积分上限的函数的性质及其应用(正文)

积分上限的函数的性质及其应用

数学教育专业学生：祝胜前

指导教师：张云

摘要：变限积分函数分为变上限和变下限积分函数两种，变下限积分函数可以转化为变上限积分函数。积分上限函数加强了微分和积分之间的联系，是定积分基本公式的理论基础。变限积分函数的性质主要由被积分函数的性质、积分上（下）限的结构来决定。我们对它进行初等性质及分析性质的研究，可深入了解其特性，并广泛用于解决一些微积分的问题。

关键词：积分上限函数，变限积分函数，导数，单调性，奇偶性

Abstract: The variation range integral function divides into changes the upper limit and changes the lower integral function two kinds, changes the lower integral function to be possible to transform for changes the upper integral function. The integral upper limit function strengthened between the differential and the integral relation, is the definite integral fundamental formula rationale.The variation range integral function nature mainly by the structure which by in the integral function nature, the integral (next) is limited decided. We carry on the primary nature and the Analysis nature archery target research to it, but thoroughly understood its characteristic, and widely uses in solving some fluxionary calculus problems.

Keyword: Integral upper limit function, variation range integral function, derivative,

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积分上限的函数的性质及其应用

monotony, odevity

0 问题的提出

变速直线运动中位置函数与速度函数的联系：

设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数，且v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为s(T2)s(T1)T2T1v(t)dt。另一方面这段路程可表示为

。

v(t)dts(T2)s(T1)T1T2，其中s(t)v(t)。

对于积分上限函数我们有：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点,考察定积分

xaf(x)dx。

（1）由于f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在部分区间[a,x]上仍连续,所以

xaf(x)dx 存在。

（2）定积分与积分变量的符号无关,所以上积分可写为 xaf(t)dt。

（3）如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x 值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,记作(x)。

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积分上限的函数的性质及其应用

(x)xaf(t)dt （axb），

称为积分上限函数。

1 变限积分函数的概念与基本性质

定义1 设f(x)在[a,b]上连续，x 为[a,b]上任一点，则称积函数f(x)的积分上限函数定义为

(x)xaf(t)dt，（axb），其中t为积分变量。

从几何上看，这个积分上限函数(x)表示区间[a,x]上曲边梯形的面积(当f(x)0时）。由积分上限函数定义可知上限函数(x)有以下初等性质：

性质1.1 若函数f(x)在[a,b]上连续，则当f(x)0（或f(x)0）时，积分上限函数(x)在区间[a,b]上是单调增加（或单调减少）的函数。

('(x)证：

xaf(t)dt)'=f(x)，于是知若在[a,b]上f(x)0，则'(x)0。从而(x)在[a,b]上

严格单调递增；若在[a,b]上f(x)0，则'(x)0。即(x)在[a,b]上严格单调递减。故知此时(x)在

[a,b]上严格单调。（注：由f(x)在[a,b]上单调，不能推得(x)在[a,b]上单调。如f(x)cosx 在[0,]上单调递减，但

(x)costdtsinx0x在[0,]上却不具有单调性。

性质1.2 若函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数(x)在区间[a,b]上是有界函数。

证：因为f(x)在[a,b]上有界，于是知存在M0，使得|f(x)|M，因此x[a,b]，有

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积分上限的函数的性质及其应用

|(x)||f(t)dt|M|dt|M(ba)aaxx这表明(x)在[a,b]上有界。

性质1.3 若函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数(x)在区间[a,b]上可导、连续且可积。

可导性：如果f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数(x)=它的导数是

'(x)dxf(t)dtf(x)adx（axb）。

xaf(t)dt在[a,b]上具有导数,并且

证：若x(a,b),当上限x获得增量x(xx[a,b])时,则(x)(如图所示x0)

(xx)xx在xx处的函数值为：

af(t)dt

由此得函数的增量：

(xx)(x)

xXaxxf(t)dtf(t)dtaxxXaf(t)dtf(t)dtxaxf(t)dt

应用积分中值定理,即有等式(x)=f()x(在x与xx之间)，上式两端各除以x,有

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积分上限的函数的性质及其应用

f()limf()f(x)xf(x)[a,b]x0x。因为在上连续,而时,必有,所以 x0,从而有 limf()f(x)x0xx0。即(x)在点x处可导,且 '(x)f(x)。 lim'(a)f(a)'(b)f(b)xx0x0x0若取 a或 b,则以上 分别改为 与 ,就得 与 ,

证毕。

连续性：设函数f(x)在[a,b]上可积，则(x)在[a,b]上连续。

证：因为f(x)在[a,b]上可积，所以f(x)在[a,b]上有界，故存在常数M0

使得|f(x)|M，于是知x[a,b]，有：

|(x)||(xx)(x)||xxxf(t)dt|M|x|。

从而当x0时，必有(x)0，这表明(x)在点x处连续。据x的任意性便知(x)为[a,b]上的连续函数。

可积性：设f(x)在[a,b]上可积，则(x)也在[a,b]上可积。

证：因为f(x)在[a,b]上可积，所以又连续性知(x)必在[a,b]上连续，从而(x)在[a,b]上必可积。

性质1.4 若函数f(x)是以T为周期的连续函数，则积分上限函数(x)可以表示为周期是T

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积分上限的函数的性质及其应用

的周期函数与线性函数之和。

周期性：设f(x)为(,)上的以T为周期的连续函数，且0为周期的周期函数。

Tf(x)dx0，则(x)仍为以T

证: 先证明若f(x)为(,)上的以T为周期的连续函数，则对仍何实数a，有

aTaf(x)dxf(x)dx0T。

事实上，aaTf(x)dxf(x)dxf(x)dxaaa00a0TaTTf(x)dx，对最后一个积分。若令xtT，则有

aTTf(x)dxf(tT)dtf(t)dtf(x)dx0a。代入上式得：

aTaf(x)dxf(x)dx0T。

现在

(xT)xTaf(t)dtf(t)dtaxxTxf(t)dt(x)f(x)dx(x)0T。于是知(x)仍为以T为周

期的周期函数。

2f(x)cosx是以为周期的周f(x)(x)（注意：由为周期函数，不能推得仍为周期函数。如

期函数，而

(x)cost0x21cos2t11dtxsinx0224就不是周期函数。

x性质1.5 若函数f(x)在[a,a]上连续，则积分上限函数

(x)f(t)dtax。

（i）当f(x)为奇函数时，(x)为偶函数；

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积分上限的函数的性质及其应用

（ii）当f(x)为偶函数时，(x)不一定为奇函数 ，(x)为奇函数的充要条件是(a)0。

证:（i）若f(x)为奇函数，则xxf(t)dt0。所以

(x)xaf(t)dt

xaf(t)dtf(t)dtf(t)dt(x)xaxx故知(x)为偶函数。

（ii） 若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)。而xaf(t)dtaxf(u)du

xaf(u)duxaf(t)dt(x)，所以

(a)f(t)dtf(t)dtf(t)dt(x)(x)aaxaxa

。于是(x)为奇函数的充要条件是(a)0。

推论：设

(x)f(t)dt0x，则（i）当f(x)为奇函数时，(x)为偶函数。

（ii）当f(x)为偶函数时，(x)为奇函数。

2 变限积分函数求导定理

定理 2.1 如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数个原函数，即有

'(x)(x)f(t)dtax是被积函数f(x)的一

dxxf(t)dtf(x)d(x)df(t)dtf(x)dxadxa，或。

例2.1 已知

(x)(cost2t)dtax，求'(x)。

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积分上限的函数的性质及其应用

分析：本题被积函数比较简单，可以先按照牛顿—莱布尼茨公式求出x的表达式，再进行求导运算；也可以直接按照定理2.1 ，用自变量x直接替换被积函数式中的积分变量t写出导数结果。

解法1：

x(x)(cost2t)dt(sintt2)|asinxx2(sinaa2)ax，

2222'(x)(sinxxsinaa)'(sinxx)'(sinaa)'cosx2x。 故

解法2：直接按照定理2.1写出结果得'(x)cosx2x。

定理 2.2 如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分下限函数

(x)'dbbf(t)dtf(x)d(x)df(t)dtf(x)dxxdxx，或。

(x)f(t)dtx2可导，且其导数为

例2.2 已知

(x)(cost2t)dtxb，求'(x)。

解法1：

22(x)(cost2t)dt(sintt2)|bxsinbbsinxxxb，

22'(x)(sinbbsinxx)'(cosx2x)。 故

解法2：按照定理2.2，用自变量x直接替换被积函数式中的积分变量t ，并在被积函数前面加上一个负号，从而写出导数结果：'(x)(cosx2x)。

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积分上限的函数的性质及其应用

(x)f(t)dtg(x),h(x)f(x)g(x)定理 2.3 如果函数连续，且可导，则变限积分函

h(x)可导，且其导数为'(x)f[h(x)]h'(x)f[g(x)]g'(x)。

证明：设F(x)为f(x)的一个原函数，即F'(x)f(x)，则按照牛顿——莱布尼茨公式可以求得：

(x)h(x)g(x)(x)f(t)dtF(t)|hg(x)F[h(x)]F[g(x)]，从而按照复合函数求导法则可以求出(x)的导数：

'(x)[F[h(x)]]'[F[g(x)]]'

F'[h(x)]h'(x)F'[g(x)]g'(x)

f[h(x)]h'(x)f[g(x)]g'(x)

由定理2.3的证明过程可以看出，定理2.1与定理2.2是定理2.3的特例。

例2.3 已知

(x)x3sin2x[32tsint]dt，求'(x)。

222t3解：该例（与定理2.3相比）中，sinx相当于g(x)（g(x)=sinx），x相当于h(x)，3sint相

当于被积函数f(x)，于是由定理2.3可得：

'(x)[32x3sin(x)]3x[3322sin2xsin(sin2x)](sin2x)'

2x332sinx2[3sin(x)](x)'[3sin(sinx)]sin2x。

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积分上限的函数的性质及其应用

利用定理2.3求变限积分函数的导数时，要求被积函数f(t)仅仅是关于积分变量t的函数，若被积函数中不仅含有积分变量t，而且含有自变量x时，则不能直接利用定理2.3求导，需要作恒等变形，化简为定理2.3要求的类型，再应用定理2.3求出结果。

3 被积函数为复杂函数的变限积分函数的导数。

这里复杂被积函数仅以被积函数是包含自变量与积分变量的函数复合体来进行研究。

3.1 被积函数是自变量与积分变量可分离型的变限积分函数的导数。

定理 3.1.1 若被积函数f(t,x)满足可积条件且可以表示为f(t,x)g(x)h(t)，则变限积分函数

(x)u(x)v(x)f(t,x)dt的导数为：

'(x)[u(x)v(x)f(t,x)dt]'[u(x)v(x)g(x)h(t)dt]'

u(x)[g(x)g'(x)u(x)v(x)u(x)v(x)h(t)dt]'g'(x)u(x)v(x)h(t)dtg(x)[v(x)h(t)dt]'

h(t)dtg(x)[h[u(x)]u'(x)h[v(x)]v'(x)]

例3.1 设

(x)sinx2xetsin3xsintdt，求'(x)。

分析：该变限积分函数的被积函数是含有自变量x与积分变量t的复杂函数，但被积函数可以

sin3xte(esint)。该题的求解可以分为积分和求导两 很容易分解为

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积分上限的函数的性质及其应用

个阶段，由于在进行积分运算过程中t是积分变量，把x可以看作常数，则e数，因而esin3xsin3x也可以看作常

在进行积分运算时可以提到积分符号的前面去，然后把x看作变量，对x进行求导运

算，按照函数乘积导数公式求出结果。

解：由于

(x)sinx2xetsin3xsintdtsinx2xesin3x(etsint)dtesin3xsinx2x(etsint)dt所以

'(x)[esin3xsinx2x(etsint)dt]'

sinx[esin3x]'sinx2x(etsint)dtesin3x[2x(etsint)dt]'

3cos(3x)esin3x3cos(3x)esin3xsinx2x(etsint)dtesin3x[esinxsin(sinx)(sinx)'e2xsin(2x)(2x)']

sinx2x(etsint)dtesin3x[esinxsin(sinx)(cosx)2e2xsin(2x)]

例3.2 已知

(x)tln(1xt)dt03x，求'(x)。

分析：该题不能像例3.1那样直接把复杂被积函数f(t,x)表示为f(t,x)

g(x)h(t)的形式，但是可以通过变量替换uxt，把原复杂被积函数f(t,x)转化为关于自变

量x与新积分变量u的可分离变量函数。

解：令uxt，则txu，dtdu，当t从0变到3x时u从x变到2x，

故：

(x)tln(1xt)dt03x2xx(xu)ln(1u)(du)

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积分上限的函数的性质及其应用

x2x(xu)ln(1u)du

uln(1u)dux2xxln(1u)dux2x

xx2xln(1u)dux2xuln(1u)du

所以：'(x)xxd[xln(1u)duuln(1u)du]2xdx2x

[xx2xln(1u)du]'[x2xuln(1u)du]'

x2xx2xln(1u)dux[x2xln(1u)du]'[xln(1x)x'(2x)ln(12x)(2x)'

ln(1u)du6xln(12x)

(x1)ln(x1)(8x1)ln(12x)3x

（利用积分公式lnxdxxlnxxC可求出积分后的结果）

3.2 被积函数仍然是变限积分函数型的变限积分函数的导数。

h(u)f(u)s(u,t)dtf(u)g(u)定理 3.2.1 设变限积分函数的被积函数满足可积条件且可以表示为，

则变限积分函数

(x)(x)(x)[h(u)g(u)s(u,t)dt]du的导数为：

'(x)'(x)

h[(x)]g[(x)]s[(x),t]dt'(x)h[(x)]g[(x)]s[(x),t]dt

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积分上限的函数的性质及其应用

定理3.2.1与定理2.3的实质原理是一样的，在定理3.2.1中只不过被积函数是用变限积分函数定义的函数类型罢了。

f(u)h(u)g(u)s(u,t)dt例3.3 设

(x)[f(ut)dt]du00xu求'(x)及''(x)。

解：

'(x)x'f(xt)dt0'f(0t)dtf(xt)dt000x0x

令xty,则txy,dtdy，当t从0变化到x时，则y从x变化到0。因而

'(x)f(xt)dtf(y)(dy)f(y)dy0x0x0x（这里y为积分变量）。

所以

''(x)['(x)]'[f(y)dy]'f(x)0x。

在这里，若被积函数不满足所给出的求变限积分函数导数的5个定理的条件，则还可通过恒等变形使被积函数满足定理条件，然后利用定理求出结果。

4 积分上限函数的一些应用

4.1积分上限函数在证明等式中的应用

11y例4.1 设函数f(x)在(0，1)内连续，证明：

0f(x)dxf(y)dyf(z)dzxx11[f(t)dt]33!0。

证明：令

F(u)f(t)dt0u，则F(u)f(u)，

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积分上限的函数的性质及其应用

10f(x)dxf(y)dyf(z)dzf(x)dxxx01y1f(y)[F(y)F(x)]dydx

1x11f(x)dx[F(y)F(x)]|1dxx02

11f(x)[F(1)F(x)]2dx 20

1[F(1)F(x)]3|10 6

11[f(t)dt]33!0

4.2积分上限函数在证明不等式中的应用

例4.2 设函数f(x)在[0，1]内连续，在（0，1）内可导，且f(0)0，0f'(x)1证明：

[f(x)dx]2f3(x)dx0011。

证明：令

G(x)2f(t)dt(0x1)0 ，则有G(0)0，

uG'(x)2f(x)2f(x)f'(x)2f(x)[1f'(x)]。

由于f'(x)1，故 G'(x)0，从而G(x)0。

F(x)[f(t)dt]2f3(t)dt(0x1)00再令 ，

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积分上限的函数的性质及其应用

则

F'(x)2f(x)f(t)dtf(x)f(x)[2f(t)dtf2(x)]f(x)G(x)00x3x，

由f(0)0 及f'(x)0得f(x)0，故F'(x)0。

[f(x)dx]f3(x)dxF(0)0F(x)0(0x1)F(1)10又，所以，，则0。

121例4.3（Schwarz不等式）若f(x)和g(x)在[a，b]内连续，则

(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dxaaab2b2b。

证：令

F(x)f(t)dtg(t)dt(f(t)g(t)dt)aaax2x2x2，

则

F'(x)f(x)g(t)dtg(x)f(t)dt2f(x)g(x)f(t)g(t)dtaaa2x22x2x

[f2(x)g2(t)2f(x)g(x)f(t)g(t)f2(t)g2(x)]dtax

[f(x)g(t)f(t)g(x)]2dt0ax

即(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dxaaab2b2b从而（Fx)在[a,b]单调递增，故有F(b)F(a)，。

4.3积分上限函数在计算累次积分中的应用

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积分上限的函数的性质及其应用

例4.4 求值：

20dx2xsinydyy

解：令

g(x)sinydyy2，则它是积分上限x的函数。

x因为

sinyf(y)y1y0[0,]y0[0,2]g(x)在上连续，则在2上可导。

sinxg'(x)x1且有

x0x0,g()0,g(0)202sinydyy存

20dx2x2g(x)dxxg(x)22xg'(x)dxsiny00dy0y

2g()220sinxdx2sinxdx1cos10x2。

4.4积分上限函数在证明微分中值定理中的应用

例4.5 （Lagrange中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可

'f(b)f(a)= f()(ba)存在。 (ab)导,那么在区间内至少存在一点,使

'f(b)f(a)f()(ba)中的换成t，得： 证明：把

[f(b)f(a)]f'(x)(ba)0

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积分上限的函数的性质及其应用

x[a,b],将上式两边取积分有[f(b)f(a)f'(t)(ba)]dt0ax，积分得：

[f(b)f(a)](xa)[f(x)f(a)](xa)0。

令(x)[f(b)f(a)](xa)[f(x)f(a)](xa)，显然(b)(a)0，且(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，即(x)满足罗尔定理条件，则至少存在一点

(a,b),使'(x)0,而'(x)[f(b)f(a)]f'(x)(ba)，则至少存在一点使[f(b)f(a)]f'()(ba),(ab)成立。

4.5积分上限函数在证明积分中值定理中的应用

（a,b)使例4.6（积分中值定理）若f(x)和g(x)在[a,b]内连续,且g(x)不变号，则存在baf(x)g(x)dxf()g(x)dxab。

证明：作

F(x)f(x)g(x)dxg(x)dxg(x)dxf(x)g(t)dtaaaabxbx，则F(x)在

[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且F(a)F(b)0，由罗尔定理，存在(a,b)，使F'()0，从

而

F'(x)f(x)g(x)dxg(x)g(x)dxf(x)g(x)aabb，

F'(x)f(x)g(x)dxg()g(x)dxf()g()0aabb，

因为g(x)不变号，所以G()0,则a'bf(x)g(x)dxf()g(x)dxab。

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积分上限的函数的性质及其应用

参考文献

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[5] 梅顺治，刘富贵.高等数学方法与应用[M].北京：科学出版社，2002。

[6] 赵连成.积分上限函数的研究[J].内蒙古民族师范学报（自然科学版），1999，（2）：113-116。

[7] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002。

致谢：本论文的完成，首先要感谢张云指导教师的辛勤指导与精心批阅，同时也感谢在论文写作期间同学的支持与帮助，在此我表示深深的谢意！

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