一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列扑克牌中，中心对称图形有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．购买一张体育彩票，中奖 B．太阳从东边升起 C．2019年元旦是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3．（4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠C的度数为（ ）
A．116° B．58° C．42° D．32°
4．（4分）如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（ ） A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
5．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A、B为圆心， AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B．2 C． D．2
6．（4分）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A．30厘米、45厘米 C．80厘米、120厘米
B．40厘米、80厘米 D．90厘米、120厘米
7．（4分）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°
8．（4分）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
10．（4分）今有一副三角板如图，中间各有一个直径为2cm的圆洞，现用三角板a的30°角那一头插入三角板b的圆洞中，则三角板a通过三角板b的圆洞那一部分的最大面积为（ ）cm2（不计三角板厚度）
A． B． C．4 D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，则tanB的值是 ．
12．（5分）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同．从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球 个．
13．（5分）如图，AB、BC是⊙O的弦，∠ABC＝90°，OD、OE分别垂直AB，BC于点D、E，若AD＝3，CE＝4，则⊙O的半径长为 ．
14．（5分）a，b，c是实数，点A（a﹣1，b），B（a﹣2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，则b，c的大小关系是：b c（用“＞”或“＜”号填空）．
15．（5分）如图所示，△ABC是边长为9cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为 cm2．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣3与x轴交于点
A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，
，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是
y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是 ．
三、解答题（共80分）
17．（8分）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件 ，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．
19．（8分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积； （2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
21．（10分）如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为（1，0） （1）求点D坐标；
（2）将抛物线y＝x2适当平移，使得平移后的抛物线同时经过点B与点D，求平移后抛物线解析式，并说明你是如何平移的．
22．（12分）如图，∠MAN＝30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，6为半径作⊙O交AN于D、E两点．
（1）当⊙O与AM相切时，求AD的长；
（2）如果AD＝3，判断AM与⊙O的位置关系？并说明理由．
23．（12分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．
24．（14分）如图，半径为4且以坐标原点为圆心的圆O交x轴，y轴于点B、D、A、C，过圆上的动点P（不与A重合）作PE⊥PA，且PE＝PA（E在AP右侧）． （1）当P与C重合时，求出E点坐标； （2）连接PC，当PC＝5时，求点P的坐标； （3）连接OE，直接写出线段OE的取值范围．
2018-2019学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列扑克牌中，中心对称图形有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：①③是中心对称图形． 故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．购买一张体育彩票，中奖 B．太阳从东边升起 C．2019年元旦是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断． 【解答】解：A．购买一张体育彩票，中奖是随机事件； B．太阳从东边升起是必然事件； C．2019年元旦是晴天是随机事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件； 故选：B．
【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事
件．
3．（4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠C的度数为（ ）
A．116° B．58° C．42° D．32°
【分析】由AB是⊙O的直径，推出∠ADB＝90°，再由∠ABD＝58°，求出∠A＝32°，根据圆周角定理推出∠C＝32°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝58°， ∴∠A＝32°， ∴∠C＝32°． 故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，余角的性质，关键在于推出∠A的度数，正确的运用圆周角定理．
4．（4分）如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（ ） A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
【分析】根据题意列出一元二次方程．
【解答】解：设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为故选：A．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，理解黄金分割的概念是解题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别
，
以点A、B为圆心， AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】利用勾股定理求得AB＝4＝2
，由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝AE＝BD＝BF
，再根据阴影部分周长＝2×（EC+弧DE的长）计算可得．
【解答】解：∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB＝4
，
又点D是AB中点， ∴AD＝BD＝2
，
，
+
π，
由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝AE＝BD＝BF＝2则阴影部分周长为2×（4﹣2故选：C．
+
）＝8﹣4
【点评】本题考查弧长的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（4分）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A．30厘米、45厘米 C．80厘米、120厘米
B．40厘米、80厘米 D．90厘米、120厘米
【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，根据相似的性质
＝
＝
；
若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，根据相似的性质得
＝
＝
；
若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，根据相似的性
质得＝＝，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可．
【解答】解：①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，根据题意得：
＝
＝
解得x＝90，y＝120；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米， 根据题意得：
＝
＝
，
解得x＝40，y＝80
设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米， 根据题意得：
＝
＝
，
解得x＝30，y＝45． 故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．利用分类讨论的思想解决此题．
7．（4分）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°
【分析】设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数．
【解答】解：如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝30°，
∴当点D在射线BC上方是时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°， 当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，
故选：B．
【点评】本题主要考查切线的性质和旋转的性质，利用过切点的半径与切线垂直求得∠OBD的度数是解题的关键，注意分类讨论． 8．（4分）已知线段a，b，c，求作线段x，使
，下列作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的性质一一分析． 【解答】解：A、根据平行线的性质得B、根据平行线的性质得C、根据平行线的性质得D、根据平行线的性质得故选：D．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法．
9．（4分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
，故x＝，故x＝故x＝
，故x＝
，故此选项错误；
，故此选项错误； ，故此选项错误； ，故此选项正确．
A．193 B．194 C．195 D．196
【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案． 【解答】解：∵AB＝m米， ∴BC＝（28﹣m）米．
则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m． 即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）． 由题意可知，解得6≤m≤13．
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大， ∴当m＝13时，S最大值＝195， 即花园面积的最大值为195m2． 故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与m的函数关系式是解题关键．
10．（4分）今有一副三角板如图，中间各有一个直径为2cm的圆洞，现用三角板a的30°角那一头插入三角板b的圆洞中，则三角板a通过三角板b的圆洞那一部分的最大面积为（ ）cm2（不计三角板厚度）
，
A． B． C．4 D．
【分析】先要作出几何图形，把不规则的几何图形转化为规则的图形，利用特殊角计算边和面积．
【解答】解：如图，
OA＝OB＝1，∠C＝30°，OA⊥AC，OB⊥BC．
过A作AD⊥BC于D，作OF⊥AD于F，延长BO交CA于E． 则∠1＝∠2＝30°，所以OF＝，AF＝∴AD＝1+
，则CD＝
AD＝+，OE＝
；
．
．
，CB＝2+，BE＝1+
在直角△OAE中，AE＝∴S△CBE＝×（2+S△OAE＝×1×
＝
）（1+，
）＝2+，
所以四边形OACB的面积＝2+故选：A．
﹣＝2．
【点评】学会把实际问题抽象为几何问题，作出几何图形．同时也要学会把不规则的几何图形面积的计算问题转化为规则的几何图形面积问题．充分利用含30度角的直角三角形三边的关系进行计算．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，则tanB的值是 ．
【分析】直接利用锐角三角函数的定义得出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝8， ∴tanB＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（5分）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同．从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球 18 个．
【分析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是12个红球， 设有x个白球， 则
＝，
＝，口袋中有
解得：x＝12，
答：袋中大约有白球18个． 故答案为：18．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
13．（5分）如图，AB、BC是⊙O的弦，∠ABC＝90°，OD、OE分别垂直AB，BC于点D、E，若AD＝3，CE＝4，则⊙O的半径长为 5 ．
【分析】连接OB，由OD⊥AB，OE⊥BC知∠ODB＝∠OEB＝90°，AD＝BD＝3，CE＝BE＝4，再证四边形ODBE是矩形得OD＝BE＝4，继而根据勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，连接OB，
∵OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠OEB＝90°，AD＝BD＝3，CE＝BE＝4，
∵∠ABC＝90°， ∴四边形ODBE是矩形， ∴OD＝BE＝4， 则OB＝
＝
＝5，
∴⊙O的半径长为5， 故答案为：5．
【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理及矩形的判定与性质，勾股定理等知识点．
14．（5分）a，b，c是实数，点A（a﹣1，b），B（a﹣2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，则b，c的大小关系是：b ＜ c（用“＞”或“＜”号填空）．
【分析】根据点A（a﹣1，b），B（a﹣2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，即可得到b﹣c的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（a﹣1，b），B（a﹣2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上， ∴
∴b﹣c＝﹣3＜0， ∴b＜c， 故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．（5分）如图所示，△ABC是边长为9cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为 cm2．
，
【分析】先求出等边△ABC的面积，先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的性质求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC是边长为9cm的等边三角形， ∴S△ABC＝9×
÷2＝
（cm2）．
∵EH∥FG∥BC，AB被截成三等分， ∴S△AEH：S△AFG：S△ABC＝1：4：9，
∴S△AEH：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5， ∴图中阴影部分的面积
cm2．
【点评】本题结合矩形的性质联想到三角形相似或平行线分线段成比例定理，是解决本题的关键．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方． 16．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝
﹣3与x轴交于点
A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，
，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是
） ．
y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是 （0，6）或P（0，﹣
【分析】过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E（0，t），则OE＝t，则F（6，4t），将点F的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值，最后，依据cot∠FAB＝
的值；然后求
得cot∠DAB＝，则∠FAB＝∠DAB．当点P在AF的上方时可证明PF∥AB，从而可求得点P的坐标；当点P在AF的下方时，设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG，从而可求得m的值，然后再求得PF的解析式，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：过点F作FM⊥x轴，垂足为M．
设E（0，t），则OE＝t． ∵∴
＝， ＝
＝．
∴F（6，4t）．
将点F（6，4t）代入y＝x2﹣x﹣3得：×62﹣3×6﹣3＝0，解得t＝． ∴cot∠FAB＝∵y＝
＝．
﹣3＝（x+2）（x﹣4）．
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
易得抛物线的对称轴为x＝1，C（0，﹣3）． ∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴D（2，﹣3）． ∴cot∠DAB＝， ∴∠FAB＝∠DAB． 如下图所示：
当点P在AF的上方时，∠PFA＝∠DAB＝∠FAB， ∴PF∥AB， ∴yP＝yF＝6．
由（1）可知：F（6，4t），t＝． ∴F（6，6）．
∴点P的坐标为（0，6）．
当点P在AF的下方时，如下图所示：
设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG， ∴（6﹣m）2+62＝（m+2）2，解得：m＝∴G（
，0）．
，
设PF的解析式为y＝kx+b，将点F和点G的坐标代入得：，
解得：k＝∴P（0，﹣
，b＝﹣）．
．
综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣故答案是：（0，6）或P（0，﹣
）．
）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（共80分）
17．（8分）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图． 【分析】（1）根据概率的意义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵共有3个球，2个白球， ∴随机摸出一个球是白球的概率为；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种， 所以，P（两次摸出的球都是白球）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件 ∠CDE＝∠A ，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．
【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．
【解答】解：添加条件为：∠CDE＝∠A， 理由：∵∠C＝∠C， ∠CDE＝∠A， ∴△CDE∽△CAB． 故答案为：∠CDE＝∠A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
19．（8分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）
【分析】如图作AH⊥CN于H．想办法求出BH、CH即可解决问题； 【解答】解：如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5﹣2.5＝8（m）， ∴AH＝BH＝8（m）， 在Rt△AHC中，tan65°＝∴CH＝8×2.1≈17（m）， ∴BC＝CH﹣BH＝17﹣8＝9（m），
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积； （2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
，
【分析】（1）连接OE，先利用等腰三角形的性质求出∠BOE＝120°，∠OBE＝30°，根据AB＝8知OB＝4，依据S阴影＝S扇形AOE+S△BOE计算可得．
（2）由AB是⊙O的直径知∠BEA＝90°，根据∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°得∠EBC＝∠CAD，据此求解可得．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AC， ∴∠BAC＝60°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∴∠OBE＝30°， ∵AB＝8， ∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝
（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠CAD， ∴∠CAB＝2∠EBC．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积公式．
21．（10分）如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为（1，0） （1）求点D坐标；
（2）将抛物线y＝x2适当平移，使得平移后的抛物线同时经过点B与点D，求平移后抛物线解析式，并说明你是如何平移的．
+×2×4
＝π+4
；
【分析】（1）根据题意得出A点坐标，进而得出D点坐标；
（2）设平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣h）2+k，把B，D点代入求出答案． 【解答】解：（1）∵B（1，0），点A在抛物线y＝x2上， ∴A（1，1），
又∵正方形ABCD中，AD＝AB＝1， ∴D（2，1）；
（2）设平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣h）2+k，把（1，0），（2，1）代入得： 则
，
解得：，
∴平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2， ∴抛物线向右平移1个单位得到．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正确得出各点坐标是解题关键．
22．（12分）如图，∠MAN＝30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，6为半径作⊙O交AN于D、E两点．
（1）当⊙O与AM相切时，求AD的长；
（2）如果AD＝3，判断AM与⊙O的位置关系？并说明理由．
【分析】（1）设出AM与⊙O的交点为B，并连接OB，再根据∠MAN＝30°求出AO长，进而求出AD．
（2）过点O作OF⊥AM于F，利用三角函数解答即可．
【解答】解：（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB； 在△AOB中，∠MAN＝30°， 则AO＝2OB＝12， 所以AD＝AO﹣OD， 即AD＝6．
（2）AM与⊙O相交，理由如下： 如图2，过点O作OF⊥AM于F， ∴∠AFO＝90°， ∴sinA＝
，
∴OF＝OA•sinA， ∵AD＝3，DO＝6，
∴AO＝AD+DO＝9，且∠MAN＝30°， ∴OF＝9•sin30°＝4.5＜6， ∴AM与⊙O相交．
【点评】本题考查了切线的性质和直角三角形的性质，关键是根据∠MAN＝30°求出AO长．
23．（12分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 相等 ； （2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．
【分析】（1）①①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN＝∠ABM＝45°，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，解得n＝1，n＝0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；
②因为抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，所以抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）根据抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，所以抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，
所以抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y＝ax2中，得到
．
，化简得mn﹣4m﹣
（3））根据y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，得到
1＝0，抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为
，mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），所以
【解答】解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，
，代入抛物线y＝mx2，得
，所以
．
∵△AMB为等腰直角三角形， ∴∠ABM＝45°， ∵AB∥x轴，
∴∠BMN＝∠ABM＝45°， ∴∠MBN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BMN＝∠MBN， ∴MN＝BN，
设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2， 得n＝n2，
∴n＝1，n＝0（舍去）， ∴B（1，1） ∴MN＝BN＝1， ∴MB＝∴MA＝MB＝
＝，
，
在Rt△AMB中，AB＝＝2，
∴抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝2． ②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等； 故答案为：相等．
（2）∵抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同， ∴抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等， ∵抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4， ∴抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4， ∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2）， 把点B代入y＝ax2中， ∴
．
（3）∵y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1， ∴
，
∴mn﹣4m﹣1＝0，
∵抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n， ∴抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n， ∴B点坐标为
，
，
∴代入抛物线y＝mx2，得
∴mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去）， ∴∴
， ．
【点评】本题考查了二次函数，解决本题的关键是理解“完美三角形”的定义，利用勾股定理，求出点B的坐标．
24．（14分）如图，半径为4且以坐标原点为圆心的圆O交x轴，y轴于点B、D、A、C，过圆上的动点P（不与A重合）作PE⊥PA，且PE＝PA（E在AP右侧）． （1）当P与C重合时，求出E点坐标；
（2）连接PC，当PC＝5时，求点P的坐标； （3）连接OE，直接写出线段OE的取值范围．
【分析】（1）当P与C重合时，因为PE⊥PA，⊙O的半径为4，且PE＝PA（E在AP右侧），所以PE＝PA＝8，所以E点坐标为（8，﹣4）；
（2）作PF⊥AC于点F，证明△PCF∽△ACP，可求得CF长，在Rt△PFC中求得PF的长，进而得出点P的坐标；
（3）连结OP，OE，AB，BE，AE，证明△OAP∽△BAE，可得BE＝OB≤OE≤BE+OB，即可得出OE的取值范围． 【解答】解：（1）当P与C重合时，
∵PE⊥PA，⊙O的半径为4，且PE＝PA（E在AP右侧）， ∴PE＝PA＝8，
∴E点坐标为（8，﹣4）； （2）如图，作PF⊥AC于点F， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠CFP＝∠CPA＝90， ∵∠PCF＝∠ACP， ∴△PCF∽△ACP， ∴∴∴CF＝
， ， ，PF＝
，
，
）或（
，﹣
）；
，
，根据BE﹣
∴OF＝4﹣
∴点P的坐标为（
（3）如图，连结OP，OE，AB，BE，AE， ∵△AOB，△APE都为等腰直角三角形， ∴∠OAB＝∠PAE＝45°，∴∠OAP＝∠BAE， ∴△OAP∽△BAE， ∴∴BE＝
，
，
，
∵BE﹣OB≤OE≤BE+OB， ∴
≤OE≤
．
【点评】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质．解决（3）问的关键是得出点E的轨迹是一个圆．
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