数学归纳法 知识点+例题 全面分类

 教学内容 知识模块1数学归纳法 1．定义：一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理. 2．数学归纳法公理步骤： 如果 （1）当n取第一个值n0（例如n01，2等）时结论成立； （2）假设当nk(kN*，且kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确； 那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 精典例题透析 [例1] 用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)212(2n1)(nN)时，从“k”到“k1”的证明，左边需增添的代数式是____________.2(2k1) n 1aaa[巩固1] 用数学归纳法证明等式：2n11an2(a1，nN*)，验证n1时，等式左边=_______. 1a1aa2 n(2n21)[巩固2] 用数学归纳法证明12(n1)n(n1)21时，由nk的假设到32222222证明nk1时，等式左边应添加的式子是_________________.(k1)k [例2] 用数学归纳法证明234n [巩固] 用数学归纳法证明“2n1对于nn0的自然数都成立”时，第一步中的值n0应取________. 5 [例3] 若f(n)1n222(n1)(n2)时，第一步取n____. 2 2111(nN*)，则对于kN*，f(k1)f(k)_________________. 233n1 8

111 3k3k13k2 [巩固] 已知f(n)1111nk1kn用数学归纳法证明f(2)时，f(2)f(2)__________. L(nN*)，23n2111 kkk121222 [例4] 已知数列{an}的前n项和Sn1nan(nN*) （1）计算：a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论. [巩固] 用数学归纳法证明等式：1234(2n1)(2n)n(2n1)(nN*). 222222 8

[例5] 用数学归纳法证明不等式：111121(nN*且n1). nn1n2n [巩固] 若f(n)112131n，nN，当n3时，证明：f(n)n1. 知识模块2经典题型 题型1：证明等式 8

11111111[例] 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 2342n2n－12nn＋1n＋211证明：① 当n＝1时，等式左边＝1－＝＝右边，等式成立． 2211111111② 假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 2342k2k－12kk＋1k＋21111111111111那么，当n＝k＋1时，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝2342k2k＋12k＋2k＋22k－12k2k＋12k＋2k＋1k＋2111＋＋…＋＋，上式表明当n＝k＋1时，等式也成立． k＋32k＋12k＋2由①②知，等式对任何n∈N均成立． [巩固] 用数学归纳法证明：321422523(n2)2n4n4(nN*). n2题型2：证明不等式 [例] 设n∈N*，f(n)＝1＋111＋＋…＋，试比较f(n)与n＋1的大小． 23n 解：当n＝1，2时f(n)n＋1. 下面用数学归纳法证明： ① ① 当n＝3时，显然成立； ② 假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)>k＋1， k＋2k＋21那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)>k＋1＋＝>＝k＋2，即n＝k＋1时，不等式也成立． k＋1k＋1k＋2由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立． [巩固] 用数学归纳法证明：111111(nN，n1) n1n2n3nn24 题型3：证明整除 [例] 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被36整除． 证明：① 当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除． ② 假设n＝k时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k 8

＋－1 －1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k1－1是偶数，所以18(3k1－1)能被36整除．所以n＝k＋1时，f(n)能被36整除． 由①②知，对任何n∈N，f(n)能被36整除． ＋－[巩固] 用数学归纳法证明an1＋(a＋1)2n1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)． 证明：① 当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除． ②假设n＝k(k∈N*)时，ak1＋(a＋1)2k＋＋＋＋－1－－能被a2＋a＋1整除， －＋－－＋1则当n＝k＋1时，ak2＋(a＋1)2k1＝a·ak1＋(a＋1)2(a＋1)2k1＝a·ak1＋a·(a＋1)2k1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k1＝a[ak＋(a＋1)2k1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k1，由假设可知a[ak1＋(a＋1)2k1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k＋a＋1整除，∴ ak2＋(a＋1)2k1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立， ∴ 对任意n∈N*原命题成立． 题型4：归纳、猜想与证明 [例] 已知数列{an}满足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N*)． （1）求a2，a3，a4的值； （2）由(1) 猜想{an}的通项公式，并给出证明． 9－2an171319解：(1) 由4an＋1－anan＋1＋2an＝9，得an＋1＝＝2－，求得a2＝，a3＝，a4＝. 3574－anan－46n－5(2) 猜想an＝. 2n－1证明：①当n＝1时，猜想成立． 6k－5②设当n＝k时(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝， 2k－16k＋16（k＋1）－511则当n＝k＋1时，有ak＋1＝2－＝2－＝＝，所以当n＝k＋1时猜想也成立． ak－46k－52k＋12（k＋1）－1－42k－1综合①②，猜想对任何n∈N*都成立． 111 [巩固] 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，g(n)＝2(n＋1－1)(n∈N*)． 23n（1）当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)； （2）由（1）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论． 解：(1) 当n＝1时，f(1)>g(1)； 当n＝2时，f(2)>g(2)； 当n＝3时，f(3)>g(3)． (2) 猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即1＋下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)>g(1)． 111②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋＋＋…＋>2(k＋1－1)． 23k111111则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋>2(k＋1－1)＋＝2k＋1＋－2， 23kk＋1k＋1k＋1而g(k＋1)＝2(k＋2－1)＝2k＋2－2， 1下面转化为证明：2k＋1＋>2k＋2. k＋1只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2（k＋2）（k＋1）， 8

＋＋－－＋－－1也能被a2111＋＋…＋>2(n＋1－1)(n∈N*)． 23n 需证：(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)， 即证：4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式显然成立． 所以，当n＝k＋1时猜想也成立． 综上可知：对n∈N*，猜想都成立， 111即1＋＋＋…＋>2(n＋1－1)(n∈N*)成立． 23n 夯实基础训练 11．用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)”，当n＝k＋1时，应在n＝k时的等式左边添加的6项是________． 答案：(k＋1)2 解析：[12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2]－(12＋22＋…＋k2)＝(k＋1)2. 111132．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式 n＋1n＋2n＋n24子是________． 111解析 不等式的左边增加的式子是＋－＝2k＋12k＋2k＋1答案 12k＋12k＋2 12k＋12k＋2，故填12k＋12k＋2. n(n＋1)1222n23．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设1×33×5(2n－1)(2n＋1)2(2n＋1)后需要证明的等式是 . 解析 当n＝k＋1时， (k＋1)21222k2＋＋…＋＋ 1×33×5(2k－1)(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)k(k＋1)(k＋1)2＝＋ 2(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)k(k＋1)(k＋1)2故只需证明＋ 2(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)(k＋1)(k＋2)＝即可. 2(2k＋3)k(k＋1)(k＋1)2(k＋1)(k＋2)答案 ＋＝ 2(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)2(2k＋3)4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第 60个数对是________． 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一个整数n所拥有数对为(n－1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴n－1n＝60， 2∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 8

12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案 (5,7) 15．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________． 311解析 当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝； 515当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3， 11即a3＝(a1＋a2)＝； 1435当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4， 11即a4＝(a1＋a2＋a3)＝. 27631111111∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝， 31×3153×5355×77×9故猜想an＝答案 an＝ 11116．用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋2＞1(n∈N*且n＞1)． nn＋1n＋2n11113证明：①当n＝2时，左边＝＋＋＝＞1， 23412∴n＝2时不等式成立； ②假设当n＝k(k≥2)时不等式成立， 1111即＋＋＋…＋2＞1， kk＋1k＋2k那么当n＝k＋1时， 1111左边＝＋…＋2＋k2＋1＋…＋（k＋1）2 kk＋1111111＝＋＋…＋2＋k2＋1＋…＋（k＋1）2－ kk＋1kkk2＋k－111＞1＋(2k＋1)·2－＝1＋＞1. k＋1kk（k2＋1）综上，对于任意n∈N*，n>1不等式均成立，原命题得证． 111n7．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 23n2111252证明 (1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立； 234122111k(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋， 232211111k111k2kk则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1>1＋＋k＋k＋…＋k＋1>1＋＋k＝1＋＋2322＋122＋12＋222＋2k22212n－112n－12n＋12n＋1 . 8

k＋11＝1＋， 22故当n＝k＋1时，命题成立． n由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立． 28．已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn (n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan. （1）若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值； （2）求证：T12n＝－4n(n∈N*)． (1)解 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. ∵48＋4r＝64，∴r＝4. (2)证明 用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n. ①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立． ②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时， T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立． 根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n. 2－2na＋2，n＝1,2,3，… 9．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝ann（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)； （2）记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明． 解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1. n(2)Sn＝3＋2n＋1＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6. 2下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n. ①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立； ②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立； 由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*) 都有2n>n2＋2n成立．

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