一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
如图是由五个相同的小正方块搭成的几何体，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.
一元二次方程：𝑀：结论：
; 𝑁：
，其中𝑎𝑐≠0，𝑎≠𝑐，以下四个
①如果方程𝑀有两个不相等的实数根，那么方程𝑁也有两个不相等的实数根；
②如果方程𝑀有两根符号相同，那么方程𝑁的两根符号也相同；
③如果𝑚是方程𝑀的一个根，那么
是方程𝑁的一个根；
④如果方程𝑀和方程𝑁有一个相同的根，那么这个根必是正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 用配方法解一元二次方程𝑥2−6𝑥−8=0，下列变形正确的是( )
A. (𝑥−6)2=−8+36 C. (𝑥−3)2=8+9
B. (𝑥−6)2=8+36 D. (𝑥−3)2=−8+9
4. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐷，𝐸.若𝐴𝐸=3，𝐸𝐶=6，
则𝐴𝐵的值为( )
𝐴𝐷
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 下列说法正确的是( )
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨 B. “抛一枚硬币反面朝上的概率为”表示每抛2次就有1次反面朝上
C. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是5的概率为6”表示随着抛掷次数的增加，“抛出
朝上的点数是5”这一事件发生的频率稳定在6左右
1
1
111
1
D. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
6. 对于方程𝑥2−2|𝑥|+2=𝑚，如果方程实根的个数为3个，则𝑚的值等于( )
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
7. 将一张长宽分别为4𝑐𝑚和2𝑐𝑚的长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷按如图方式折
𝐶分别落在长方形纸片内的点𝐴′，𝐶′处，𝐷𝐹叠，使点𝐴，折痕𝐵𝐸，𝐵𝐶于点𝐸，𝐹(0𝑐𝑚<𝐴𝐸<2𝑐𝑚)，且满足△𝐴′𝐵𝐸≌△分别交𝐴𝐷，
𝐶′𝐷𝐹.喜欢探究的小明通过独立思考，得到两个结论：①当点𝐸，
𝐴′，𝐶′，𝐹在一条直线上时，𝐴′𝐸=3𝑐𝑚；②当∠𝐴𝐸𝐵=60°时，四边形𝐴′𝐸𝐶′𝐹是菱形．下列判断正确的是( )
2
A. ①正确，②错误 C. ①，②都正确
B. ①错误，②正确 D. ①，②都错误
𝑘
8. 若点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)在反比例函数𝑦=𝑥(𝑘<0)的图象上，且𝑦1>0>𝑦2>𝑦3，
则下列各式正确的是( )
A. 𝑥1<𝑥2<𝑥3 B. 𝑥2<𝑥1<𝑥3 C. 𝑥1<𝑥3<𝑥2 D. 𝑥3<𝑥2<𝑥1
以平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的一边𝐴𝐵为直径作⊙𝑂，若⊙𝑂过点𝐶，且∠𝐴𝑂𝐶=70°，则∠𝐴等于( ) 9. 如图，
A. 145° B. 140° C. 135°
𝑘
𝑘
D. 120°
𝑘
的值10. 如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点分别在反比例函数𝑦=𝑥1和𝑦=𝑥2的图象上，若∠𝐵𝐶𝐷=60°，则𝑘12
为( )
A. √3
B. 3
2
3
C. −√ 3
D. −3
1
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 一元二次方程3𝑥(𝑥−1)=2(𝑥−1)的解是______． 12. 已知∠𝐴是锐角，且3𝑡𝑎𝑛𝐴−√3=0，则∠𝐴= ______ ．
13. 如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是4，点𝐸是𝐴𝐵边上一动点，连接𝐶𝐸，
过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐶𝐸于点𝐺，点𝑃是𝐴𝐵边上另一动点，则𝑃𝐷+𝑃𝐺的最小值为______．
14. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸在𝐵𝐶边上，连接𝐴𝐸，过点𝐷作𝐷𝐹//𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于点𝐹，过点𝐶
作𝐶𝐺⊥𝐷𝐹于点𝐺，延长𝐴𝐸、𝐺𝐶交于点𝐻，点𝑃是线段𝐷𝐺上的一动点，连接𝐶𝑃，将△𝐶𝑃𝐺沿𝐶𝑃翻折得到△𝐶𝑃𝐺′，连接𝐴𝐺′.若𝐶𝐻=1，𝐷𝐻=3√2，则𝐴𝐺′长度的最小值是______．
在阳光下，一名同学15. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，
测得一根长1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部影子落在教学楼的墙壁上(如图)，其墙壁上影长为3米，落在地面上的影长为4米，则树高为______．
16. 如图，直线𝐴𝐵与⊙𝑂相切于点𝐴，𝐴𝐶，𝐶𝐷是⊙𝑂的两条弦，且𝐶𝐷//𝐴𝐵，
连接𝐴𝑂并延长，交𝐶𝐷于点𝐸，若⊙𝑂的半径为5，𝐶𝐷=8，则弦𝐴𝐶的长为______．
∠𝐵𝐴𝐷=120°，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶的延长线于点𝐸.连接𝐴𝐸交𝐵𝐷于点𝐹，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，交𝐶𝐷17. 如图，
𝐸𝐺=4：于点𝐺.𝐹𝐻⊥𝐶𝐷于点𝐻，连接𝐶𝐹.有下列结论：①𝐴𝐹=𝐶𝐹；②𝐴𝐹2=𝐸𝐹⋅𝐹𝐺；③𝐹𝐺：
5；④cos∠𝐺𝐹𝐻=
3√21
.其中所有正确结论的序号为______ ． 14
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18. (1)计算：2𝑐𝑜𝑠45°+(𝑠𝑖𝑛60°)2−√2𝑡𝑎𝑛45°
(2)√3tan(𝛼−10)0−3=0，求𝛼的度数．
19. 为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识问
卷测试，从中抽取部分答卷，统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图．
等级 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 根据以上信息，解答下列问题：
成绩/分 95≤𝑥≤100 90≤𝑥<95 85≤𝑥<90 80≤𝑥<85 频数 𝑚 8 4 (1)填空：𝑚=______，𝑛=______，扇形统计图中“𝐷”等级的圆心角为______度； (2)若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数；
(3)已知𝐴等级中有2名男生，现从𝐴等级中随机抽取2名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
20. 图1是某城市三月份1—8日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图1将数据统计整
理后制成图2．
根据图中的信息解答下列问题：(1)在图2中补全条形统计图； (2)这8天的日最高气温的中位数是_________℃； (3)计算这8天的日最高气温的平均数．
21. 如图1，𝑃是平面直角坐标系中第一象限内一点，过点𝑃作𝑃𝐴⊥𝑥轴于点𝐴，以𝐴𝑃为边在右侧作
等边△𝐴𝑃𝑄，已知点𝑄的纵坐标为2，连结𝑂𝑄交𝐴𝑃于𝐵，𝐵𝑄=3𝑂𝐵． (1)求点𝑃的坐标；
(2)如图2，若过点𝑃的双曲线𝑦=𝑥(𝑘>0)与过点𝑄垂直于𝑥轴的直线交于𝐷，连接𝑃𝐷.求tan∠𝑃𝐷𝑄．
𝑘
𝐸𝐹是𝐵𝐷的垂直平分线，𝐵𝐷=40米，𝐸𝐹=22. 如图所示，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
30米，求证四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是菱形，并求出它的面积．
23. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于𝑂，𝐴𝐵=6，𝐵𝑂=3.求𝐴𝐶的长及∠𝐵𝐴𝐷的度
数．
24. 在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=12，𝑃是边𝐴𝐵上一点，把△𝑃𝐵𝐶沿直线𝑃𝐶折叠，顶点𝐵的对应点是点𝐺，
过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝐶𝐺，垂足为𝐸且在𝐴𝐷上，𝐵𝐸交𝑃𝐶于点𝐹． (1)如图1，若点𝐸是𝐴𝐷的中点，求证：△𝐴𝐸𝐵≌△𝐷𝐸𝐶； (2)如图2，①求证：𝐵𝑃=𝐵𝐹；
②当𝐴𝐷=25，且𝐴𝐸<𝐷𝐸时，求cos∠𝑃𝐶𝐵的值； ③当𝐵𝑃=9时，求𝐵𝐸⋅𝐸𝐹的值．
25. 在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐹=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐹，𝐷𝐹的延长线交𝐵𝐶于点𝐸，
连接𝐷𝐵、𝐶𝐹．
(1)如图1，当点𝐶、𝐴、𝐷三点在同一直线上，且𝐴𝐶=√3𝐴𝐹，𝐴𝐹=√2时，求𝐶𝐸的长； (2)如图2，当∠𝐴𝐹𝐶=90°时，求证：𝐸是𝐵𝐶的中点；
(3)如图3，若𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，且𝐶𝐹的延长线与𝐷𝐵交于点𝐺，请直接写出𝐵𝐺、𝐷𝐺、𝐹𝐺之间的数量关
系．
参考答案及解析
1.答案：𝐴
解析：解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1.左视图如下：故选：𝐴．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
2.答案：𝐶
解析：①两个方程根的判别式都是△=𝑏2−4𝑎𝑐，所以如果方程𝑀有两个不相等的实数根，那么方程𝑁也有两个不相等的实数根，此选项正确；
②由根与系数的可知：方程𝑀的两根和为，两根积为，方程𝑁的两根和为，两根积为，𝑎、
𝑐异号，两个方程的两根和异号，两根积同号，所以此选项错误；
③由两个方程的两根积，所以如果𝑚是方程𝑀的一个根，那么
是方程𝑁的一个根正确的；
④当𝑥=1时，代入两个方程得出𝑎+𝑏+𝑐=0，所以果方程𝑀和方程𝑁有一个相同的根，那么这个根必是𝑥=1是正确的． 所以正确的选项是3个，故选C
3.答案：𝐶
解析：
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 移项，配方，即可得出答案． 解：𝑥2−6𝑥−8=0， 𝑥2−6𝑥=8， 𝑥2−6𝑥+9=8+9， (𝑥−3)2=17，
故选C．
4.答案：𝐵
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐸𝐶=3+6=3， 故选：𝐵．
直接运用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；运用平行线分线段成比例定理正确写出比例式是解题的关键．
𝐴𝐷
𝐴𝐸
𝐴𝐸
3
1
5.答案：𝐶
解析：解：𝐴、“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意； B、“抛一枚硬币正面朝上的概率为2”表示每次抛正面朝上的概率都是2，故B不符合题意； C、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为6”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在6附近，故C符合题意；
D、“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故D不符合题意； 故选：𝐶．
根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
1
1
1
1
6.答案：𝐷
解析：解：原方程可化为𝑥2−2|𝑥|+2−𝑚=0，解得|𝑥|=1±√𝑚−1， ∵1−√𝑚−1>0，则方程有四个实数根， ∴方程必有一个根等于0， ∵1+√𝑚−1>0， ∴1−√𝑚−1=0， 解得𝑚=2． 故选：𝐷．
先把已知方程转化为关于|𝑥|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．
本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|𝑥|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．
7.答案：𝐴
解析：解：①由折叠可知，∠𝐴′𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐵=90°−∠𝐴𝐵𝐸， ∠𝐹𝐵𝐸=90°−∠𝐴𝐵𝐸， ∴∠𝐴′𝐸𝐵=∠𝐹𝐵𝐸，𝐸𝐹=𝐵𝐹， 作𝐸𝐾⊥𝐵𝐶交于点𝐾，
设𝐴𝐸=𝐶𝐹=𝑎，则𝐵𝐾=𝐴𝐸=𝑎，𝐶𝐹=4−2𝑎， ∵𝐸𝐾=𝐴𝐵=2𝑐𝑚， ∴𝐸𝐹=2√𝑎2−4𝑎+3𝑐𝑚， ∵𝐸𝐹=𝐵𝐹=(4−𝑎)𝑐𝑚， ∴2√𝑎2−4𝑎+3=4−𝑎， ∴𝑎=2𝑐𝑚或𝑎=2
3𝑐𝑚，
∴𝐴′𝐸=𝐴𝐸=2𝑐𝑚或𝐴′𝐸=𝐴𝐸=2
3𝑐𝑚， ∵0𝑐𝑚<𝐴𝐸<2𝑐𝑚， ∴𝐴𝐸=𝐴′𝐸=2
3𝑐𝑚，
故①正确；
②作𝐴′𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺， ∵∠𝐴𝐸𝐵=60°，
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴′𝐵𝐸=∠𝐴′𝐵𝐶=30°， 由折叠可知，𝐴𝐵=𝐴′𝐵=2𝑐𝑚， ∴𝐴′𝐺=1𝑐𝑚，𝐵𝐺=√3𝑐𝑚， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐹=𝐴𝐵⋅𝑡𝑎𝑛30°=
2√3
3
𝑐𝑚=𝐴′𝐸，
∵𝐺𝐹=𝐵𝐶−𝐵𝐺−𝐶𝐹=(4−5√3
3
)𝑐𝑚，𝐴′𝐹=𝐴′𝐸=
2√3
3
𝑐𝑚， ∴四边形𝐴′𝐸𝐶𝐹不是菱形， 故②不正确， 故选：𝐴．
𝐶𝐹=4−2𝑎，设𝐴𝐸=𝐶𝐹=𝑎，则𝐵𝐾=𝐴𝐸=𝑎，可得𝐸𝐹=2√𝑎2−4𝑎+3=①作𝐸𝐾⊥𝐵𝐶交于点𝐾，4−𝑎，即可求𝐴′𝐸=3𝑐𝑚；
②作𝐴′𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，求得𝐴𝐸=𝐶𝐹=𝐴𝐵⋅𝑡𝑎𝑛30°=
5√3)𝑐𝑚，𝐴′𝐹3
2√3𝑐𝑚3
2
=𝐴′𝐸，𝐺𝐹=𝐵𝐶−𝐵𝐺−𝐶𝐹=(4−
=𝐴′𝐸=
2√3𝑐𝑚，四边形𝐴′𝐸𝐶𝐹不是菱形． 3
本题考查图形的折叠变换，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
8.答案：𝐶
解析：
依据反比例函数为𝑦=𝑥(𝑘<0)，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，𝑦随着𝑥的增大而增大，进而得到𝑥1，𝑥2，𝑥3的大小关系．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
解：∵反比例函数为𝑦=𝑥(𝑘<0)，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，𝑦随着𝑥的增大而增大， 又∵𝑦1>0>𝑦2>𝑦3， ∴𝑥1<0，𝑥2>𝑥3>0， ∴𝑥1<𝑥3<𝑥2， 故选：𝐶．
𝑘𝑘
9.答案：𝐴
解析：解：∵𝐴𝐵为直径作⊙𝑂，若⊙𝑂过点𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶=2×70°=35°， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐶=180°， ∴∠𝐷𝐴𝐵=180°−∠𝐴𝐵𝐶=145°， 故选A．
先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出∠𝐴𝐵𝐶，再用平行四边形的邻角互补，求出∠𝐴． 此题是圆周角定理，主要考查了平行四边形的性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出∠𝐴𝐵𝐶是解本题的关键．
1
1
10.答案：𝐷
解析：解：连接𝐴𝐶、𝐵𝐷， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点分别在反比例函数𝑦=∴𝐴与𝐶、𝐵与𝐷关于原点对称， ∴𝐴𝐶、𝐵𝐷经过点𝑂， ∴∠𝐵𝑂𝐶=90°，
∵∠𝐵𝐶𝑂=2∠𝐵𝐶𝐷=30°， ∴𝑡𝑎𝑛30°=
𝑂𝐵𝑂𝐶1
𝑘1
和𝑦=𝑥
𝑘2𝑥
的图象上，
=
√3
， 3
作𝐵𝑀⊥𝑥轴于𝑀，𝐶𝑁⊥𝑥轴于𝑁，
∵∠𝐵𝑂𝑀+∠𝑁𝑂𝐶=90°=∠𝑁𝑂𝐶+∠𝑁𝐶𝑂， ∴∠𝐵𝑂𝑀=∠𝑁𝐶𝑂， ∵∠𝑂𝑀𝐵=∠𝐶𝑁𝑂=90°， ∴△𝑂𝑀𝐵∽△𝐶𝑁𝑂， ∴∴∴
𝑆△𝐵𝑂𝑀𝑆△𝐶𝑂𝑁
1𝑘211−𝑘22
=(𝑂𝐶)2，
1
𝑂𝐵
=3，
1
𝑘1𝑘2
=−，
3
故选：𝐷．
∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐵𝐶𝐷=30°，𝐵𝐷，连接𝐴𝐶、根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠𝐵𝑂𝐶=90°，2
√
解直角三角形求得𝑡𝑎𝑛30°=，作𝐵𝑀⊥𝑥轴于𝑀，𝐶𝑁⊥𝑥轴于𝑁，证得△𝑂𝑀𝐵∽△𝐶𝑁𝑂，得到=𝑂𝐶3𝑆△𝐵𝑂𝑀𝑆△𝐶𝑂𝑁
𝑂𝐵
3
1
=(𝑂𝐶)2，根据反比例函数系数𝑘的几何意义即可求得结果．
𝑂𝐵
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数𝑘的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
11.答案：𝑥1=1，𝑥2=3
解析：解：3𝑥(𝑥−1)=2(𝑥−1)，
2
3𝑥(𝑥−1)−2(𝑥−1)=0， (𝑥−1)(3𝑥−2)=0， ∴𝑥−1=0或3𝑥−2=0， ∴𝑥1=1，𝑥2=3．
故答案为：𝑥1=1，𝑥2=3．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
2
2
12.答案：30°
解析：解：∵3𝑡𝑎𝑛𝐴−√3=0， ∴𝑡𝑎𝑛𝐴=
√3
， 3
则∠𝐴=30°． 故答案为：30°．
先求出𝑡𝑎𝑛𝐴的值，然后求出∠𝐴的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
13.答案：2√13−2
解析：
本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 𝐺.将𝑃𝐷+𝑃𝐺作𝐷𝐶关于𝐴𝐵的对称点𝐷′𝐶′，以𝐵𝐶中的𝑂为圆心作半圆𝑂，连𝐷′𝑂分别交𝐴𝐵及半圆𝑂于𝑃、转化为𝐷′𝐺找到最小值． 解：如图：
取点𝐷关于直线𝐴𝐵的对称点𝐷′.以𝐵𝐶中点𝑂为圆心，𝑂𝐵为半径画半圆． 连接𝑂𝐷′交𝐴𝐵于点𝑃，交半圆𝑂于点𝐺，连𝐵𝐺.连𝐶𝐺并延长交𝐴𝐵于点𝐸． 由以上作图可知，𝐵𝐺⊥𝐸𝐶于𝐺．
𝑃𝐷+𝑃𝐺=𝑃𝐷′+𝑃𝐺=𝐷′𝐺
由两点之间线段最短可知，此时𝑃𝐷+𝑃𝐺最小． ∵𝐷′𝐶′=4，𝑂𝐶′=6
∴𝐷′𝑂=√42+62=2√13
∴𝐷′𝐺=2√13−2
∴𝑃𝐷+𝑃𝐺的最小值为2√13−2 故答案为：2√13−2．
14.答案：√26−2
解析：解：如图，作𝐷𝑀⊥𝐴𝐸于𝑀．
∵𝐴𝐻//𝐷𝐹，𝐺𝐻⊥𝐷𝐹，
∴∠𝑀𝐻𝐺=∠𝐻𝐺𝐷=∠𝐷𝑀𝐻=90°， ∴四边形𝐷𝑀𝐻𝐺是矩形， ∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝑀𝐷𝐺=90°， ∴∠𝐴𝐷𝑀=∠𝐶𝐷𝐺， 在△𝐴𝐷𝑀和△𝐶𝐷𝐺中， ∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐷𝐺𝐶{∠𝐴𝐷𝑀=∠𝐶𝐷𝐺， 𝐴𝐷=𝐷𝐶
∴△𝐴𝐷𝑀≌△𝐶𝐷𝐺(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝑀=𝐷𝐺，
∴四边形𝐷𝑀𝐻𝐺是正方形， ∵𝐷𝐻=3√2，
∴𝐷𝑀=𝑀𝐻=𝐺𝐻=𝐷𝐺=3， ∵𝐶𝐻=1，
∴𝐶𝐺=𝐻𝐺−𝐻𝐶=2，
在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐺中，𝐶𝐷=√𝐷𝐺2+𝐶𝐺2=√32+22=√13， ∴𝐴𝐶=√2𝐶𝐷=√26，
∵点𝑃在线段𝐷𝐺上运动时，点𝐺′在以𝐶为圆心，𝐶𝐺为半径的圆上运动， ∴当𝐴、𝐺′、𝐶共线时，𝐴𝐺′最小， ∴𝐴𝐺′的最小值为𝐴𝐶−𝐶𝐺′=√26−2． 故答案为：√26−2．
如图，作𝐷𝑀⊥𝐴𝐸于𝑀，首先证明四边形𝐷𝑀𝐻𝐺是正方形，求出正方形𝐷𝑀𝐻𝐺的边长，以及𝐴𝐶的长，𝐶𝐺为半径的圆上运动，𝐺′、𝐶共线时，𝐴𝐺′因为点𝑃在线段𝐷𝐺上运动时，点𝐺′在以𝐶为圆心，所以当𝐴、最小．由此即可解决问题．
本题考查翻折变换、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法，构造全等三角形解决问题，学会求圆外一点到圆上的点的距离的最大值以及最小值，属于中考填空题中的压轴题．
15.答案：8米
解析：解：将落在墙上的影子看作物体，此时它的影子设为𝑎米， 根据题意得，0.8=𝑎， ∴𝑎=2.4，
所以大树的影子全部落在地面上的影子长为2.4+4=6.4米， 设树的高度为𝑦米，根据题意得0.8=6.4， ∴𝑦=8米 故答案为：8米．
在同一时刻物高和影长成正比，先将落在墙上的影子作为物体，求出它在地面的影子，即可求出大树的影子全落在地面上的长，即可得出结论．
本题实际是一个直角梯形的问题，可以通过作垂线分解成直角三角形与矩形的问题．
1
𝑦
1
3
16.答案：4√5
解析：
本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练运用垂径定理是本题的关键．
由题意可求𝑂𝐴⊥𝐴𝐵，根据垂径定理可求𝐶𝐸=4，根据勾股定理可求𝐸𝑂=3，
再根据勾股定理可求𝐴𝐶的长． 解：如图：连接𝑂𝐶 ∵直线𝐴𝐵与⊙𝑂相切于点𝐴， ∴𝑂𝐴⊥𝐴𝐵， ∵𝐶𝐷//𝐴𝐵， ∴𝐴𝐸⊥𝐶𝐷． ∵𝐶𝐷=8，
∴𝐶𝐸=𝐷𝐸=𝐶𝐷=4．
21
在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐸中，𝑂𝐸=√𝑂𝐶2−𝐶𝐸2=√52−42=3， ∴𝐴𝐸=𝐴𝑂+𝑂𝐸=8，
则𝐴𝐶=√𝐶𝐸2+𝐴𝐸2=√42+82=4√5． 故答案为：4√5．
17.答案：①②③④
解析：解：∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴对角线𝐵𝐷所在直线是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称轴，沿直线𝐵𝐷对折，𝐴与𝐶重合， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐹，故①正确， ∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐹𝐶𝐷， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐹𝐸𝐶， ∴∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐹𝐸𝐶， 又∠𝐶𝐹𝐺=∠𝐸𝐹𝐶， ∴△𝐶𝐹𝐺∽△𝐸𝐹𝐶， ∴
𝐶𝐹𝐸𝐹
=
𝐺𝐹𝐶𝐹
，
∴𝐶𝐹2=𝐸𝐹⋅𝐺𝐹，
∴𝐴𝐹2=𝐸𝐹⋅𝐺𝐹，故②正确， ∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷=120°，
∴∠𝐵𝐶𝐷=120°，∠𝐷𝐶𝐸=60°，∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐷𝐵=30°，𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶， 设𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶=𝑚， ∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐶=90°，
𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸=𝐶𝐷⋅𝑐𝑜𝑠60°=2𝐶𝐷=2𝑚， ∴𝐵𝐸=2𝑚， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐸， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐸=3=3，
𝑚211
3
𝐴𝐹𝐴𝐷𝑚2
设𝐴𝐹=2𝑛，则𝐶𝐹=𝐴𝐹=2𝑛，𝐸𝐹=3𝑛， 又𝐶𝐹2=𝐹𝐺⋅𝐸𝐹， ∴(2𝑛)2=𝐹𝐺⋅3𝑛， ∴𝐹𝐺=𝑛，
34
∴𝐸𝐺=𝐸𝐹−𝐹𝐺=𝑛，
3
5
∴𝐹𝐺:𝐸𝐺=(𝑛):(𝑛)=4:5，故③正确，
3
3
45
设𝐶𝐸=2𝑚=𝑡，
𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷=2𝑡=𝐴𝐷，𝐷𝐸=√3𝑡， 𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷=2𝐷𝐸=2√3𝑡， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐸， ∴
𝐷𝐹𝐵𝐹
1
=
𝐴𝐹𝐸𝐹2
=
𝐴𝐷𝐵𝐸
=， 3
4√3𝑡， 5
12
2√3𝑡， 5
2
∴𝐷𝐹=5𝐵𝐷=
𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐻中，𝐹𝐻=𝐷𝐹=
𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=√(2𝑡)2+(√3𝑡)2=√7𝑡， ∴𝐸𝐹=𝐴𝐸=
53
3√7𝑡， 5
∵𝐹𝐺:𝐸𝐺=4:5， ∴𝐹𝐺=9𝐸𝐹=
4
4√7𝑡， 15
𝐹𝐻𝐹𝐺
𝑅𝑡△𝐹𝐻𝐺中，cos∠𝐺𝐹𝐻=故答案为：①②③④．
=
2√3𝑡54√7𝑡15=
3√21，故④正确， 14
由菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称性可判断①正确，利用△𝐶𝐹𝐺∽△𝐸𝐹𝐶，可得𝐶𝐹2=𝐸𝐹⋅𝐺𝐹，从而判断②正确，
113
𝐶𝐸=𝐶𝐷⋅𝑐𝑜𝑠60°=𝐶𝐷=𝑚，𝐵𝐸=𝑚，𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，设𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶=𝑚，可得𝐸𝐹=𝐵𝐸=3𝑚=222
2
𝐴𝐹𝐴𝐷𝑚
2
，设𝐴𝐹=2𝑛，则𝐶𝐹=𝐴𝐹=2𝑛，𝐸𝐹=3𝑛，可得𝐹𝐺=3𝑛，𝐸𝐺=𝐸𝐹−𝐹𝐺=3𝑛，从而𝐹𝐺:𝐸𝐺=3
(𝑛):(𝑛)=4:5，可判断③正确，设𝐶𝐸=𝑡，𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷=2𝑡=𝐴𝐷，𝐷𝐸=√3𝑡，𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸
33中，𝐵𝐷=2𝐷𝐸=2√3𝑡，可求出𝐷𝐹=𝐵𝐷=
5
2
4√35
4
5
45
𝑡，𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐻中，𝐹𝐻=2𝐷𝐹=
3
3√7𝑡，𝐹𝐺5
1
2√3𝑡，𝑅𝑡549
△𝐴𝐷𝐸中，
△
𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=√(2𝑡)2+(√3𝑡)2=√7𝑡，即可得𝐸𝐹=5𝐴𝐸=𝐹𝐻𝐺中，cos∠𝐺𝐹𝐻=𝐹𝐺=
𝐹𝐻
2√3𝑡54√7𝑡15
=𝐸𝐹=
4√7𝑡，𝑅𝑡15
=
3√2114
，即可判断④正确，
本题考查菱形性质及应用，涉及菱形的轴对称性、三角形相似的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形性质，从图中找出常用的相似三角形模型解决问题．
23√318.答案：解：(1)原式=2×√+()2−√2×1=；
224
(2)已知等式整理得：tan(𝛼−10)°=√3=√3， ∴𝛼−10°=60°，即𝛼=70°．
解析：(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值； (2)已知等式整理后，利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
319.答案：3 25 72
解析：解：(1)抽取的总人数有：8÷40%=20(人)， 𝑚=20×15%=3，
𝐶等级的人数有：20−3−8−4=5(人)， 𝑛%=
520
×100%=25%，即𝑛=25，
4
扇形统计图中“𝐷”等级的圆心角为360°×20=72°； 故答案为：3，25，72； (2)2000×
3+820
=1100(人)，
答：估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数有1100人； (3)根据题意列表如下：
男1 男2 女 男1 男2 男1男2 女 男1女 男2女 男2男1 女男1 女男2 由上表可知，共有6种等可能的结果，符合条件的结果有4种， 则恰好抽到一男一女的概率是6=3．
(1)根据90≤𝑥<95的频数和所占的百分比求出抽取的总人数，用总人数乘以95≤𝑥≤100所占的百分比求出𝑚，再用总人数减去其他等级的人数，求出𝐶等级的人数，然后除以总人数，求出𝑛，用360°乘以“𝐷”等级所占的百分比求出“𝐷”等级的圆心角度数； (2)由该校总人数乘以达到优秀等级的人数所占的比例即可；
(3)画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到一男一女的情况数，然后根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布表和扇形统计图．
4
2
20.答案：解：(1)图略．
(2)2.5℃. (3)
(℃)(或2.375℃)．
解析：本题通过折线统计图及条形统计图的转化，考查数据的特征，难度较小．
21.答案：解：(1)过𝑄作𝑄𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，则𝐶𝑄=2，
∵△𝐴𝑃𝑄是等边三角形，
∴∠𝑃𝐴𝑄=60°， ∵𝑃𝐴⊥𝑥轴， ∴∠𝐶𝐴𝑄=30°，
∴𝐴𝐶=2√3，𝐴𝑃=𝐴𝑄=4， ∵𝐴𝐵//𝐶𝑄， ∴
𝑂𝐴𝐴𝐶
=
𝑂𝐵
=， 𝐵𝑄3
13
2√3
， 3
1
∴𝑂𝐴=𝐴𝐶=∴𝑃(
2√3
,4)； 3
(2)设𝐷𝑄的延长线与过𝑃点平行于𝑥轴的直线交于点𝐸，
∵双曲线𝑦=𝑥(𝑘>0)过点𝑃， ∴𝑘=4×
2√33
𝑘
=
8√33
，
8√3， 3𝑥
8√3， 3
∴双曲线的解析式为：𝑦=又∵𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝐴𝐶=
2√33
+2√3=
∴𝐷点的纵坐标为1， ∴𝐷𝐸=4−1=3，
在𝑅𝑡△𝑃𝐸𝐷中，𝑃𝐸=𝐴𝐶=2√3， ∴tan∠𝑃𝐷𝑄=𝐷𝐸=
𝑃𝐸
2√3． 3
解析：(1)过𝑄作𝑄𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，解𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑄，求得等边△𝐴𝑃𝑄的边长，再由𝐴𝐵//𝐶𝑄，根据平行线分线段成比例定理求得𝑂𝐴，便可得𝑃点坐标；
(2)设𝐷𝑄的延长线与过𝑃点平行于𝑥轴的直线交于点𝐸，由(1)的𝑃点坐标求得双曲线的解析式，由𝐷点的横坐标求得𝐷点的纵坐标，进而求得𝐷𝐸，问题便可迎刃而解．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，待定系数法，平行线分线段成比例定理，第(1)关键在求𝑂𝐴，第(2)关键在求𝐷点的坐标．
22.答案：解：如图，连接𝐷𝐸、𝐵𝐹，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝑂𝐷𝐹=∠𝑂𝐵𝐸， 由𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐷，
得𝑂𝐷=𝑂𝐵，∠𝐷𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐸=90°， ∴△𝐷𝑂𝐹≌△𝐵𝑂𝐸， 故𝐷𝐹=𝐵𝐸，
∴四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是平行四边形， 又∵𝐸𝐹是𝐵𝐷的垂直平分线， ∴𝐹𝐷=𝐹𝐵，
∴四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形； ∵四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形；
11
∴𝑆菱形𝐵𝐹𝐷𝐸=𝐸𝐹⋅𝐵𝐷=×30×40=600(𝑚2).
22
答：四边形𝐵𝐹𝐷𝐸的面积为600(𝑚2). 解析：
连接𝐷𝐸、𝐵𝐹，因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，所以𝐴𝐵//𝐶𝐷，进而求证𝐷𝐹=𝐵𝐸，再求证𝐹𝐷=𝐹𝐵，即可判定四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形；根据菱形面积计算公式即可计算菱形𝐵𝐹𝐷𝐸的面积．
本题考查了菱形的判定，矩形对边相等且平行的性质，垂直平分线的性质，本题中求证𝐷𝐹=𝐵𝐸是解题的关键．
23.答案：解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶=2𝑂𝐴，𝐴𝐷=𝐴𝐵=6，𝐵𝐷=2𝐵𝑂=2×3=6， ∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形， ∴∠𝐵𝐴𝐷=60°；
∴𝑂𝐴=√𝐴𝐵2−𝐵𝑂2=3√3， ∴𝐴𝐶=2𝑂𝐴=6√3．
解析：由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于𝑂，𝐴𝐵=6，𝐵𝑂=3，易证得△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，即可求得∠𝐵𝐴𝐷的度数，然后由勾股定理求得𝑂𝐴的长，继而求得𝐴𝐶的长．
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意证得△𝐴𝐵𝐷是等边三角形是关键．
24.答案：解：(1)在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐷𝐶，
∵𝐸是𝐴𝐷中点， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐸，
𝐴𝐵=𝐷𝐶
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐸中，{∠𝐴=∠𝐷=90°，
𝐴𝐸=𝐷𝐸∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)；
(2)①在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∵△𝐵𝑃𝐶沿𝑃𝐶折叠得到△𝐺𝑃𝐶，
∴∠𝑃𝐺𝐶=∠𝑃𝐵𝐶=90°，∠𝐵𝑃𝐶=∠𝐺𝑃𝐶， ∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐺， ∴𝐵𝐸//𝑃𝐺， ∴∠𝐺𝑃𝐹=∠𝑃𝐹𝐵， ∴∠𝐵𝑃𝐹=∠𝐵𝐹𝑃， ∴𝐵𝑃=𝐵𝐹； ②当𝐴𝐷=25时， ∵∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐶𝐸𝐷=90°， ∵∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐵𝐸=90°， ∴∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐴𝐵𝐸， ∵∠𝐴=∠𝐷=90°， ∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐸𝐶， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐷， 设𝐴𝐸=𝑥， ∴𝐷𝐸=25−𝑥， ∴
12𝑥𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
25−𝑥12
，
∴𝑥=9或𝑥=16， ∵𝐴𝐸<𝐷𝐸， ∴𝐴𝐸=9，𝐷𝐸=16， ∴𝐶𝐸=20，𝐵𝐸=15， 由折叠得，𝐵𝑃=𝑃𝐺， ∴𝐵𝑃=𝐵𝐹=𝑃𝐺， ∵𝐵𝐸//𝑃𝐺， ∴△𝐸𝐶𝐹∽△𝐺𝐶𝑃， ∴
𝐸𝐹𝑃𝐺
=
𝐶𝐸𝐶𝐺
，
设𝐵𝑃=𝐵𝐹=𝑃𝐺=𝑦， ∴
15−𝑦𝑦
=25，
253
20
∴𝑦=
， ，
25√10
，cos∠𝑃𝐶𝐵3
∴𝐵𝑃=
253
在𝑅𝑡△𝑃𝐵𝐶中，𝑃𝐶=③如图，连接𝐹𝐺，
=
𝐵𝐶𝑃𝐶
=
3√10
； 10
∵∠𝐺𝐸𝐹=∠𝑃𝐺𝐶=90°， ∴∠𝐺𝐸𝐹+∠𝑃𝐺𝐶=180°，
∴𝐵𝐹//𝑃𝐺
∵𝐵𝐹=𝑃𝐺， ∴▱𝐵𝑃𝐺𝐹是菱形， ∴𝐵𝑃//𝐺𝐹， ∴∠𝐺𝐹𝐸=∠𝐴𝐵𝐸， ∴△𝐺𝐸𝐹∽△𝐸𝐴𝐵， ∴𝐺𝐹=𝐵𝐸，
𝐸𝐹
𝐴𝐵
∴𝐵𝐸⋅𝐸𝐹=𝐴𝐵⋅𝐺𝐹=12×9=108．
解析：(1)先判断出∠𝐴=∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐷𝐶再判断出𝐴𝐸=𝐷𝐸，即可得出结论；
(2)①利用折叠的性质，得出∠𝑃𝐺𝐶=∠𝑃𝐵𝐶=90°，∠𝐵𝑃𝐶=∠𝐺𝑃𝐶，进而判断出∠𝐺𝑃𝐹=∠𝑃𝐹𝐵即可得出结论；
𝐷𝐸=16，得出比例式建立方程求解即可得出𝐴𝐸=9，再判断出△𝐸𝐶𝐹∽△②判断出△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐸𝐶，
𝐺𝐶𝑃，进而求出𝑃𝐶，即可得出结论； ③判断出△𝐺𝐸𝐹∽△𝐸𝐴𝐵，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25.答案：(1)解：如图1中，
∵𝐴𝐶=√3𝐴𝐹，𝐴𝐹=√2，
∴𝐴𝐹=𝐴𝐷=√2，𝐴𝐶=𝐴𝐵=√6，𝐷𝐶=√2+√6， ∵∠𝐷𝐴𝐹=90°， ∴𝐷𝐹=√2𝐴𝐷=2， ∵∠𝐶=∠𝐴𝐷𝐹=45°， ∴∠𝐷𝐸𝐶=90°， ∴𝐸𝐷=𝐸𝐶=
√2𝐷𝐶2
=1+√3．
(2)证明：如图2中，连接𝐴𝑀、𝐴𝐸、𝑀𝐸，延长𝐶𝐹交𝐵𝐷于𝑀．
∵𝐴𝐷=𝐴𝐹，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝐶， 在△𝐵𝐷𝐴和△𝐶𝐹𝐴中， 𝐴𝐷=𝐴𝐹
{∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝐶， 𝐴𝐵=𝐴𝐶
∴△𝐵𝐷𝐴≌△𝐶𝐹𝐴，
∴𝐴𝐹=𝐴𝐷，∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐹𝐶=90°， ∴四边形𝐴𝐷𝑀𝐹是矩形，∵𝐴𝐷=𝐴𝐹， ∴四边形𝐴𝐷𝑀𝐹是正方形， ∴𝐷𝐸垂直平分𝐴𝑀， ∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝑀𝐶=90°， ∴𝐴、𝑀、𝐵、𝐶四点共圆， ∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝑀， ∴𝐷𝐸过圆心， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴圆心在直线𝐵𝐶上， ∴点𝐸就是圆心， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐶．
或：过点𝐵作𝐵𝐷的垂线和𝐷𝐸延长线相交于点𝐺，证三角形𝐶𝐸𝐹和𝐵𝐸𝐺全等． (3)解：结论：𝐺𝐷+𝐺𝐹=√2𝐵𝐺.理由如下：
如图3中，作𝐴𝑀⊥𝐵𝐷于𝑀，𝐴𝑁⊥𝐶𝐺于𝑁，𝐴𝐵与𝐶𝐺交于点𝑂．
∵△𝐵𝐷𝐴≌△𝐶𝐹𝐴， ∴∠𝐺𝐵𝑂=∠𝐴𝑂𝐶， ∵∠𝐺𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐶， ∴∠𝐵𝐺𝑂=∠𝐶𝐴𝑂=90°， ∴∠𝑀=∠𝑀𝐺𝑁=∠𝐴𝑁𝐺=90°， ∴四边形𝐴𝑀𝐺𝑁是矩形， ∵∠𝐵𝐺𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴𝐴、𝐺、𝐵、𝐶四点共圆，
∴∠𝐴𝐺𝑂=∠𝐴𝐵𝐶=45°，∠𝐺𝐵𝐴=∠𝐴𝐶𝐺，∠𝐺𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐺， ∵∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐴𝐶𝐺， ∴∠𝐺𝐵𝐴=∠𝐺𝐴𝐵， ∴𝐵𝐺=𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐺𝑀=∠𝐴𝐺𝑁，𝐴𝑀⊥𝐺𝑀，𝐴𝑁⊥𝐺𝑁， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，
∴四边形𝐴𝑀𝐺𝑁是正方形， 在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐷和𝑅𝑡△𝐴𝑁𝐹中， 𝐴𝐷=𝐴𝐹{， 𝐴𝑀=𝐴𝑁
∴△𝐴𝑀𝐷≌△𝐴𝑁𝐹， ∴𝐷𝑀=𝐹𝑁，
∴𝐺𝐷+𝐺𝐹=𝑀𝐺−𝐷𝑀+𝐺𝑁=𝐹𝑁=2𝐺𝑀=2×∴𝐺𝐷+𝐺𝐹=√2𝐵𝐺．
解析：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，求出𝐷𝐹，在𝑅𝑡△𝐸𝐷𝐶中求出𝐷𝐸即可解决问题．
√2𝐴𝐺2
=√2𝐵𝐺，
(2)如图2中，连接𝐴𝑀、𝐴𝐸、𝑀𝐸，延长𝐶𝐹交𝐵𝐷于𝑀.首先证明四边形𝐴𝐷𝑀𝐹是正方形，再证明𝐴、𝑀、𝐵、𝐶四点共圆，根据垂径定理推论，即可证明．
(3)结论：𝐺𝐷+𝐺𝐹=√2𝐵𝐺.首先证明四边形𝐴𝑀𝐺𝑁是矩形，由𝐴、𝐺、𝐵、𝐶四点共圆，推出∠𝐴𝐺𝑂=∠𝐴𝐵𝐶=45°，∠𝐺𝐵𝐴=∠𝐴𝐶𝐺，∠𝐺𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐺，由∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐴𝐶𝐺，推出∠𝐺𝐵𝐴=∠𝐺𝐴𝐵，推出𝐵𝐺=𝐴𝐺，由△𝐴𝑀𝐷≌△𝐴𝑁𝐹，推出𝐷𝑀=𝐹𝑁，可得𝐺𝐷+𝐺𝐹=𝑀𝐺−𝐷𝑀+𝐺𝑁=𝐹𝑁=2𝐺𝑀=2×√𝐴𝐺=
2√2𝐵𝐺，即可证明．
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，本题的难点是，四点共圆的应用，属于中考压轴题．
2
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