微专题 利用两点之间线段最短解决线段最值问题

模型一 “一线两点”型(一动＋两定)

类型一 异侧线段和最小值问题

问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．

针对训练： （第1题图） 1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为________．

类型二 同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)

问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.

针对训练： （第2题图） （第3题图）

2、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC边的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE的值最小，则这个最小值为________．

3、 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________ .

类型三 同侧差最大值问题

问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．

【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.

针对训练： （第4题图）

4、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，点O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为________。

类型四 异侧差最大值问题

1

问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．

针对训练： （第5题）

5、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________． 模型二 “一点两线”型(两动＋一定)

问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．

【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．

针对训练： （第6题图）

6、如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为________． 模型三 “两点两线”型(两动＋两定)

问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．

【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．

针对训练：

7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．

（第7题图）

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课后练习：

︵︵︵

1. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，AC＝CD＝BD，M是AB上一动点，则CM＋DM的最小值是________．

第1题图

2. 如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为________．

第2题图

3. 如图，在直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．

第3题图

4. 如图，抛物线的顶点D的坐标为(－1，4)，抛物线与x轴相交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)．若点E的坐标为(0，－3)，在抛物线的对称轴上求作一点F，使得△CEF的周长最小，请求出点F的坐标．

第4题图

3

课后练习答案：

1. 8 cm 【解析】如解图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M′，连接C′M，DM，∵C′M＋DM≥C′M′＋DM′＝C′D，当M与M′重合时，CM＋DM的值最小，︵︵︵︵

由垂径定理得，AC＝AC′，∴BD＝AC′，∵AB为⊙O的直径，∴C′D为⊙O的直径，∴CM＋DM的最小值是8 cm.

第1题解图

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2. (，) 【解析】如解图，作点C关于OA的对称点C′，关于直线AB的对称点C″，

77连接CC′交AB于点F，∵直线AB的解析式为y＝－x＋7，∴OA＝OB＝7，AB＝72，∵C(1，0)，∴BC＝6，易得△BCF∽△BAO，∴

BCBF6BF

＝，即＝，∴BF＝32，易知△ABOBABO727

为等腰直角三角形，过点F作FG⊥x轴于点G，∴FG＝BG＝3，∴F(4，3)，∵F是CC″中点，∴可得C″(7，6)．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，

－k＋b＝0

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，∵C′(－1，0)，C″(7，6)，∴，解得

7k＋b＝6



3，∴b＝4

3k＝4

25

y＝－x＋7x＝7332524

直线DE的解析式为y＝x＋，联33，解得，∴点D的坐标为(，)．

447724y＝4x＋4y＝

7



第2题解图

3. 62 【解析】如解图，分别作A关于x轴的对称点E，作B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于D，交y轴于C，连接AD，BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′连接AD′，C′D′，BC′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝（－3＋1）2＋（－1＋3）2＝22，

4

EF＝（－3－1）2＋（1＋3）2＝42，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝62.

第3题解图

4. 解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋4， 把x＝0，y＝3代入得：3＝a(0＋1)2＋4，解得a＝－1 ∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3；

如解图 ，作 C关于对称轴的对称点 C′，在对称轴上任取一点F，连接EC′交对称轴于点 F′，连接CF′，C′F，EF，∵C′F＋EF≥C′F′＋EF′＝C′E，当点F与F′重合时，

CF＋EF的值最小，则△CEF的周长最小． ∵C(0，3)，抛物线对称轴为直线x＝－1， ∴C′(－2，3)，

易得C′E的解析式为y＝－3x－3， 当x＝－1时，y＝－3×(－1)－3＝0， ∴F(－1，0)．

第4题解图

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