ 一 翌 ２ 一１’ 通过上面的讨论不难发现，运用权方和 不等式求解这些竞赛题，思路清晰，过程简 洁，确实收到了事半功倍的效果． （收稿日期：２００９一Ｉ卜２５）