Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ＩＳＳＮ １ｏｏ１—９０８１ ２０１５．１１．１０ 计算机应用，２０１５，３５（１１）：３２８０—３２８３ 文章编号：１００１—９０８１（２０１５）１１．３２８０．０４ ＣＯＤＥＮ ＪＹＩＩＤＵ ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ｃｎ ｄｏｉ：１０．１１７７２／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—９０８１．２０１５．１１．３２８０ 基于快速傅里叶变换的正弦信号频率高精度估计算法 樊磊 ，齐国清 （１．大连海事大学信息科学技术学院，辽宁大连１ １６０２６； ２．大连工业大学信息科学与工程学院，辽宁大连１ １６０３４） （ 通信作者电子邮箱ｆａｎｌｅｉ＠ｄｌｐｕ．ｅｄｕ．Ｃｒ１） 摘要：为了进一步提高加性高斯白噪声背景中正弦信号的频率估计精度，提出了一种新的基于插值快速傅里 叶变换（Ｆｒｒ）的正弦信号频率估计算法。首先，对』ｖ点正弦采样序列进行等长度时域补零延长，再进行２Ｎ点ＦＦＩ＇； 然后，搜索幅度最大离散谱线位置得到频率粗估计值；最后，采用幅度最大谱线以及原信号的离散时间傅里叶变换 （ＤＴＦｒ）在幅度最大谱线左右两侧的两点抽样值进行精估计。仿真结果表明，当信号实际频率位于ＦＦｒ两条离散谱线之 间任意位置时，所提算法的频率估计均方根误差均接近克拉美罗下限，具有较好的一致性，估计精度高于Ｃａｎｄａｎ算法、 Ｆａｎｇ算法、三谱线合理结合（ＲＣＴＳＬ）算法和Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ算法，且信噪比阈值较低，估计性能优于现有频率估计算法。 关键词：频率估计；快速傅里叶变换；正弦信号；离散时间傅里叶变换；数字信号处理 中图分类号：ＴＮ９１１．７２ 文献标志码：Ａ Ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｓｉｇｎａｌｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ＦＡＮ Ｌｅｉ ＇ ，ＱＩ Ｇｕｏｑｉｎｇ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｄａｌｉａｎ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １ １６０２６，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １ １６０３４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｕｓｏｉｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｗｈｉｔｅ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｎｏｉｓｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ，ａ ｎｅｗ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｓｉｇｎａｌｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ） ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｚｅｒｏｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ Ｎ ｗｅｒｅ ｐａｄｄｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｎｕｓｏｉｄ ｓａｍｐｌｅｄ ｄａｔａ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ Ｎ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ．Ｎｅｘｔ，２Ｎ— ｐｏｉｎｔ ＦＦｒ ｗａｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏａｒｓｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｗａｓ ｍａｄｅ ｂｙ ｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ｍａｘｉｍｕｍ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｆｉｎｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｗａｓ ｍａｄｅ ｂｙ ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ｍａｘｉｍｕｍ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｔｗｏ ｓａｍｐｌｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ—Ｔｉｍｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＤＴＦＴ）ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ ｏｎ ｔｈｅ ｌｅｔｆ ａｎｄ ｒｉｇｈｔ ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｉｎｅ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｏｏｔ ｍｅａｎ ｓｑｕａｒｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｔｈｅ Ｃｒａｍｅｒ—Ｒａｏ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｎａｇｌ￣ｅｑｕｅｎｅｙ ｌｏｃａｔｅｓ ａｎｙｗｈｅｒｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇ ＦＦＴ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｌｉｎｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｓ ｓｔａｂｌｅ．Ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｉｓ ｈｉｌｇｈｅｒ ｔｈａｎ Ｃａｎｄａｎ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ，Ｆａｎｇ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ，Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔｈｒｅｅ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ Ｌｉｎｅｓ（ＲＣＴＳＬ）ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ａｎｄ Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ．Ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ａｌｓｏ ｈａｓ ｌｏｗｅｒ ｓｉｇｎａｌ—ｔｏ—ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）；ｓｉｎｕｓｏｉｄ；Ｄｉｓｃｒｅｔｅ—Ｔｉｍｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＤＴＦＴ）； Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ（ＤＳＰ） ０ 引言 加性高斯白噪声背景中的正弦信号频率估计是数字信号 处理领域中的一个经典课题，目前在通信、雷达、声呐以及电 子对抗等领域得到了广泛应用。频率估计一般考虑３个因 由于ＦＦＴ得到的是离散频率值，可以将信号频率表示为 ｆ０＝（ ＋ △，ｏ其中： 是Ｆ ｎ’幅度最大谱线对应的离散频 率索引值；占表示信号频率与ＦＦＴ幅度最大谱线位置的相对 频率偏差，占∈［一０．５，０．５］；ａｆ是ＦＦＴ的频率分辨率。基于 插值ＦＦＴ的正弦信号频率估计主要分为两个步骤，粗估计和 素：频率估计精度、估计范围以及算法实现所需的运算量。文 献［１］中提出的最大似然估计法估计误差达到克拉美罗下限 （Ｃｒｍｅｒａ．Ｒａｏ Ｌｏｗｅｒ Ｂｏｕｎｄ，ＣＲＬＢ），是最优估计估计算法，但 精估计。其中粗估计通过搜索Ｆ兀１最大谱线完成，精估计借 助一定的插值算法得到信号真实频率与粗估计之间的相对频 率偏差，各种插值Ｆｒｒ算法的差异仅体现在精估计中。在正 是算法复杂，运算量大，无法实时处理。基于快速傅里叶变换 （Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＦＴ）的频率估计算法具有运算速度 快、对正弦信号有显著的信噪比增益等优点，适合对速度要求 高的实时处理系统，所以此类估计算法引起了国内外学者的 广泛关注 。 弦信号幅度和频率都未知的情况下，利用其ＦＦｒＩ’离散频谱主 瓣内幅度最大值和次大值可以解出正弦信号的频率（和幅 度） －５］。直接利用ＦＦＴ主瓣内两条谱线的幅度估计信号频 率算法简单、运算量小。但是，当信号实际频率与ＦＦｒ幅度 最大离散谱线对应的频率接近（６接近０）时，由于Ｆ丌主瓣 收稿日期：２０１５—０６—１８；修回日期：２０１５—０７—２３。 基金项目：国家８６３计划项目（２０１１ＡＡ１１０２０１）。 作者简介：樊磊（１９８０一），男，吉林长春人，讲师，博士研究生，主要研究方向：数字信号处理、信号检测与参数估计；齐国清（１９６０一），男 辽宁凌海人，教授，博士，主要研究方向：雷达、通信、图像信号处理。 第１１期 樊磊等：基于快速傅里叶变换的正弦信号频率高精度估计算法 ３２８１ 内次大谱线幅度很小、容易受噪声影响导致频率估计误差增 加 ｊ。因此，又出现了多种对其进行改进的方法 。文献 对 （ｎ）进行Ⅳ点时域补零延长得到 （ｎ），并进行２Ｎ点 ＦＦＴ，得到： Ｘ『 ］＝ ‘ ［７］中Ｊａｃｏｂｓｅｎ等提出利用ＦＦＴ频谱最大的三根谱线对频率 估计值进行校正，在低信噪比和ＦＦＴ点数较少时结果较好， 但估计精度不高。在文献［８］中Ｃａｎｄａｎ对Ｊａｃｏｂｓｅｎ算法的系 数进行了修正，提高了估计精度，但通过仿真实验发现，其估 计误差依然较大，不适合对精度要求较高的场合。在文献 ［９］中Ｃａｎｄａｎ对文献［８］的算法进行了改进消除了估计偏 Ａｅｊ ｅｊ ｅ－Ｊ￣ｋ： ＿１）（铀 ㈤ Ｘ［ｋ］幅度最大值处的离散频率索引值为ｋ ，根据ｘ（ｋ） 幅度最大值处的位置ｋ 可以得到信号频率的粗估计值为 △厂，ａｆ＝ｆ／（２Ｎ）为ＦＦＴ的频率分辨率，即相邻谱线间的 间隔。 差，改善了原估计算法在高信噪比时的性能，但其在低信噪比 时的频率估计均方误差仍明显高于ＣＲＬＢ。Ｆａｎｇ等在文献 ［１０］中提出，对Ⅳ点正弦采样序列进行Ⅳ点时域补零后，采 用２Ｎ点ＦＦＴ频谱中最大谱线相邻的两根谱线幅度对相对频 率偏差进行估计。在时域对原信号进行补零延长后，ＦＦＴ的 离散谱线之间的间隔变小，该方法利用２Ｎ点ＦＦＩ’离散频谱 中最大值左右两侧的谱线幅度估计信号频率，由于信号时域 补零延长后频谱主瓣变宽，Ｆ兀＇在主瓣内的谱线数增加，频谱 最大值左右两侧（离散频率值＋／一１）的谱线幅度比原来（信 号未延长）的Ⅳ点Ｆ丌主瓣内的第二大谱线更靠近最大谱 线、幅度更大，不容易受噪声影响，因而频率估计精度有所提 高。但该算法在相对频率偏差的整个取值范围内估计性能不 稳定。文献［１１］提出了三谱线合理结合（Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔｈｒｅｅ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ Ｌｉｎｅｓ，ＲＣＴＳＬ）算法，对Ⅳ点正 弦采样序列进行Ⅳ点时域补零后，根据最小二乘法估计思想， 采用２Ｎ点Ｆ兀’频谱中最大的三根谱线幅度对相对频率偏差 进行估计，估计精度高，算法复杂度较低。但ＲＣＴＳＬ算法在 推导过程中，用到的能量谱函数的一阶泰勒级数展开，省去了 高阶项，导致估计误差的产生。离散信号 （ｎ）的ＦＦＴ的离 散频谱 （ｋ）只出现在离散频率ｋ取整数值的位置。文献［１２］ 将其推广到离散频率ｋ取非整数值的情况，直接利用ＦＦｒ离 散频谱最大值左右离散频率值＋０．５处和一０．５处的频谱幅 度来求解信号频率。其基本思想也是尽量避免利用幅度很小 的ＦＦＴ系数，提高抗噪声干扰的性能，并通过多次迭代以降 低频率估计误差。该方法是现有估计算法中精度最高的，由 于每次迭代需要多次计算ＦＦｒ系数，增加了计算量。受文献 ［１０］和［１２］的启发，本文提出一种新的正弦信号频率估计算 法，在对原信号补零加长１倍进行２Ｎ点ＦＦｒ找到幅度最大 离散谱线位置后，直接计算原信号的离散时间傅里叶变换 （Ｄｉｓｃｒｅｔｅ・Ｔｉｍｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ＴｒａｎｓｆｏＦｉｎ，ＤＴＦＴ）在幅度最大离散谱线 位置＋０．５△ 一０．５ＡｆＯＵｌ２的抽样值，即 与 Ｉ。 ，并根据 、 和 ｍ 得到信号频率的估计值。由于这里的 和 比文献［１２］中的 和 更靠近原信号的ＤＴＦＩ＂的 幅度最大值，因此受噪声影响更小，在噪声背景中频率估计性 能比前述方法更好。 １ 本文算法 在不考虑噪声时，单一频率复正弦信号可表示为： （ｔ）＝Ａｅ ‘ ００ （１） 式中：Ａ、－厂、０ｏ分别为复正弦信号的幅度、频率和初相。 经过采样率为 ，采样点数为Ⅳ的采样后，信号的离散化 形式可以表示为： （ｎ）＝Ａ ｅｘｐ［ｊ（２１Ｔ（ ｌ／ ）ｎ＋ ）］；ｎ＝０，１，２，…，Ｎ一１ （２） 为了描述方便，将２Ｎ点ＦＦＴ系数表示为： ＝ ＋ｐ］：∑ （ｎ）ｅ （４） 其中：Ｐ表示与谱线峰值位置ｋ 的间隔。时域补零相当于频 域插值，所以ＦＦＴ频谱的谱线间隔减小为原来的１／２，此时的 谱线间隔代表的实际频率为ａｆ：ｆ／（２Ｎ）。而Ｆ丌’频谱的主 瓣宽度为 ／Ⅳ，为谱线间隔的４倍，ＦＦＴ频谱主瓣内出现４ 根谱线 、置、ｘ一 和 （或者是Ｘ 视６的情况而定）。 将ｆｏ＝（ｋ ＋８）Ｌ／（２Ｎ）代入式（３），并进行整理可以得 到： 一 ｒ王ｅｉＳ０ １一ｅＪ （５一 、 ， （５） 虽然幅度最大离散谱线 及相邻两根谱线 、 一，幅 度较大，且均包含了相对频率偏差６的信息，可以用来对 进 行估计。但是在ｌ ６ｌ：０．５附近时， 与 一。之一幅度比较 小，较容易受到噪声影响，导致估计误差较大。虽然离散信号 （ ）的２Ｎ点Ｆ丌的离散频谱Ｘ［ｋ］只出现在离散频率 取 整数值的位置，但为了进一步减小估计误差，可以考虑采用幅 度最大离散谱线 以及 （ｎ）的ＤＴＦＴ在 位置＋０．ｓａｙ和 一０．５ａｆ处的抽样值来对占进行估计。 （ｎ）的ＤＴ 在 位 置＋０．ｓａｙ和一０．５ａｆ处的抽样值表示如下 （ｅ ）Ｉ，：（ｋｍ￣Ｏ．５） ＝ＤＴＦＴ［ｘ （ｎ）］Ｉ，：（ ５） ＝ ∑ ）ｅ书 ¨） ＝Ｘ （６） 根据ＤＴＦＴ与Ｆ订的关系，上式中的两个抽样值，就是按 照式（４）计算的 ． 和 ｍ 。如图１所示，在无噪声情况下， （ｎ）的ＤＴＦＴ幅度谱为图中的实线包络，其峰值对应频率 为信号频率，，幅度最大离散谱线 对应离散频率索引值为 ｋ （图中ｋ ＝４）。从图中可以看出，Ｘ０ ５和 Ｉｎ ５比 ｌ和 一。距 离幅度最大离散谱线 更近，幅度也更大，更不容易受到噪 声影响。 一Ｉ ｉ ￣＼Ｉ ０．５ ｌ ｉｌＶ Ｉ ３２８２ 计算机应用 第３５誊 很倨又献Ｌ１２ｊ当Ｎ阴职值远大于叮ｒ（６一Ｐ）时，ｅ １＋ｊ （占一ｐ）／Ｎ，式（５）可表示为： ＝ （７） 其中 ａｅＪａＯ＝ （１一ｅ ｐ ） （８） 分别计算ｂ 、ｂ 和ｂ。如下： ＝等（１ ｍ ５ ）＝ ａｅｉ％（１一ｊｅｂｒ￣） ａｅＪＯＯ（１一ｅ 。・５ ）＝ ａｅＪｅｏ（１： ＋ｊｅｊ￣） ６。＝ａ ｅＪ￣Ｏ（１－ｅ，们） 于是有： ｎ一。 一６５＝ ＋．０ ５＝ 一２等 导竹 ６＋．０ ５ （９）， ＡＶ０．５ —６一．＝ ０ ５ 一２＝筹 静 盯 占一．０ ５ （１０）Ａ０ｖ： —６ —２： １Ｔ 占 （１１）整理后可以得到： ： ６０ ５ ． １一ｅＪ们 （１一． 、 ２）Ｘｔｆ．５一： ．Ｌ （１３）Ｘ ｏ 占＋０．５ １一ｅ 对式（１２）、式（１３）进行整理得到： 等（－一 ）一 们［等（ｔ一警）＋ ］ ｃ１４） Ｘ ｏ．５（・＋警）一ｅｊ稍［Ｘ －ｏ．５【［ １＋）一ｊ］（１５） Ｘ０ （６—０．５）一Ｘｏ８ Ｘｏ．５（６—０．５）＋ｊＸｏ６ Ｘ（占＋０．５）一 ｏ６一Ｘ ｏ６） ．ｏ ５５（６＋０．５）一ｊＸｏ８ （１可以得到６的估计表达式 一（＝ １ ｊ ）Ｘｏ ５一（＋ｊ）１ ｍ ５＋ ２ｊＸｏ ， 一由于噪声的影响，式（１７）右边的表达式的计算结果可能 存在虚部。为了保证得到的５是实数，对式（１７）右边的表达 式取实部，得到： 言：Ｒｅａｌ￣Ｌ（１一ｊ）蜀５一（１＋ｊ） ： ！： ： 一０．５＋２ｊ％Ｊｌ （１８） 于是得到信号频率的估计表达式： ｆ＝（ｋ ＋６） （１９） 为了进一步提高估计精度，可以采用本文算法对上述频 率估计结果进行修正。首先采用本文算法对信号频率进行估 计，得到相对频率偏差６的初步估计值８。，令ｋ ＝ｋ ＋占 。 此时ｋ △，接近信号实际频率，’ ．＋。 ．与 －一ｏ ．的幅度均较 大，且二者幅度很接近，不容易受到噪声影响。接着在式（４） 中用ｋ 取代ｋ ，采用本文算法得到６的估计值占：，用占：对初 步估计值占 进行修正。则信号频率的估计表达式如下： ｆ＝（ｋ ＋６ ｌ＋６ ２）△厂 （２０） 上述算法步骤如下： １）对Ⅳ点的采样序列 （ｎ）进行Ｊ７、ｒ点时域补零延长； ２）进行２Ｎ点ＦＦＴ，得到Ｘ［ ］； ３）搜索最大谱线位置，将 作为信号频率的粗估计 值； ４）采用本文算法，根据式（１８）得到相对频率偏差艿的初 步估计值 ； ５）按式（４）计算 、 ｍ ５与 ．５； ６）采用本文算法，将 、 。ｍ ５与 ．５代人式（１８）， 得到６ 的修正估计值占：； ７）根据式（２０）得到信号频率最终估计值。 ２仿真实验及性能分析 为了验证上面提出的新的频率估计算法的性能，本章通 过计算机Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟实验进行仿真，并与Ｃａｎｄａｎ算 法 、Ｆａｎｇ算法 。。、ＲＣＴＳＬ算法㈨以及Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ算法㈦ 进行比较。在不补零的ＦＦＩ１插值算法中，Ｃａｎｄａｎ算法的性能 是最优的 ｊ，所以只选择与这一种不补零的Ｆｒｒ插值算法进 行比较。这几种算法对６的估计表达式如下所示。 Ｃａｎｄａｎ算法 ｊ： ＝ ｔａｎ（￣，ＮＩＮ）Ｒｅ…一ｆＸ（．ｊ｝ 一１）一Ｘ（Ｊｉ｝ ＋１） 一ａ１｛ ２Ｘ（ｋ ）一Ｘ（ｋ 一１）一 （ｋ ＋１） Ｆａｎｇ算法 。。： 占＝ 二！ 二 ！ ＋Ｉ （ｋ 一１） ＲＣＴＳＬ算法 ： 占＝ Ⅳ Ｉ （ｋ ＋１）Ｉ 一Ｉ （ 一１）Ｉ ｎ（１ Ｘ（ｋ ＋１）Ｉ ＋ｌ Ｘ（ 一１）Ｉ。）＋ Ｉ Ｘ（后 ）Ｉ。’ ６４Ｎ ｕ叮Ｔ “ Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ迭代算法 ： 设定６估计初值占。＝０，ｉ＝１：Ｑ，迭代Ｑ次 （ｎ）ｅｘＰ｛－ｊ （ ＋ ＋ｐ）ｎ｝；Ｐ ±０＿５ １ Ｒｅａｌ｛ ｝ 加性高斯白噪声背景中的单一频率复正弦信号为： （ｔ）＝ＡｅＪ（２ｗ＇￣＋ｏｏ ＋ｗ（ｔ） （２１） 其中Ｗ（ｔ）是方差为 的高斯复白噪声，其均值为０。信噪比 定义为ＳＮＲ＝Ａ ／ｔｒ 。对于复正弦信号，在幅度、频率、相位３ 个参数都未知的情况下，频率估计的克拉美罗方差下限… 为： ａｒｉｎ （厂。） ｊ （２２） 当Ｎ＝５１２，ＳＮＲ＝３ ｄＢ，ｆｏ＝（Ｎ／４＋ 时，本文算法 及前述几种算法频率估计的均方根误差（Ｒｏｏｔ Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｅｒｒｏｒ，ＲＭＳＥ）与ＣＲＬＢ的比值随相对频率偏差占的变化情况 如图２所示，其中６为进行时域补零延长后的相对频率偏差。 从图中可以看出，Ｆａｎｇ算法 与ＲＣＴＳＬ算法 “ 在６的整个 第ｌｌ期 樊磊等：基于快速傅里叶变换的正弦信号频率高精度估计算法 ３２８３ 取值范围内估计性能不稳定，当在ｌ占ｆ＝０．５附近时，由于２Ｎ 能优于几种最新的基于Ｆ盯幅度插值的频率估计算法。与 点ＦＦＴ频谱中最大谱线相邻的两根谱线之一幅度比较小，较 容易受到噪声影响，导致估计误差较大（对于ＲＣＴＳＬ算法， Ｉ ｆ：０．５时除外）。除了当ｆ占ｆ＝０．５时，本文算法频率估 计的ＲＭＳＥ在６的整个取值范围内比其他算法更近接近 ＣＲＬＢ，且性能稳定。Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ迭代算法 的频率估计精度 在其他算法中是最高的，本文算法的估计精度高于 Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ迭代算法。 相对频率偏差 图２几种算法的ＲＭＳＥ随６的变化情况 当Ｎ＝１２８，ｆｏ＝（Ｎ／４＋８）Ｌ／Ｎ，６均匀分布在［一０．５， ０．５］上时，本文算法及前述几种算法的ＲＭＳＥ随ＳＮＲ的变化 情况如图３和图４所示。从图中可以看出，Ｃａｎｄａｎ算法 的 频率估计精度明显低于其他算法。本文算法的信噪比阈值与 Ｆａｎｇ算法以及ＲＣＴＳＬ算法相同，约为一７ ｄＢ，低于Ｃａｎｄａｎ算 法和Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ迭代算法。 信噪比／ｄＢ 图３几种算法的ＲＭＳＥ随信噪比变化情况 信噪比／ｄＢ 图４几种算法的ＲＭＳＥ随信噪比变化情况 ３ 结语 本文提出了一种新的基于插值ＦＦＴ的正弦信号频率估 计算法，利用补零加长Ｆｆｖｒ频谱中的幅度最大谱线以及原信 号的ＤＴＦＴ在幅度最大谱线左右两侧的两点抽样值得到正弦 信号频率的估计公式。仿真结果表明，该算法的频率估计性 Ｃａｎｄａｎ算法相比，本文算法的频率估计ＲＭＳＥ明显更低，信 噪比阈值也更低。与Ｆａｎｇ算法以及ＲＣＴＳＬ算法相比，本文 算法的性能具有较好的一致性。不论实际信号频率位于ＦＦｒ 两条离散谱线之间的什么位置，频率估计ＲＭＳＥ都接近 ＣＲＬＢ，而Ｆａｎｇ算法和ＲＣＴＳＬ算法当ｆ ６ ｆ接近０．５时，其 ＲＭＳＥ明显高于ＣＲＬＢ（对于ＲＣＴＳＬ算法，ｆ６Ｉ＝０．５时除 外）。与Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ迭代算法相比，本文算法采用的 和 ＿ｎ ５比Ａｂｏｕｔａｎｉｏｓ迭代算法中的 ．５和 ５更靠近原信号 的ＤＴＦＴ的幅度最大值，受噪声影响更小，因此频率估计 ＲＭＳＥ更低，信噪比阈值也更低。虽然补零延长后进行ＦＦＴ 以及计算原信号的ＤＴＦＴ的抽样值增加了一些运算量，但带 来的好处是更高的估计精度和更好的抗噪性能。该算法适用 于对估计精度要求较高的场合。 参考文献： ［１】 ＲＩＦＥ Ｄ Ｃ，ＢＯＯＲＳＴＹＮ Ｒ Ｒ．Ｓｉｎｇｌｅ－ｔｏｎｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｄｉｓｃｒｅｔｅ－ｔｉｍｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ【Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，１９７４，１２０（５）：５９１—５９８． 【２１ ＲＩＦＥ Ｄ Ｃ，ＶＩＮＣＥＮＴ Ｇ Ａ．Ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ａｎｄ ｌｅｖｅｌｓ ｏｆ ｔｏｎｅｓ［Ｊ】．Ｂｅｌｌ Ｓｙｓｔｅｍ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９７０，４９（２）：１９７—２２８． ［３】 ＪＡＩＮ Ｖ Ｋ，ＣＯＬＬＩＮＳ Ｗ Ｌ，ＤＡＶＩＳ Ｄ Ｃ．Ｈｉｇｈ－ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎａｌｏｇ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｖｉａ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ ＦＦＴ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎ－ ｓｔｎｒｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，１９７９，２８（２）：１ １３—１２２． ［４】 ＱＵＩＮＮ Ｂ Ｇ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｂｙ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｃｏ－ ｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ［Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９４，４２ （５）：１２６４—１２６８． ［５］ ＱＵＩＮＮ Ｂ Ｇ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ＤＦＴ ｏｆ ａ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ【Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， １９９７．４５（３、：８１４—８１７． ［６】 ＱＩ Ｇ，ＪＩＡ Ｘ．Ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｕｓｏｉｄ ｂａｓｅｄ ｏｆｆ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ ＦＦＴ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｅｌｅｃｔｏｒｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００４，３２ （４）：６２５—６２９．（齐国清，贾欣乐．插值ＦＦＴ估计正弦信号频率 的精度分析［Ｊ］．电子学报，２００４，３２（４）：６２５—６２９．） ［７】 ＪＡＣＯＢＳＥＮ Ｅ，ＫＯＯＴＳＯＯＫＯＳ Ｐ．Ｆａｓｔ，ａｃｃｕｒａｔｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａ． ｔｏｒｓ【Ｊ］，ＩＥＥＥ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｍａｇａｚｉｎｅ，２００７，２４（３）：１２３— １２５． ［８】 ＣＡＮＤＡＮ Ｃ．Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｉｆｎｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｖ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｒｅｅ ＤＦＴ ｓａｍｐｌｅｓ［Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１ １，１８ （６）：３５１—３５４． ［９］ ＣＡＮＤＡＮ Ｃ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ｎｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ． ｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｒｏｍ ｔｈｒｅｅ ＤＦＴ ｓａｍｐｌｅｓ【Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｓｉｎｇａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１３，２０（９）：９１３—９１６． ［１０］ ＦＡＮＧ Ｌ，ＤＵＡＮ Ｄ，ＹＡＮＧ ＬＪ Ａ ｎｅｗ ＤＦＴ ｂａｓｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉ— ｍａｔｏｒ ｆｏｒ ｓｉｎｇｌｅ—ｔｏｎｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｓｉｇｎａｌｓ［Ｃ］／／ＭＩＬＣＯＭ ２０１２：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２０１２ ＩＥＥＥ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｃｏｎ． ｆｅｒｅｎｅｅ．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ：ＩＥＥＥ，２０１２：１—６． ［１ １］ ＹＡＮＧ Ｃ，ＷＥＩ Ｇ．Ａ ｎｏｎｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔ０ｒ ｗｉｔｈ ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｉｎｅｓ［Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇ． ｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１ １，５９（１０）：５０６５—５０７０． ［１２］ ＡＢＯＵＴＡＮＩＯＳ Ｅ，ＭＵＬＧＲＥＷ Ｂ．ｈｅｒａｔｉｖｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｖ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｂｖ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ【Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇ． ｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，５３（４）：１２３７—１２４２．