倍长中线法(初二)

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．

(一)倍长中线法:

题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

例1．如图（1）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．

求证：AC=BF A 证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD， E

F ∠BDH=∠ADC，DH=DA，

, B ∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF， D

∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= H图（ 1） ∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．

小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

中线一倍辅助线作法

A A

△ABC中 方式1： 延长AD到E，

AD是BC边中线 使DE=AD，

连接BE BCBC D D 方式2：间接倍长

E A； A

F 作CF⊥AD于F， M 延长MD到N， CBDD 作BE⊥AD的延长线于E B C 使DN=MD，

E连接BE N 连接CD

例2、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

,

例3、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，

A求证：BD=CE

D BCF…

E

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交

AAC于F，求证：AF=EF FE

BC D

：

例4、已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分BAC

$

AFBDEC第 1 题图

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE A

B

EDC

|

作业：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

A

—

DBEFC

2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT A 平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE

)

M D E T C B

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE A

B

ED

:

C

5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

ADBEFC