一、单选题
1．已知点A（2，1），B（4，3），则向量的坐标为（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用向量坐标运算法则直接求解即可. 【详解】 ∵点
，
，
．
∴向量的坐标为故选：B． 【点睛】
本题考查平面向量的坐标的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知集合A．{0,1,2} B．【答案】A
【解析】先解出A，然后进行交集的运算即可． 【详解】 由题意故选：A． 【点睛】
本题考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 3．已知角的终边经过点
，则
=（ ）
；
．
， C．
，则集合
D．
=（ ）
A． B． C．【答案】D
D．
【解析】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以
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.故选D.
【考点】三角函数的概念.
4．若函数A．
与函数 B．
是相等函数，则函数 C．
的定义域是（ ） D．
【答案】B
【解析】由函数是相等函数可得，定义域相同，因此求出函数【详解】
定义域即可.
因为，所以，解且，
又因为函数是故选B 【点睛】
与函数.
是相等函数，所以定义域相同，所以函数的定义域
本题主要考查函数相等的概念，由函数相等可确定定义域相同，属于基础题型. 5．实数
时图像连续不断的函数，
，则函数
定义域中的三个数，且满足在区间
上的零点个数为（ ）
，
A．2 B．奇数 C．偶数 D．至少是2 【答案】D
【解析】由f(a)·f(b)＜0知，在区间(a，b)上至少有一个零点；由f(b)·f(c)＜0知，在区间(b，c)上至少有一个零点，故在区间(a，c)上至少有两个零点．选D 6．下列四类函数中，具有性质“对任意的的是（ ）
A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．一次函数 【答案】C
【解析】利用幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质求解． 【详解】
在A中，幂函数不满足性质“对任意的故A错误；
，函数
满足“
”，
，函数
满足“
”
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在B中，对数函数不满足性质“对任意的故B错误；
在C中，指数函数满足性质“对任意的故C正确；
在D中，一次函数不满足性质“对任意的故D错误． 故选：C． 【点睛】
，函数满足“”，
，函数满足“”，
，函数满足“”，
本题考查幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质的应用，是基础题，解题要要认真审题，熟练掌握幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质． 7．已知A．【答案】D
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 解：因为所以故选：D． 【点睛】
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，是基础题．
8．有下列四个命题：
①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量与是共线的向量，则点③若④若
，则=0，则
或或
； ；
必在同一条直线上；
．
，
，
，
， B．
， C．
，则
的大小关系为（ ） D．
其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D
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【解析】根据相反向量的定义可判断①；由共线向量性质，可判断②；由向量的模相等判断③；由向量数量积判断④. 【详解】
方向相反，模相等的两个向量是相反向量，故①正确；因为向量是自由移动的量，所以两向量共线，点不一定共线，故②错；向量有方向，因此模相等时，向量方向不确定，故③错；两向量垂直时，数量积也为0，所以④错. 故选D 【点睛】
本题主要考查平面向量，熟记向量的相关知识点即可，属于基础题型. 9．已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A． B．
C．【答案】B
D．
【解析】由函数的零点，以及奇偶性和单调性可判断出结果. 【详解】
由图像可知，该函数的零点为
，所以排除A；又函数关于原点对称，故排除C；
又时，由得，所以在上单调递增；
由得，当时，，即函数在上单调递减，故
D排除，选B. 【点睛】
本题主要考查由函数的图像确定函数解析式问题，灵活运用函数的性质，即可求解，属于基础题型.
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10．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数( )
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间【答案】B
上单调递增 D．在区间上单调递减
【解析】试题分析：将函数向右平移，可得,要使函
数单调递增则,即函数的单调增区间为：
,故B正确。
【考点】三角函数平移，单调区间求解
11．已知函数A．
B．
C．
是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） D．
【答案】B 【解析】由函数
是上的减函数，可得
在
上单调递减，且
，求解即可.
【详解】
因为函数所以
在
是上的减函数， 上单调递减且
，
即故选B 【点睛】
，解得.
本题主要考查根据函数恒减求参数的问题，只需注意每段都单调递减，并主要结点位置
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的取值即可，属于常考题型.
12．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若fx{1,xQ则称fx ，
0,xCRQ为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数fx，给出下面4个命题：①对任意xR，都有ffx1；②对任意xR，都有fxfx0；③对任意x1R，都有x2Q，
fx1x2fx1；④对任意a,b,0，都有
xfxaxfxb．其中所有真命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D
【解析】①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当x为无理数时，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，②当x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=1，f（x）=1，此时f（-x）=f（x），当x为无理数时，则-x是无理数，则f（-x）=0，f（x）=0，此时f（-x）=f（x），即恒有f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，③当x1是无理数时， x1x2是无理数，所以fxf1x，当1x2x1是有理数时， x1x2是有理数，所以
fx1x2，故③正确，④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），f1x都有{x|（fx）＞a}{x|（fx）＞b}R ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D.
二、填空题 13．
的值为______．
【答案】
【解析】由三角函数的诱导公式，和特殊角所对应的三角函数值，即可得出结果. 【详解】
因为.
故答案为
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【点睛】
本题主要考查诱导公式，熟记公式即可，属于基础题型.
14．计算：【答案】5
______．
【解析】原式=,故填5.
（毫克/毫升）随时间（小时）变化
15．某驾驶员喝了升酒后，血液中的酒精含量
的规律近似满足表达式
罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过小时后才能开车．（精确到1小时） 【答案】4
【解析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过
，求出的值即可.
【详解】 当
时，由
得
《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处
毫克/毫升．此驾驶员至少要过______
毫克/毫升时，才能开车，因此只需由
，解得，舍去；
当为
时，由得，即，解得，因
，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为4 【点睛】
本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型.
16．在【答案】
中，，，则的最小值是______．
【解析】由向量模的运算，先计算【详解】
，再由配方法即可求出结果.
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因为所以
，，所以，
，当且仅当故答案为【点睛】
时，取等号.
本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型.
三、解答题
17．已知（1）求
． 的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
的值；
【解析】（1）把已知等式两边平方即可求得（2）求出【详解】
的值，结合角的范围开方得答案．
解：（1），
，即，
；
（2），
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又，，，
则【点睛】
．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
18．已知（1）作出函数（2）若函数
的图象，并写出单调区间；
有两个零点，求实数的取值范围
【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据函数
的表达式，作出函数的图象即可；
（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可． 【详解】 解：（1）画出函数
的图象，如图示：
，
由图象得：（2）若函数则
和
在，有两个零点，
单调递增；
有2个交点，
．
结合图象得：【点睛】
本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题．
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19．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．
（1）用表示向量；
共线，求的值．
（2）若向量与
【答案】（1）,；（2）
【解析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；
（2）先由(1)得方程组求解即可. 【详解】
，再由与共线，设，列出
解：（1）可得
为BC的中点，
，
，
而
（2）由（1）得
与
共线，设
，
即，
根据平面向量基本定理，得
解之得，【点睛】
．
本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题
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型.
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（1）求f（x）的解析式；
．
（2）当，求f（x）的值域．
【答案】（1） （2）[-1，2]
【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为
,得,周期，则，又函数图象过，代入得
，故，又，从而确定，得到
，再求其单调增区间．
(2)分析，结合正弦函数图象，可知当,即时,取得最大
值；当,即时,取得最小值,故的值域为．
试题解析：（1）依题意,由最低点为,得,又周期,∴．
由点在图象上,得,
∴，,．
∵，∴,∴．
由,，得．
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∴函数的单调增区间是．
(2),∴．
当,即时,取得最大值；
当,即时,取得最小值,故的值域为．
点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．
21．已知函数（1）求函数
是定义在
的解析式
在
上的奇函数，且
（2）用定义证明上的增函数
．
（3）解关于实数的不等式
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】（1）由函数是定义在上的奇函数，可得可求出，再
由（2）设
可求出，进而可得出结果；
，作差比较
与
的大小即可；
化为
，由函数的单
（3）先由函数是奇函数，将不等式调性，列出不等式组即可求解. 【详解】
（1）解：函数是定义在上的奇函数．
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所以：得到：
由于且
所以：，解得：
所以：（2）证明：设
则：由于：所以：即：
所以：即：所以
在
，
上的增函数．
（3）由于函数是奇函数， 所以所以
， ，转化成
.
则：
解得：
所以不等式的解集为：【点睛】
本题主要考查函数的基本性质的应用，熟记函数的单调性奇偶性等，即可求解，属于基
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础题型.
22．已知函数（1）求证：
（2）若函数的图象与直线没有交点，求实数的取值范围；
（3）若函数，则是否存在实数，使得的最小
值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据
；（3）
，结合对数运算法则整理即可；
（2）函数进而转为函数（3）先将【详解】
的图象与直线没有交点，可转化为方程
的图象与直线y=a无交点，即可求出结果；
无解，
化简整理，再由换元法处理即可.
（1）证明：；
（2）若函数的图象与直线没有交点，
则方程无解，即方程无解．
令则
在上是单调减函数，又
的图象与直线y=a无交点
， ，所以
，
因为函数
；
（3）由题意函数
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，
令，则，， 函数的图象开口向上，对称轴为直线，
故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，
当去），
，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍
当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），
综上所述，存在【点睛】
满足条件．
本题主要考查对数的运算法则，以及函数零点的应用，根据函数无交点，转化为方程无实根的问题来求解即可，属于常考题型.
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