高中函数最值问题的常见求解方法

最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．为帮助同学们探索这类型问题的解题规律，指导高考复习，本文将这类问题作一个简单归纳．

一、 配方法

例１：当1x0时，求函数y2解析：y3(2)xx234x的最大值和最小值．

23241x，当1x0时，21．显然由二次函数的性质可得ymin1，32ymax4． 3二、判别式法

对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．

例２：已知y4xy4x2x10，求y的最值．

解析：由已知，变形得4x2(2y1)x(y1)0，xR，则0，即有

22224(2y1)216(y21)0 故 y

因此 ymax5． 4

5，无最小值． 422例3：若x、yR且满足：xy2xyxy0，则xmax= ymin= 解析：由已知，变形得：y(2x1)y(xx)0，yR，则0，即有

22(2x1)24(x2x)0，于是8x10，即 x2211．即 xmax． 88同理，x(2y1)x(yy)0，xR，则0，即有

11(2y1)24(y2y)0，于是8y10，即 y．即 ymin．

88注意：关于x、y的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 5x243x1例4：已知函数y，求y的最值．

x212解析：函数式变形为：(y5)x43y(y1)0，xR，由已知得y50，

(43)24(y5)(y1)0，即：y26y70，即：1y7．

因此 ymax7，ymin1．

例5：已知函数y解析： yaxb(xR)的值域为[1,4]，求常数a,b 2x1axbyx2yaxbyx2axyb0 2x1222∵xR ∴(a)4y(yb)0，即4y4bya0

由题意：y[1,4](y1)(y4)0y3y404y12y160 所以4b12，a16，即b3，a4

注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x的二次函数F(x,y)0，通过方程有

222a1x2b1xc1实根，判别式0，从而求得原函数的值域或参数的值.形如y(a1、a2不同时为0)，2a2xb2xc2常用此法求得

例6：在0x2条件下，求ysinx(1sinx)的最大值．

(1sinx)2t(1t) 2(1t)解析：设tsinx，因x(0，

2)，故 0t1，则y即 (1y)t(2y1)ty0

因为 0t1，故y10，于是(2y1)4y(y1)0 即 y将y

221 8111代入方程得 t[0，1]，所以ymax 8382注意：因0仅为方程(1y)t(2y1)ty0有实根t[0，1]的必要条件，因此，必须将

y

1

代入方程中检验，看等号是否可取． 8

三、代换法 (一)局部换元法 例7：求函数yx2px42的最值．

解析：令tx4，则t2，函数y2x2px24tp4 t当p8时，ytp42p4，当ttp4时取等号

p4p4)(t2)＝(t1t2) t1t2当p8时，令2t1t2，则y1y2(t1

p4p4)，因为 2t1t2，p8，即有 (t2t1)＝(t1t2)(1t1t2t1t2y1y2(t1t2)(1故 y2p4p4)0，所以yt在[2，)内递增． t1t2tp4p 22所以 当p8时，ymin2p4，无最大值； 当p8时，yminp，无最大值． 2例8：求函数yx12x的最值．

解析：设t12x (t0)，则由原式得y号．故ymax1，无最小值．

例9：已知0a1(t1)211当且仅当t1 即x0时取等22,求函数y(sinxa)(cosxa)的最值．

2解析：ysinxcosxa(sinxcosx)a 令sinxcosxt

t21122则 2t2且sinxcosx，于是y[(ta)a1]

22112；当ta时，ymin(a1)． 22注意：若函数含有sinxcosx和sinxcosx，可考虑用换元法解．

当t2时，ymaxa22a(二)三角代换法(有时也称参数方程法)

22例10：已知x、yR，1xy4．求uxxyy的最值．

22解析：设xtcos，ytsin，(t为参数)

2因 1xy4，故 1t4

221ut2(cos2cossinsin2)t2(1sin2)

222故当t4且sin21时，umax6；当t1且sin21时，umax1． 21Smin=____

例11：实数x、y适合：4x5xy4y5，设Sxy，则

22221Smax+

解析：令xScos，ySsin，则

4S5Scossin5

S545sincos5当sin21时，ymax54sin22510510；当sin21时，ymin．

551334422

所以

1Smax1Smin3138． 1010522例12：求函数y(ax)x (|x|a)的最值．

2232解析：令xacos，则yasinacosasincos

又令tsincos，则tsincos224212sinsin22cos2 21sin2sin22cos234) (

23272323233233taya 即有 9999233233a，ymina 99所以ymax注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等” 例13：已知x、yR且3x2y6x，求xy的最值．

22x1cos2y22解析：化3x2y6x为(x1)2 61，得参数方程为ysin322xy1cos610sin1sin() 221010，(xy)min1． 22故 (xy)max1(三)均值换元法

例14：已知ab1，求证：ab的最小值为

441． 8解析：由于本题中a、b的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可以令

a11t，bt，(tR)，则 221111a4b4(a2b2)22a2b2[(t)2(t)2]22(t)2(t)2

2222112222 (2t)2(t)

24

112244481124 3t2t

881144∴ab的最小值为．在t0即ab时取等号

82 (2t4t)(t2t) 四、三角函数有界法

对于xR，总有|sinx|1，|cosx|1 例15：求函数ysin2x2cosx的最值． 解析：ysin2x2cosxsin2xcos2x1因为 |sin(2x当sin(2x222sin(2x)1

44)|1，故

)1时，ymax21；当sin(2x)1时，ymin21． 44五、均值不等式法

例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．

解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，面积为S，三角形内一点P到三边的距离分别为x、y、z

axbycz2S(定值) axbycz(8S3即 xyz (axbycz时取等号)

27abcaxbycz3)

3因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB、PBC、PAC面积相等)，它到三边之积为最大． 例17：有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为x cm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

解析：依题意，矩形盒子底边长为(302x) cm，底边宽为(142x) cm，高为x cm．

盒子容积V＝(302x)(142x)x4x(15x)(7x)x (显然：15x0、7x0、x0)

设V4(15aax)(7bbx)x (a0，b0) 要用均值不等式．则 abab1013 解得：a，b，x3．从而 4415aax7bbxxV6415x213x()()x576 344443故矩形盒子的最大容积为576 cm． 也可：令V44(15aax)(7x)bx或V(15x)(7aax)bx abab注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆

项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求．

例18：已知sinsinsin1(、、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于__________

解析：因、、均为锐角，所以coscoscos222cos2cos2cos2

cos2cos2cos231sin21sin21sin2326 ()()339当且仅当sin2sin2sin2时取等号，故coscoscos的最大值为

1326． 9aba的最小值(、)． Rb22sinxcosxab2222解析： yaacotxbbtanxab2abtanxcotx 22sinxsinx例19：求函数y ab2ab

22当且仅当actgxbtgx 即 tgx2a时，函数y取得最小值ab2ab b六、单调性法

(一)利用若干次“”(或“”)求函数的最值 例20：求函数y11在(0，)内的最小值． sinxcosx2解析：y当x11sinxcosx22222 sinxcosxsinxcosxsinxcosxsin2x4时，sinxcosx，sin2x1．上式中的两个 “”中的等号同时成立，所以y22是

“精确的”不等式．因而 ymin22

另：此题还可用换元tsinxcosx以及函数单调性来判断 (二)形如yxb的函数的最值 ax(1) a0，b0时，函数在(，ab］内递增，在[ab，0)内递减， 在(0，ab］内递减，在[ab，)内递增． (2) a0，b0时，函数在(，ab］内递减，在[ab，0)内递增， 在(0，ab］内递增，在[ab，)内递减． (3) a0，b0时，函数在(，0)内递减，在(0，)内递减． (4) a0，b0时，函数在(，0)内递增，在(0，)内递增．

1的最值． 2216sinxcosx11222解析：函数y4sinxcosx sin2x16sin2xcos2x4sin22x1112令tsin2x，则t[0，1]，于是 yt4在(0，]内递减，在[，1]内递增．

t221122所以当t，即sinxcosx时，ymin1；无最大值．

82例21：求函数y4sinxcosx222sinxcos2x例22：求函数y的最大值．

1sinxsin2x2sinx1(sinx1)222(sinx1)() 解析：ysinx1sinx1sinx1令sinx1t，则0t2，函数yt2在(0，)内递增．所以在(0，2]内也是递增的．当tt2，即sinx1时，ymax1．

七、平方开方法

例23：已知a、b是不相等的正数，求函数y acos2xbsin2xasin2xbcos2x的最值．

解析：因a、b是不相等的正数，cosx与sinx不能同时为０，故y0．

(ab)2yab2sin22xab

42当sin2x1时，y222max2(ab)，ymax2(ab) ab2ab，yminab

当sin2x0时，y2min八、数形结合法

有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．

例24：求函数y4sinx1的最值．

3cosx6114(sinx)sinx4，只需求函数u4的最值． 解析：将函数式变形为y3(cosx2)cosx2把u看成两点A(2，)，B(cosx，sinx)连线的斜率，(B即为单位圆上的点)， 则当直线AB为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小． 设过A点的单位圆的切线方程为y1411k(x2)，即 kxy2k0． 44

12k|351，解得：k1，k2．从而函数 则圆心到切线的距离为44121k2|最大值为ymax434551；最小值为ymin()． 34312912，求当x、y为何值时，ulog1(8xy4y1)取得最大值

32九、利用二次函数的性质 例25：设x0，y0且x2y和最小值，并求出最大值和最小值．

解析：由x2y11，得x2y 221ulog1[8(2y)y4y21]log1(12y24y1)

3321142由x0，y0且x2y可得0y，从而112y4y1(当y0时左边取

2341“=”号，y时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即

61141

当x、y时，uminlog1()；当x、y0时，umax0．

33662

例26：求函数y3cosx2cos2x的最值．

解析：y31cos2x3cosx12(cosx)2

48要使y有意义，必须有cos2x3cosx10，即

1cosx1． 2故 当cosx1231时，ymax ；当cosx(或1)时，ymin0. 8442例27：求函数y24msinxcos2x的最值．

解析：y24msinx(12sinx)2(sinxm)12m 因为|sinx|1，结合二次函数图象及其性质：

当m(，1]时，ymax34m，ymin34m．

2当m[1，0]时，ymax34m，ymin12m． 2当m[0，1]时，ymax34m，ymin12m．

222当m[1，)时，ymax34m，ymin34m． 十、放缩法

例28：若a、b、cR，且abc3，则a1b1c1的最大值是（ ）

(a1)2a3 22b3c3同理，b12，c12．

22解析：a12三式相加，a12b12c12即

a3b3c36 222a1b1c132

b1c12 即abc1时取等号．

当且仅当a1十一、导数法

例29：求函数f(x)xxx3在[3,3]上的最值 解析：f(x)3x2x1(3x1)(x1)0，得x/2321或x1 3122f()2，f(1)4，f(3)12，f(3)36 327所以函数最大值为36，最小值为12

注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视．

例30：求函数f(x)2x16x的最值 解析：函数的定义域为[1,6],f(x)/1x1126x

f/(x)01x5；f/(x)05x6，又f(x)是[1,6]上的连续函数

故有f(x)在[1,5]上递增，在[5,6]上递减．f(1)故函数最大值为5，最小值为5

当然，解最值问题的方法远远不止这些，例如，还有复合函数法，反函数法等等，这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳．就是一道题目里面，有时也是几种方法并用，如例7就用到了换元法和单调性法，例12就用到了三角换元法和重要不等式法，例17用导数法甚至更为简单．解函数的最值问题，关键还在具体问题，具体分析，具体处理．

5，f(5)5，f(6)25