浙江省绍兴柯桥区七校联考2022年九年级数学第一学期期末考试试题含解析

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值( )

A．

3 4B．

3 5C．

7 4D．

4 52．下列运算中正确的是（ ） a＝a A．a2÷

C．（ab2）3＝ab5

B．3a2+2a2＝5a4 D．（a+b）2＝a2+b2

3．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ） A．在⊙O内 C．在⊙O外

4．如图，点A，B在反比例函数yB．在⊙O上

D．与⊙O的位置关系无法确定

1k(x0)的图象上，点C，D在反比例函数y(k0)的图象上，AC//BD//y

xx3轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（ ）

2

A．4 B．3 C．2 D．

3 25．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数yk（k0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，x过点A作ADx轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、COG、AOD的面积分别为S1，、S2、S3，则（ ）

A．S1S2S3 B．S3S1S2 C．S1•S2S3

D．

S21 S36．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．直线y4x1与抛物线yx22xk只有一个交点，则k的值为（ ） A．0

B．2

C．6

D．10

8．如图，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若ABC64，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，则AEC的度数为（ ）

A．106° B．116° C．126° D．136°

9．下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是( ) A．开口向上

2B．对称轴是直线x=1 C．顶点坐标是(-1，3) D．函数y有最小值

10．二次函数y2x3的顶点坐标为（ ） A．2,0

B．2,3

C．3,0

D．0,3

二、填空题(每小题3分,共24分)

11．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是__________．

12．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC的高BE为 米．

AD，迎水坡AB长26米，且斜坡AB的坡度为

12，则河堤5

13．已知二次函数y2x24x6， 用配方法化为ya(xm)k的形式为_________________，这个二次函数

2图像的顶点坐标为____________.

14．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛_____cm的地方．

15．如图，起重机臂AC长60m，露在水面上的钢缆BC长302m，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC逆时针转动15到AC'的位置，此时露在水面上的钢缆B'C'的长度是___________.

16．在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率_______．

17．如图，A，B是反比例函数y=的面积是_____．

4在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OABx

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y于x的不等式kxbm的图象相交于点A(2,3)和点B(n,1)，则关xm的解集是_____． x

三、解答题(共66分)

19．（10分）解方程：2x27x10（公式法）

20．（6分）在半圆O中，AB为直径，AC、AD为两条弦，且∠CAD+∠CAB＝90°．

（1）如图1，求证：弧AC等于弧CD；

（2）如图2，点E在直径AB上，CE交AD于点F，若AF＝CF，求证：AD＝2CE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，若AE＝4，BD＝12，求弦AC的长． 21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC． （1）求证：AC＝BD； （2）若sin C＝

12，BC＝12，求△ABC的面积． 13

22．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且

AE3． EC2（1）求

BF的值； FC（2）联结EF，设BC=a，AC=b，用含a、b的式子表示EF．

23．（8分）抛物线的顶点为1,5，且过点2,17，求它的函数解析式.

24．（8分）为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了1万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件10元．每天还要支付其他费用25元．该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)关系为yx40．

（1）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？(注：每天的利润每天的销售利润一每天的支出费用)

（2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过50%，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？

25．（10分）某校九年级学生参加了中考体育考试．为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育成绩情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题： 分组 A B C D E 分数段（分） 36≤x＜41 41≤x＜46 46≤x＜51 51≤x＜56 56≤x＜61 频数 2 5 15 m 10 （1）m的值为 ；

（2）该班学生中考体育成绩的中位数落在 组；（在A、B、C、D、E中选出正确答案填在横线上）

（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．

26．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分) 1、B

【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可； 【详解】由题意得BC= 则cosB=

AB2AC252423，BC3； AB5 故答案为：B. 【点睛】

本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解题的关键. 2、A

【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案． 【详解】解：A、a2aa，故A选项正确；

B、3a22a25a2，故B选项错误； C、(ab2)3a3b6，故C选项错误； D、(ab)2a2b22ab，故D选项错误．

故选：A． 【点睛】

本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 3、A

【分析】根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】∵点P到圆心的距离为3cm， 而⊙O的半径为4cm，

∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在圆内， 故选：A． 【点睛】

此题考查的是点与圆的位置关系,掌握点与圆的位置关系的判断方法是解决此题的关键. 4、B

【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC

3，列出方程，求解得出答案. 21

【详解】把x=1代入y得：y=1,

x11∴A(1,1),把x=2代入y得：y=,

x21∴B(2, ),

2与△ABD的面积之和为∵AC//BD// y轴,

k) 2k1∴AC=k-1,BD=-，

2211, ∴S△OAC=（k-1）×

2∴C(1,k),D(2,

S△ABD=

1k1 (-)×1, 2223， 2又∵△OAC与△ABD的面积之和为∴

11k13（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3; 22222故答案为B. 【点睛】

:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键. 5、C

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S1=S2＜S3，即可得到结论． 【详解】解：∵点A、B、C为反比例函数y

k

（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F， x

∴S3=

11k，S△BOE=S△COF=k， 22∵S△BOE-SOGF=S△CDF-S△OGF， ∴S1=S2＜S3， ∴S1•S2S3， 故选：C． 【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键． 6、C

，∠DBO=∠EBA， 【解析】试题解析：∵∠BDO=∠BEA=90°∴△BDO∽△BEA，

， ∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°∴△BDO∽△CEO，

，∠ECO=∠DCA， ∵∠CEO=∠CDA=90°∴△CEO∽△CDA，

∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA． 故选C． 7、D

【分析】直线y=-4x+1与抛物线y=x2+2x+k只有一个交点，则把y=-4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方

程中，判别式△=0，据此即可求解． 【详解】根据题意得：x2+2x+k=-4x+1， 即x2+6x+（k-1）=0， 则△=36-4（k-1）=0， 解得：k=1． 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的交点个数的判断，把一次函数代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＞0，则两个函数有两个交点，若△=0，则只有一个交点，若△＜0，则没有交点． 8、B

【解析】根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形， -∠ABC=180°-64°=116°∴∠D=180°， ∵点D关于AC的对称点E在边BC上， ∴∠D=∠AEC=116°， 故答案为B． 【点睛】

本题考查了圆的内接四边形的性质及轴对称的性质，解题的关键是熟知圆的内接四边形对角互补及轴对称性质． 9、B

【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，再逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵−2＜0，∴抛物线的开口向下，故A错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴为：x＝1，故B正确，符合题意； C、抛物线的顶点为（1，3），故C错误，不符合题意； D、因为开口向下，故该函数有最大值，故D错误，不符合题意. 故答案为：B. 【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h． 10、D

【分析】已知二次函数y＝2x2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【详解】∵y＝2x2＋3＝2（x−0）2＋3，

∴顶点坐标为（0，3）． 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y＝a（x−k）2＋h的顶点坐标为（k，h），

二、填空题(每小题3分,共24分) 11、

1 321． 63

【分析】利用公式直接计算．

【详解】解：这六个数字中小于3的有1和2两种情况，则P（向上一面的数字小于3）=故答案为：【点睛】

本题考查概率的计算． 12、24

【解析】试题分析：因为斜坡AB的坡度为

22221 31212，所以BE:AE=，设BE=12x，则AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股55222（12x）（5x）,676169x,解得：x=2或-2（负值舍去）定理知：ABBEAE,即：26；所以BE=12x=24

（米）．

考点：解直角三角形的应用． 13、y2(x1)28 (1,8)

【分析】先利用配方法提出二次项的系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再根据顶点式即可得到顶点的坐标.

【详解】y2x4x62(x2x1)8 利用完全平方公式得：y2(x1)28 由此可得顶点坐标为(1,8). 【点睛】

本题考查了用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式、以及二次函数顶点坐标，熟练运用配方法是解题关键. 14、8

【解析】设蜡烛距小孔xcm，则小孔距成像板(24x)cm， 由题意可知：AB∥A′B′，

22∴△ABO∽△A′B′O， ∴

xAB1，解得：x8（cm）.

24xAB2即蜡烛与成像板之间的小孔相距8cm.

点睛：相似三角形对应边上的高之比等于相似比. 15、303m

【解析】首先在Rt△ABC中，利用正弦值可推出∠CAB=45°，然后由转动角度可得出∠C'AB'=60°，在Rt△C'AB'中利用60°的正弦即可求出B' C'． 【详解】再Rt△ABC中， ∵sinCAB= ∴∠CAB=45°

起重机臂AC逆时针转动15到AC'的位置后， =60° ∠C'AB'=∠CAB+15°

在Rt△C'AB'中，B' C'=ACsinCAB=60故答案为：303m． 【点睛】

本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 16、

BC3022 ==AC6023=303m 22 3【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案. 【详解】根据题意画图如下：

可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和大于等于9的有8种 ∴P（小东获胜）＝

82= 123故答案为：【点睛】

2. 3此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意画出树状图表示所有情况. 17、2

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（1，1），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=

AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+SABDC=

梯形ABDC

1×4=1．根据S四边形2，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形

11（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，从而得出S△AOB=2． 22【详解】解：∵A，B是反比例函数y=∴当x=1时，y=1，即A（1，1）， 当x=4时，y=1，即B（4，1）．

4在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4， x如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，

则S△AOC=S△BOD=

1×4=1． 2∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB=S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC=

11（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2， 22∴S△AOB=2． 故答案是：2． 【点睛】

主要考查了反比例函数y=

k中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直x1|k|． 2角三角形面积S的关系即S=18、-6＜x＜0或x＞2；

【解析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求. 【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2；

点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式： 形如式kxbmm0不等式，构造函数y1kxb，y2=，如果y1y2,找出y1比y2,高的部分对应的x的xx值,y1y2,找出y1比y2,低的部分对应的x的值.

三、解答题(共66分) 19、x1741741,x2. 44【分析】先确定a,b,c的值和判别式，再利用求根公式求解即可. 【详解】解：这里a2，b7，c1，

49841，

x741. 4即x1741741,x2. 44【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是本题的关键. 20、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．

【分析】（1）如图1，连接BC、CD，先证∠CBA＝∠CAD，再证∠CDA＝∠CAD，可得出AC＝CD，即可推出结论； （2）过点C作CG⊥AD于点G，则∠CGA＝90°，证CG垂直平分AD，得出AD＝2AG，再证△ACG≌△CAE，推出AG＝CE，即可得出AD＝2CE；

（3）取BD中点H，连接OH、OC，则BH＝DH＝

1BD＝6，OH⊥BD，证Rt△OEC≌Rt△BHO，推出OE＝BH＝26，OC＝OA＝10，则在Rt△OEC中，求出CE的长，在Rt△AEC中，可求出AC的长． 【详解】（1）证明：连接BC、CD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵∠CAB+∠CAD＝90°， ∴∠CBA＝∠CAD， 又∵∠CDA＝∠CBA， ∴∠CDA＝∠CAD，

∴AC＝CD， ∴ACCD ；

（2）过点C作CG⊥AD于点G，则∠CGA＝90°， 由（1）知AC＝CD， ∴CG垂直平分AD， ∴AD＝2AG， ∵AF＝CF， ∴∠CAD＝∠ACE， ∵∠CAD+∠CAB＝90°， ∴∠ACE+∠CAB＝90°， ∴∠AEC＝90°＝∠CGA， ∵AC＝CA，

∴△ACG≌△CAE（AAS）， ∴AG＝CE， ∴AD＝2CE；

（3）取BD中点H，连接OH、OC，则BH＝DH＝∴∠OHB＝90°＝∠CEO， ∵OA＝OB，

∴OH是△ABD的中位线， ∴AD＝2OH， 由（2）知AD＝2CE， ∴OH＝CE， ∵OC＝OB，

∴Rt△OEC≌Rt△BHO（HL）， ∴OE＝BH＝6，

∴OC＝OA＝AE+OE＝4+6＝10， ∴在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝82， ∴在Rt△AEC中，AC＝1BD＝6，OH⊥BD， 2AE2CE2 ＝45．

【点睛】

本题考查了圆的有关概念及性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，第证明∠AEC=90°和通过作适当的辅助线构造全等三角形是.解题的关键.

21、（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为42.

【分析】（1）在直角三角形中，表示tanB,cosDAC，根据它们相等，即可得出结论 （2）利用sinC12和勾股定理表示出线段长，根据BC12，求出AD长 13【详解】(1)∵AD是BC上的高 ∴AD⊥BC．

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°． 在Rt△ABD和Rt△ADC中， ∵tanB=

ADAD ，cosDAC=ACBD又已知tanBcosDAC ∴

ADAD=． BDAC∴AC=BD． (2)在Rt△ADC中，sinC∴CD=12，故可设AD=1k，AC=13k． 13AC2AD2=5k． ∵BC=BD+CD，又AC=BD， ∴BC=13k+5k=12k 由已知BC=1， ∴12k=1． ∴k=

2． 32=2． 3∴AD=1k=123b﹣a． 55AE3EC2BDEC2，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；  得【解析】（1）由

AC5ABAC5EC222、 (1)见解析；（2）EF=

（2）根据已知可得CFa ，EC【详解】（1）∵

352b ，从而即可得. 5AE3EC2，  ， ∴

AC5EC2BDEC2， ∵DE//BC，∴

ABAC5BFBD2 ； 又∵DF//AC，∴

BCAB5BF2FC3， ，∴（2）∵

BC5BC5∵BCa，CF与BC方向相反 ， ∴CFa ， 同理：EC352b ， 523ba. 55又∵EFECCF，∴EF23、y42x15 32【分析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式ya(xh)k，由顶点1,5可知h1,k5，将点2,17代

入即可.

【详解】解：设ya(x1)5 将点2,17代入得17a(21)5

22解得a所以y【点睛】

4 342x15 3本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键. 24、（1）当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；（2）该生最快用100天可以还清无息贷款． 【分析】（1）计算利润w=销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论； （2）先得出每日利润的最大值，即可求解． 【详解】(1)w(x10)(x40)25

-x250x425 -(x25)2200

∵a1＜0，

∴当x=25时，日利润最大，为200元，

∴当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；

x10(2) 由题意得：x10，

50%10解得：10x15，

wx25200，

∵a1＜0，

∴抛物线开口向下，当x25时，w随x的值增大而增大， ∴当x=15时，日利润最大为w1525200100元， ∵10000100=100，

∴该生最快用100天可以还清无息贷款． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 25、（1）18；（2）D组；（3）图表见解析，

222 3【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值； （2）利用中位数的定义得出中位数的位置；

（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解． 30%＝50（人）【详解】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷； m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）； 故答案为：18；

（2）∵全班学生人数有50人，

∴第25和第26个数据的平均数是中位数， ∴中位数落在51﹣56分数段， ∴落在D段 故答案为：D；

（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1， A1 A1 A2 （A1，A2） B1 （A1，B1） A2 B1 ∵共有6种等情况数，

（A2，A1） （B1，A1） （B1，A2） （A2，B1） ∴恰好选到一男一女的概率是＝【点睛】

42＝． 63此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键． 26、（1）见解析；（2）4.1

【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；

（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=10°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=10°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA；

（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5， ∴AM=12252=13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=

1AM=6.5， 2∵△ABM∽△EFA， ∴即

BMAM， AFAE513， 6.5AE∴AE=16.1， ∴DE=AE-AD=4.1．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．