第五章 定积分
内容：定积分的观点和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的观点和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积 分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理， 法。
要点：定积分的观点和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的观点；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。
理解广义积分的观点和计算方
§ 1. 定积分的观点
一、实例剖析
1．曲边梯形的面积
设函数
∈ C[ ,
], 且
>0. 由曲线
y f ( x)
.
a b
y f (x)
y f (x), x a, x b, y 0
围成的图形称为曲边梯形
怎样定义曲边梯形的面积
(1) 矩形面积 =底 高 . (2) 预备一张修长条的纸 , 其面积
底
高 .
?
y=f( x)
(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸 将其撕成很多修长条 . (4) 启迪 :
将曲边梯形切割为很多修长条 切割得越细 , 偏差越小 .
,
,
x=a
x=b
y=f ( x)
a=x0 x1
xi-1 xi
xn=b
第 i 个修长条面积 Si
n
f (
1
i
)xi ( i [ xi 1 , xi ],
曲边梯形面积 : S
n
i
f ( i ) xi
定积分观点表示图 .ppt
xi xi
xi 1 )
定义 : S lim
0
i 1
f ( i ) xi ( max{ xi , i 1, 2,
, n)
抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分
.
二、定积分的定义
1. 定义
设 y
f (x) 在 [ a, b] 有定义 , 且有界 .
x0
x1
(1) 切割 : 用分点 a
xn b 把 [ a, b] 切割成 n 个小区间 :
[ xi 1, xi ], i 记 xi
xi
1, 2, , n
xi 1 , max{ xi , i 1, 2, , n}
f ( i ) xi .
b
(2) 取点 : 在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i , 做乘积 :
n
(3) 乞降 :
i 1
f (
i
) x
i
n
(4) 取极限 : lim
f ( i ) xi
0 i 1
若极限存在 ,
b ] 上的定积分 , 记作 : 则其为 f (x) 在 [ ,
af (x)dx . 即 :
a
b a
n
f (x)dx
lim
0
f (
i
)
xi
i 1
n
[ a, b]: 积分区间； a：积分下限； b：积分上限；
f ( i )
i 1
xi 积分和式 .
问题 : 定积分是极限值 , 在求极限的过程中 , 谁是常量 , 谁是变量 ?
n
b
注: (1)
f ( i ) xi 与区间的切割法
xi 和取点法
i
有关 ; 而
f ( x)dx 与
xi 和
i
无
i 1
a
关.
b
(2)
a
f ( x)dx 与 a、 b、 f 有关，与 x 没关，即：
b
a
f ( x)dx
f (t )dt
a
b
b a
f (u)du
b a
f ( )d
2．定积分存在定理 定理 推论
若 f ( x) 在 [ a, b] 上有界且只有有限个中断点，则 若
在 [ ,
] 上连续，则
f (x) 在 [ a, b] 上可积 .
在 [ , ]上可积.
n
i
f ( x)
a b
1 例 1. 求 xdx 0
f ( x)
a b
1 0
解 : f (x)
x 在 [0, 1] 连续 , 积分存在 .
xdx lim xi 与 [0, 1] 的切割法和
0 i 1
i
的取法没关 . 选用特别的切割法和取点法 , 可使计算简易 .
(1) 将 [0, 1]n
平分 , xi
i
(2)
取点
i =
n
xi 1
n
) i
xi , f ( i xi
2n
i ,
n
n
(3)
乞降
f ( i ) xi
i n
2
1 n(n 1) n 2
i 1
i
i 1
2
(4) 取极限 lim
f (
)
xi
lim
n
n(n
2 1)
1
0
故 xdx
0
1
2n
1 2
2
3. 定积分的几何意义
若 f ( x) 在 [ a , ]上非负 ,
则
b
f ( x)dx
曲边梯形面积
a b a
若 f ( x) 在 [ a, b] 上非正 , 则
f ( x)dx =曲边梯形面积的负值 ;
S+
S-
S+
b a
f (x)dx 的几何意义是由曲线 y f ( x), x a, x b, y 0 围成曲边梯形面积的代
数和 .
1 0
例 2.
1 x dx
2
2;
2
sin xdx 0;
b a
dx b a .
2
三、定积分的性质 1．规定
(1)
a a
f ( x) dx 0 f (x)dx
a b
(2)
b a
f ( x)dx
2．性质
b
b
(1)
kf ( x) [ f ( x)
(2)
a b a b
k f ( x)dx a b
g( x)]dx
c a
f ( x)dx
b a
g( x)dx
(3) f ( x)dx
a
a
f ( x)
f (x)dx
c
b
a
c
b
a
b
c
c a
f ( x)dx
b a
b a
f (x)dx
c a
c b
f ( x)dx
c b
c a
f ( x) dx
f (x)dx
f (x)dx
f ( x)dx
b a
b
f ( x) dx
c
(4) 若在 [ a, b] 上有 f ( x)
0 (a
b) ，则
b a
f (x) dx
b a
0
推论 1 若 f ( x)
b a
g ( x) (a
b a
b) ，则
f ( x)dx
g(x)dx
推论 2
f ( x) dx
f ( x)dx
(5)
设 M、 m分别为 f ( x) 在 [ a,
b] 上的最大、最小值
b a
(a b) ，则
m(b a)
f (x)dx
M (b
a)
(6) ( 积分中值定理 ) 设 f ( x)
C[ a, b] , 则
b a
(a, b) , 使得
f ( x)dx
f (
)(b a)
y=f ( ξ )
将中值定理变形得：
b
f ( )
称为 f (x) 在[ a, b] 上的均匀值 .
a
f ( x)dx
b a
§2.微积分基本公式
一、变速直线运动中的地点函数与速度函数之间的关系（略）
二、积分上限的函数及其导数
设 f (x) 在 [ a, b] 上连续 , 则
x [ a, b], 有 f (x) 在 [ a, x] 上连续 .
x
进而
a
f ( x) dx 存
在.
在这里 , 积分上限 x 与被积变量
x 的性质是不一样
的 .
b a
f ( x)dx 与 a、 b、 f 有关，与 x
x a
x a
没关 .
f ( x) dx
f (t) dt 与 a、 x、 f 有关 .
x a
对于 [ a , ] 上的任一点 x ,
bf (t) dt 有一个确立的对应值 ,
故
x a
f (t )dt 是 x 的函数 ,
记作 ( x), 即 :
x a
x a
b)
(x)
f (x)dx
f (t )dt , (a x
称为积分上限的函数 .
定理 若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续 , 则积分上限的函数
x
( x)
f (t )dt a
x
在[
,
] 上可导 , 且
x
a b
( x) y
f (t )dt
a
f ( x)
证明 :
y
lim y ,
x 0 x
x
x
( x
x)
( x)
x x
f (t) dt
积分中值定理
( x)
lim x x 0
f (t)dt
x
f (lim
x
0
) x lim f ( ) f (x) .
x x 0
注 : 若 f (x) 在 [ a, b] 上不连续 , 则最后一个等式不建立 .
( x)
x
a
此定理说明 , 例 1.
x
f (t) dt 是 f ( x) 的一个原函数 .
sin t dt
1
2
0
2
sin x
例 2.
G( x)
x0
et dt , 求 G (x)
x
et dt
例 3. 求极限 lim 0
.
x 0
sin x
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续 ,
F ( x) 是 f (x) 的一个原函数，则
b f ( x)dx
F (b)
F (a)
a
x 证明： F ( x) 是 f (x) 的一个原函数 ,
( x)
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数
a
一个函数的两个原函数之间有关一个常数
, 于是有 :
x f (t)dt F ( x)x
C f ( x)dx
F ( x) C
a
a
b f ( x)dxF (b)
C
a
a f (x)dx F ( a) C 0
C
F (a)
a
b
F (b) F ( a)
a
f ( x) dx
b
b
记作
记作
a
f (x)dx F (b) F (a)
F ( x) ab
f ( x)dx
a
9
xdx 例 1.
4
1 1
dx 例 2.
12
x(1
x)
4
1
1 1
2d2 1
x
12 2 arcsin
x 12 2(
)
4
x(1dx
x)
1
x 1
4
4
4 12
3
1
例 3．1
dx
1 1
2
x dx
ln x
ln 2
1
2
x 2
3 例 4．
22 x dx
3
2 x dx0
2(
x) dx3 2xdx
x 2
0 3 2
2 0
2
x2 0
4 9
2
例 5.
0
max x, x2
dx
同
,
2 0
max x, x2
dx
1 0
xdx
2 0
x 2 dx
1 8 2 3
例 6.
0
sin x sin 3 xdx
sin x
0
2 0
sin 3 xdx
0
sin x cos x dx
sin x cos xdx
2
sin x( cos x)dx
2
3
2
3
sin x 2
0
2
sin x 2 3
3
4
2
3
注：在数学计算过程中 , 要对结论 ( 答案 ) 作合理性查验 .
§ 3.
定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法
定理 若 f ( x) C[ a, b], x(t) 知足以下条件：
(1) (t) 是 [ α , β ]( 或 [ β, α ]) 上单值单一函数 ; (2)
(t) 在 [ α , β ]( 或 [ β, α ]) 有连续导数 ; (3)
( )
a, (
) b
b
则:f (x) dx
f [
(t )] (t) dt .
a
4 例 1.x2
dx
0
2x 1
t 2
1
令
2x 1
t, x
. 当 x=0 时 , t =1; 当 x=4 时, t =3.
2
4 x2
t 2 21
2
3
3 t
2
3 1 t
3 3
22
dx
tdt
dt
3
0
2x 1
1
t
1
2
2 3 1
3
( 若不定积分掌握得很好得话 , 能够直接凑微分 :
1
1 2
4 x2(2x 1)
4
dx
2
2
1 2 1
dx
2x 1dx
0
2x 10
2x1
2
3
2x 1与不定积分换元法对比较 , 有两点不一样 :
(1) 积分变量由 x 变成 t 时 , 积分的上下限也要随之改变 ; (2) 求出对于 t 的原函数后不必回代成
x 的函数 .
例 2.2
1
dx
2
x x2
1
2 1
dx
2
x
x 23
1
x sect
4 3
sect
dt
2
4
( 1)dt
cos t 1 2
3
x
sect tant
3
12
注：换元积分公式，知足
(t ) 所要求的条件很重要，如：
4
dx
)0
1 1 I
dx 1x21
x
1
1
t 1
1
1
(
1
t
2
)dt
1
1
1
1 t
2
dt
I
1
t 2
而事实上， I
arctanx 1 1
2
，其原由在于
(t) 在 t=0 不行导 .
a a
a a
a 0
例 3. 证明 : (1)
若 f ( x) 是 [- a, a] 上的偶函数 , 则
f ( x)dx 2 0
f ( x) dx
(2) 若证明 f ( x) 是 [- a, a] 上的奇函数 , 则
a a
x t
f (x)dx
a
证明 :
0 a a a
f ( x)dx
0
0
f (x)dx
a
t )
a 0
a 0
f ( x)dx
0
a 0
f (x)dx f (x)dx
f ( t)d (
a
a 0
f ( t )dt
a 0
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
[ f ( x)
f ( x)] dt
此例提示我们 , 在计算定积分时 , 看到对称的积分限
1
, 要保持敏感 .
例
cos x( x
4
3
x
51
)
0 .
例 4.
f (x) C [ 0, 1] , 证明 :
(1)
2 0
f (sin x) dx
2 f (cosx)dx 0
(2)
0
xf (sin x)dx
0
f (sin x) dx
0
2
dx
并计算
x sin x
2
1 cos x
x
2
0
2 0
t
(1)
2 0
f (sin x)dx
f (cost )d ( t)
f (cosx)dx
f (sin x) dx
0
2 t
(2)
0
xf (sin x)dx
x 0
( t ) f (sin t)d ( t )
tf (sin t) dt
0
0
2 xf (sin x) dx
0
f (sin x) dx
0
xsin x
1 cos2 x
dx
0
sin x 1 cos2 x
dx
1
2
2
2 0 1 cos2 x
d cos x
arctan(cos x) 0 2
arctan(cos x) 0 2
4
二、定积分的分部积分法
uv dx udv uv vdu uv vu dx
b b b
uv dx
udv uv ab
vu dx
a
a
a
定积分的分部积分法合用的函数种类与不定积分的分部积分法同样
.
1 例 1.
xe xdx
2 3
ln dx 3ln 3 2ln 2 1
例 2.
2
例 3.
I n
2 cosn
xdx (n N )
0
I n
2 cosn xdx
2 cosn 1 xd sin x cosn 1 x sin x 02
2 sin xd cosn 1
0
0
0
( n 1) 2 sin 2 xcosn
2
xdx (n 1) 2 (1 cos2 x) cosn 2 xdx
0
0
( n 1) 2 [cosn 2
x cosn x] dx
0
( n 1)( I n 2 I n )
nI n ( n 1) I n
2
I n
n 1 I n 2
I 1
3
n
n
n I n 2 n 1 n
I n 4
n n
1n 2
(n 1)(n 3) 3 I 0 n为偶数
n(n 2) 4 2
2
(n 1)(n 3) 4 I 1
n为奇数
n(n 2) 5 3
I 0
2
cos x 0 dx
0
2
I 1
2
cosxdx 1
0
(n 1)(n 3) 3 1
为偶数
I n
n(n 2) 4 2 2
(n
1)(n 3) 4 2
n(n 2) 5 3
1 n为奇数
(n
1)!!
n为偶数
积分公式：
2
sin n xdx
2
cosn xdx
n!!
2
0
0
(n
n!!1)!! 1 n为奇数
例 4．
x
§4.失常积分（广义积分）
b a
定义定积分
f ( x) dx 需知足以下条件 : (1)
f (x) 有界 (2)
f (x) 只有有限个中断
点 (3) a, b 为确立的数值 , 即积分限是有限值 . 失常积分是对无量积分限和无界函数定义的积分 .
一、无量限的失常积分
定义 设 f ( x)
C[ a,
) ,
取 t >a, 若极限
t
limf (x)dx
t a
存在 , 则称此极限为
f (x)在[ a, ) 上的失常积分 , 记作
f ( x)dx ,
a
t
f (x)dx
limf ( x)dx
a
t
a
limt
f (x)dx
存在 , 也称为
f ( x)dx 收敛 ;
t
a a
limt
f (x)dx 发散 .
若
f (x)dx 不存在 , 则称
t
a
a
近似地 ,
定义 :
b
b
f ( x) dx
lim
f (x)dx
( f ( x) C(
, b])
t
t
c
f ( x) dx
f ( x)dx
f (x)dx ( f ( x) C(
,))
c
注:
f ( x) dx收
c
f ( x)dx,
敛
f (x)dx都收敛
c
t F ( x) f ( x)
a
f ( x)dx
F (t)
F (a)
F ( x ) f ( x)
记作
记作
f ( x) dx
lim F(t )
F ( a)
F (x) a
f ( x) dx
a
t
a
例 1.
1 2 dx arctanx 0
0 1 x
2
0
例 2.
xex dx
0
xexdx
0
xexdx
lim
t
t
lim0 xdex
0
0
x
lim [ xe
x
t
e dx]
t
t
t
t
lim tet
lim e0 et
1
t
t
例 3.
x
12
dx
x
:
即x
x
1 x 2 dx0
x dx
1 x2
0 1 x 2 dx
x
1
2
0
1
x 2 dx
2 ln(1 x ) 0
(发散 )
故
x dx 发散 .
1 x 2
二、无界函数的失常积分
定义 设 f ( x)
C( a, b], lim f ( x)
, 取 b>t >a, 若极限
x
a
b
lim
f (x)dx
t a
t
f (x)在 (a, b]
b 存在 , 则称此极限为上的失常积分 ,
仍记作
f ( x)dx ,
a
b f ( x)dx
b
lim
f ( x)dx
a
t a t
b f ( x)dx
b 亦称为
收敛 ; 不然，称
f ( x) dx 发散 .
a
a
近似地 , 定义 :
若 f ( x) C[ a, b), f (b 0)
定义 :b f ( x) dxt
lim
f ( x) dx
a
t b
a
若 f ( x) C{[ a, c) )(c, b]},
f (c
0)
或f (c 0)
定义 :b
c f ( x) dx b
f ( x)dx
f ( x) dx a a c
b c b
注:
f (x) dx收敛
f ( x)dx,f ( x) dx都收敛
a
a c
1
例 4.dxx
0
1 x 2
lim
x
x 1 1
1 x
x 2
t
t x
dx lim
dx lim
1 2 1 x2 1
0
1 x 2
t 1 0
1 x 2
t 1
1
2
0
例 5.ln xdx
0
1
ln xdx1 lim
ln xdx
lim x ln x x 1t
10
t 0
t
t 0
例2
6.1
0 (1 x)2
dx :
即
lim 1 1x (1 x) 2
1 2
20 (1 x) dx
1
1
1
1 0
2
1
0
(1 x) 2 dx
1
(1 x) 2 dx
1
1
0
2
dx
(1 x)
2
lim
t 1
发散
1 x
1 (1 x)2
故
0
dx 发散 .
注:
b
计算
a
f ( x)dx 前 , 第一判断 f ( x) 在 [ a, b] 上能否有无量点 .
定积分小结
一、基本观点
1．定积分
b
n
a
f (x)dx
limf (
0
i
)
xi
i 1
2．变上限积分函数
x a
( x)
f (t)dt
3．广义积分 （1）无量积分限 （2）无量中断点 二、定积分的性质
1．定积分与被积分字母没关
b a
b a
b a
b a
f (x)dx f (t )dt f (u)du
f ( )d
2．积分限的切割
b a
f (x)dx
c a
f ( x)
b c
f ( x)dx
3．积分中值定理
设 f (x) C[ a, b] ,
则
(a, b) , 使得 f (x)dx f ( )(b a)
a
b
4．对称函数在对称区间上的积分
a a
f ( x)dx
0 2
a
f (x)
为奇函数
0
f ( x)dx f (为偶函数
三、定积分的计算
1．牛——莱公式 2．换元积分法 3．分部积分法
四、积分上限函数求导
(x)
u( x)
a
x
f (t) dt
f ( x)
a
f (t) dt
f [ u( x)] u (x)
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