（1）由数列{un}的通项确定递推关系式：un+1=f(un)
（2）利用递推关系式证明该数列单调增加（或减少）有上界（或下界）；再设limun=A
n→∞
（3）在递推关系式un+1=f(un)两边取极限得到关于未知数A的方程A=f(A) （4）解此方程求出符合题意的A的值
（5）可先猜出（求出）数列的极限值，再用数列极限的ε−N定义证明该值即为un的极限（对un不单调的题，上面方法失效，但该法仍可行）
数列有界性和单调性的证明方法：
（1）一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明 （2）判定数列单调性主要有三种方法
①计算un+1−un，若un+1−un≥0，则数列{un}单调增加 若un+1−un≤0，则数列{un}单调减少 ②当un>0时，计算
un+1u
，若n+1≥1，则{un}单调增加 unun
un+1
≤1，则{un}单调减少 un
若
③利用导数证明f(x)(x≥1)的单调性，则un=f(n)与f(x)有相同的单调性
（3）有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时调整证明次序（证明单调性时需用有界性，从而必先证明数列有界；或证明有界性时需用单调性，从而必先证明数列的单调性）
例 设数列{xn}满足0 ⎛xn+1⎞xn2 ①证明limxn存在，并求该极限；②计算极限lim⎜⎟。 n→∞n→∞ ⎝xn⎠ 证明①用归纳法证明{xn}单调减少且有下界： 由0 n→∞ 在xn+1=sinxn两边取极限，得A=sinA⇒A=0 1 1 2xn ⎛x⎞②lim⎜n+1⎟n→∞ ⎝xn⎠ 2xn ⎛sinxn⎞⎛sinx⎞x2 =lim⎜⎟，记xn=x，可用罗必达法则求lim⎜⎟。 x→0n→∞ ⎝x⎠⎝xn⎠ 1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容