数学试卷
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知点A（2，1），B（4，3），则向量的坐标为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量坐标运算法则直接求解即可. 【详解】∵点∴向量的坐标为故选：B．
【点睛】本题考查平面向量的坐标的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知集合A. {0,1,2}
【答案】A
，B.
，则集合
=（ ）
C.
D.
，
， ．
- 1 -
【解析】 【分析】
先解出A，然后进行交集的运算即可． 【详解】由题意故选：A．
【点睛】本题考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 3.已知角的终边经过点A. 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以考点：三角函数的概念. 4.若函数A.
与函数
B.
是相等函数，则函数
C.
的定义域是（ ）
D.
.故选D.
，则B.
=（ ）
C.
D.
；
．
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数是相等函数可得，定义域相同，因此求出函数【详解】因为又因为函数
与函数.
故选B
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，由函数相等可确定定义域相同，属于基础题型. 5.实数
时图像连续不断的函数，
A. 2
定义域即可. ，
的定义域是
，所以，解且
是相等函数，所以定义域相同，所以函数
定义域中的三个数，且满足在区间
，
，则函数B. 奇数
上的零点个数为（ ） C. 偶数
D. 至少是2
- 2 -
【答案】D 【解析】
由f(a)·f(b)＜0知，在区间(a，b)上至少有一个零点；由f(b)·f(c)＜0知，在区间(b，
c)上至少有一个零点，故在区间(a，c)上至少有两个零点．选D
6.下列四类函数中，具有性质“对任意的的是（ ） A. 幂函数 【答案】C 【解析】 【分析】
利用幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质求解． 【详解】在A中，幂函数不满足性质“对任意的“
”，故A错误；
，函数
满足“
”，
，函数
满足
B. 对数函数
C. 指数函数
D. 一次函数
，函数
满足“
”
在B中，对数函数不满足性质“对任意的故B错误；
在C中，指数函数满足性质“对任意的故C正确；
在D中，一次函数不满足性质“对任意的故D错误． 故选：C．
，函数满足“”，
，函数满足“”，
【点睛】本题考查幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质的应用，是基础题，解题要要认真审题，熟练掌握幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质． 7.已知A. 【答案】D 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】解：因为所以
，
，B.
，则
的大小关系为（ ）
C.
D.
， ，，
．
- 3 -
故选：D．
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，是基础题．
8.有下列四个命题：
①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量与是共线的向量，则点③若④若
，则=0，则
或或
；
；
必在同一条直线上；
其中正确结论的个数是（ ） A. 4 【答案】D 【解析】 【分析】
根据相反向量的定义可判断①；由共线向量性质，可判断②；由向量的模相等判断③；由向量数量积判断④.
【详解】方向相反，模相等的两个向量是相反向量，故①正确；因为向量是自由移动的量，所以两向量共线，点不一定共线，故②错；向量有方向，因此模相等时，向量方向不确定，故③错；两向量垂直时，数量积也为0，所以④错. 故选D
【点睛】本题主要考查平面向量，熟记向量的相关知识点即可，属于基础题型. 9.已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
B. 3
C. 2
D. 1
A. C.
B. D.
- 4 -
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的零点，以及奇偶性和单调性可判断出结果. 【详解】由图像可知，该函数的零点为又由
时，由
得
得，当
时，
，所以排除A；又函数关于原点对称，故排除C； ，所以
，即函数
在
上单调递增； 在
上单调递减，
故D排除，选B.
【点睛】本题主要考查由函数的图像确定函数解析式问题，灵活运用函数的性质，即可求解，属于基础题型. 10.将函数A. 在区间C. 在区间【答案】B 【解析】 试题分析：将函数
向右平移，可得,即函数的单调增区间为：
确。
考点：三角函数平移，单调区间求解 11.已知函数A.
B.
是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
C.
D.
,要使函数单调递增则
,故B正
的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数( )
上单调递增 上单调递增
B. 在区间D. 在区间
上单调递减 上单调递减
【答案】B 【解析】 【分析】 由函数解即可.
是上的减函数，可得
在
上单调递减，且
，求
- 5 -
【详解】因为函数所以即故选B
，解得
在
.
是上的减函数，
上单调递减且
，
【点睛】本题主要考查根据函数恒减求参数的问题，只需注意每段都单调递减，并主要结点位置的取值即可，属于常考题型.
12.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若函数．对于狄利克雷函数意
，都有
，都有
A. ①④ 【答案】D 【解析】
①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当x为无理数时，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，②当x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=1，f（x）=1，此时f（-x）=f（x），当x为无理数时，则-x是无理数，则f（-x）=0，f（x）=0，此时f（-x）=f（x），即恒有f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，③当是无理数时，是有理数，所以0），都有
是无理数，所以
，当是有理数时，
B. ②③
，给出下面4个命题：①对任意；③对任意
，都有
，
，则称，都有
为狄利克雷；②对任；④对任意
．其中所有真命题的序号是（ ）
C. ①②③
D. ①③④
，故③正确，④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，
，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.【答案】【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，和特殊角所对应的三角函数值，即可得出结果.
的值为______．
- 6 -
【详解】因为故答案为
.
【点睛】本题主要考查诱导公式，熟记公式即可，属于基础题型.
14.计算：【答案】5 【解析】 原式=
,故填5.
（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规______．
15.某驾驶员喝了升酒后，血液中的酒精含量律近似满足表达式
驾驶员血液中酒精含量不得超过车．（精确到1小时） 【答案】4 【解析】 【分析】
此驾驶员血液中酒精含量不得超过的值即可. 【详解】当去； 当为
故答案为4
时，由
得
，即
时，由
得
《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开
毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出
，解得，舍
，解得，因
，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型. 16.在【答案】【解析】 【分析】
中，
，，则的最小值是______．
- 7 -
由向量模的运算，先计算【详解】因为所以
，
，再由配方法即可求出结果.
，所以
，
，当且仅当故答案为
时，取等号.
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知（1）求（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）把已知等式两边平方即可求得（2）求出【详解】解：（1）
，即；
（2）又则
，
，
， ．
， 的值；
．
的值； ，求；（2）
的值．
的值，结合角的范围开方得答案．
，
，
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
- 8 -
18.已知（1）作出函数（2）若函数
的图象，并写出单调区间；
有两个零点，求实数的取值范围
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）根据函数
的表达式，作出函数的图象即可；
（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可． 【详解】解：（1）画出函数
的图象，如图示：
，
由图象得：（2）若函数则
和
在，有两个零点，
单调递增；
有2个交点，
．
结合图象得：
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题． 19.已知
中，点在线段
上，且
，延长
到，使
．设
．
（1）用表示向量；
共线，求的值．
- 9 -
（2）若向量与
【答案】（1）【解析】 【分析】
,；（2）
（1）由向量的线性运算，即可得出结果； （2）先由(1)得方程组求解即可. 【详解】解：（1）可得而
（2）由（1）得
与即
共线，设
，
为BC的中点，，
，
，
，再由与
共线，设
，列出
根据平面向量基本定理，得
解之得，．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.
20.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中
点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（1）求f（x）的解析式； （2）当【答案】（1）【解析】
试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为
,得
，求f（x）的值域．
（2）[-1，2]
）的图象与x轴的交．
- 10 -
,周期，则
，又
，又函数图象过
，从而确定
，代入得，得到
，故
，再求其单调
增区间． (2)分析当
,即
，结合正弦函数图象，可知当时,
取得最小值
,故,得,
,
．
,
的单调增区间是
,∴,即,即
时,时,
． 取得最大值； 取得最小值
,故
的值域为
．
，得
．
．
． 的值域为,又周期
,即
． ,∴
． 时,
取得最大值；
试题解析：（1）依题意,由最低点为由点∴∵由∴函数(2)当当
，∴
在图象上,得
，,∴
点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．
21.已知函数（1）求函数
是定义在
的解析式
在
上的增函数
．
上的奇函数，且
（2）用定义证明
（3）解关于实数的不等式
- 11 -
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由函数
；（2）见解析；（3）
是定义在上的奇函数，可得可求出，再由可
求出，进而可得出结果； （2）设
，作差比较
与
的大小即可；
化为
，由函数的
（3）先由函数是奇函数，将不等式单调性，列出不等式组即可求解. 【详解】（1）解：函数所以：由于且
得到：
是定义在
上的奇函数．
所以：，解得：
所以：（2）证明：设则：由于：所以：即：所以：即：所以
在
，
上的增函数．
（3）由于函数是奇函数， 所以所以
， ，转化成
.
- 12 -
则：解得：
所以不等式的解集为：
【点睛】本题主要考查函数的基本性质的应用，熟记函数的单调性奇偶性等，即可求解，属于基础题型. 22.已知函数（1）求证：（2）若函数（3）若函数
的图象与直线
没有交点，求实数的取值范围；
，则是否存在实数，使得
的最小值为
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）根据（2）函数进而转为函数（3）先将
，结合对数运算法则整理即可； 的图象与直线
没有交点，可转化为方程
的图象与直线y=a无交点，即可求出结果；
化简整理，再由换元法处理即可.
；
没有交点，
无解．
，
在上是单调减函数，又
的图象与直线y=a无交点
，所以
，
无解，
；（3）
【详解】（1）证明：（2）若函数则方程令则
的图象与直线
无解，即方程
因为函数
；
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（3）由题意函数令函数故当当当
，即，即，即
时，当
，则
，
，
， ，
，解得：
，解得：
，解得：
，
（舍去）， （舍去），
的图象开口向上，对称轴为直线
时，当
时，函数取最小值
时，当时，函数取最小值
时，函数取最小值
综上所述，存在满足条件．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数零点的应用，根据函数无交点，转化为方程无实根的问题来求解即可，属于常考题型.
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