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大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

2024-01-20 来源:爱站旅游
导读大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)


大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).

(A)f(0)2 (B)f(0)1(C)f(0)0 (D)f(x)不可导.

2. 设(x)1x1x,(x)333x,则当x1时(  ).

(A)(x)与(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B)(x)与(x)是等价无穷小;

(C)(x)是比(x)高阶的无穷小; (D)(x)是比(x)高阶的

无穷小.

3. 若

F(x)x0(2tx)f(t)dt,其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0,则( ).

(A)函数F(x)必在x0处取得极大值; (B)函数F(x)必在x0处取得极小值;

(C)函数F(x)在x0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点; (D)函数F(x)在x0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

设f(x)是连续函数,且 f(x)x214.

0f(t)dt , 则f(x)(x2x2(A)2 (B)22(C)x1 (D)x2.

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 2sinx5. limx0(13x) .

6. 已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx . 27.

nlimn(cos2ncos2ncos2n1n) .

12x2arcsinx1-11x2dx8. 2 .

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)

9. 设函数yy(x)由方程

exysin(xy)1确定,求y(x)以及y(0). 1x7求10. x(1x7)dx.

)

xxe,  x0 1设f(x) 求f(x)dx.322xx,0x111.

1012. 设函数f(x)连续,,且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax,A为常数. 求

1y(1)xy2yxlnx9的解. 13. 求微分方程满足

四、 解答题(本大题10分)

14. 已知上半平面内一曲线yy(x)(x0),过点(0,1),且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线,该切线与曲线ylnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)

16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减,证明对任意的q[0,1],

q1f(x)dxqf(x)dx00.

0,f(x)17. 设函数在上连续,且0,0.

证明:在0,内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.(提

f(x)dx0f(x)cosxdx0xF(x)示:设

f(x)dx0)

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

1cosx2 ()c6e35. . 6.2x.7. 2. 8..

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导

xy e(1y)cos(xy)(xyy)0

exyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0,y(0)1

77x6dxdu 10. 解:ux  1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu1 1(ln|u|2ln|u1|)c7 12ln|x7|ln|1x7|C77 11. 解:3031f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)01(x1)2dx02xxxee3

2(令x1sin)cosd 

12. 解:由f(0)0,知g(0)0。

x1xtu4

2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x (x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx02 (x0)

g(0)lim0x0f(u)dux2limx0xf(x)A 2x2

AAA22,g(x)在x0处连续。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnxdxx13. 解:

dxdxxxye(elnxdxC)2211xlnxxCx29 3

111y(1),C0yxlnxx39 9 ,

四、 解答题(本大题10分)

14. 解:由已知且 ,

将此方程关于x求导得y2yy

0y2ydxyx

2特征方程:rr20 解出特征根:r11,r22.

x2x其通解为 yC1eC2e

代入初始条件y(0)y(0)1,得

21yexe2x33故所求曲线方程为:

五、解答题(本大题10分)

C121,C233

1ylnx0(xx0)x(x,lnx)0,015. 解:(1)根据题意,先设切点为0切线方程:

1yxxe0e由于切线过原点,解出,从而切线方程为:

1则平面图形面积

A(eyey)dy01e12

(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则

曲线ylnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)

q1qqVV1V2(5e212e3)

116. 证明:0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx01[0,q]2[q,1]

q(1q)f(1)q(1q)f(2)1f(1)f(2)故有:

q0

f(x)dxqf(x)dx00 证毕。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0证:构造辅助函数:。其满足在[0,]上连续,在(0,)上可导。F(x)f(x),且F(0)F()0

由题设,有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000,

有0,由积分中值定理,存在(0,),使F()sin0即F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理,知存在

1(0,)和2(,),使F(1)0及F(2)0,即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

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