1.理解四组诱导公式及其探究思路
2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单 的化简与证明。
（一）诱导公式
诱导公式一: sin(2k)sin cos(2k)cos
tan(2k)tan （其中kZ）
诱导公式二： sin(）-sin
cos(）cos
tan(）tan（其中kZ）
诱导公式三: sin(）sin cos(）-cos
tan(）tan（其中kZ）
诱导公式四：sin(）-sin cos(）-cos tan(）tan（其中kZ）
作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
1
口决：奇变偶不变，符号看象限．
奇偶指的是k2符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)中k的奇偶性；
类型一：利用诱导公式求值
例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）sin(16)； （2）cos(945o). 316443sin(4)sinsin()sin. 333332oooooo解：（1）原式sin（2）原式cos945cos(2360225)cos225cos(18045)cos45
o2. 2点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于
360o，则再利用诱导公式化为(0o,360o)范围内的角的三角函数；若这时的角是(90o,360o)范围内
oo的角，再利用有关的诱导公式化为(0,90)范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到
锐角再求值.
1）
sincosooooo例2 (变式应用) 求sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan945的值
练习：求sin10sin(260)cos100cos(170)的值. （答案：
oooo思路：负角三角函数正角三角函数0～360角三角函数锐角三角函数求值. 解：原式
2
oo点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为k360，180，360等形式，最后再利用诱导公式求解.
练习：求tan(ooo35463755. （答案：0） )sin()costan636613o提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.
o例3 (综合应用) 已知cos(75)，且为第四象限角，求sin(105)的值.
导思：（1）角75与角105有什么关系？ （2）sin(105)与sin(75)有什么关系？
（3）已知cos(75)如何求sin(75)？应注意什么问题？
o解：由题意知75为第三象限角，故sin(75)1cos(75)1() o2ooooooo132 2222oooo，故sin(105)sin[180(75)]sin(75). 33点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运算中的符号问题，即75的范围的确定，应注意到已知条件cos(75)中的隐含信息.
练习：若cos(75)ooo131oo，且为第三象限角，求cos(15)sin(15)的值. 3 （答案：
122） 33类型二：利用诱导公式化简三角函数式
cos()2sin()cos(2). 例3(直接应用) 化简
5sin()2cos(解：原式22))sin(练习：化简：
sincossinsincossin2. cossin(6)cos(10)tan()； （答案：1）
cos()sin(8)tan(5)24)cos(n)(nZ). 3324(cos)sin()[(cos()]sincos 解：当n为奇数时，原式sin333333例4 (变式应用) 求值sin(2n 313. 2243
当n为偶数时，原式sin24cossin()cos()sin(cos) 333333 313(). 224点评：因为诱导公式对于加的奇数倍和偶数倍是不同的，故用诱导公式求值时，若遇到的整数倍，必须对整数分奇数和偶数进行讨论.
例5 (综合应用) 已知为第三象限角，且f() （1）化简f()； （2）若cos(sin()cos(2)tan().
sin()tan()31)，求f()的值； 25o （3）若1860，求f()的值.
导思：（1）负角的三角函数如何化简？
（2）与、2有关的三角函数名称变不变？符号又该如何确定？
解：（1）由题意f()sin()cos(2)tan()sincos(tan)cos.
sin()tan()(sin)tan331)，得cos()sin，故由题意得sin， 22522 故cos6，故f()6. 55（2）用诱导公式化简cos(ooo（3）因1860219030，故f(1860)cos(1860)cos(2190
oooo 30)sin30o1. 2
一、选择题
ππ1
1．已知sin(α－)＝，则cos6＋α的值为( ) 331A．
323C．
3[答案] B
π1α－＝ [解析] ∵sin33πππ
＋α＝cos＋α－3 ∴cos62
1
B．－
323D．－
3
π1α－＝－， ＝－sin33
4
故选B.
2．已知sin110°＝a，则cos20°的值为( ) A．a C．1－a2 [答案] A
[解析] sin110°＝sin(90°＋20°)＝cos20°＝a.
3π
3．已知点P(sin(π＋θ)，sin(－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是( )
B．－a D．－1－a2
2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] sin(π＋θ)＝－sinθ， sin(3π2－θ)＝sin[π＋(π
2－θ)]
＝－sin(π
2
－θ)＝－cosθ，
∵点P在第三象限，∴－sinθ<0，－cosθ<0，∴sinθ>0，cosθ>0，∴θ是第一象限角．
sinπ2，则2＋θ－cosπ－θ
4．已知tanθ＝sinπ2－θ＝( )
－sinπ－θA．2 B．－2 C．0 D．2
3
[答案] B
[解析] 原式＝cosθ＋cosθ2
cosθ－sinθ＝1－tanθ ∵tanθ＝2，∴原式＝2
1－2
＝－2，故选B.
cotπ5．化简sinθ－5π
2－θtan3π－θ··cos8π－θ＋tan3θ－2πsin－θ－4πsin(－θ)的结果为( A．0 B．1 C．2 D．32
[答案] A
[解析] 原式＝－sinθ－tanθ·tanθ－cotθ·cosθ
－sinθ－sinθ
＝cosθ·(－tan2θ)(－cotθ)－sinθ＝sinθ－sinθ＝0.
5
)
4π25π5π
6．计算sin·cos·tan的值是( )
3643
A．－
4C．－3 4
3B．
4D．
3 4
[答案] A
4π25π5π
[解析] sin·cos·tan
364πππ
＝sin(π＋)·cos(4π＋)·tan(π＋) 364πππ
＝－sin·cos·tan
364＝－
333××1＝－. 224
二、填空题
7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________. [答案] 1
[解析] ∵tank°·tan(90°－k°)＝tank°·cotk°＝1，
∴tan1°·tan2°…tan89°＝(tan1°·tan89°)(tan2°·tan88°)…(tan44°·tan46°)·tan45°＝1. πππ
－x＋cos2x－＋cot(19π－x)，则φ＝________. 8．设φ(x)＝sin2223[答案] 1－
3 3
[解析] ∵φ(x)＝cos2x＋sin2x＋cot(－x)＝1－cotx， ππ3∴φ＝1－cot＝1－. 333三、解答题
9．已知角α终边上一点P(－4,3)， π
cos＋αsin－π－α
2求的值．
11π9πcos－αsin＋α
22π
cos＋αsin－π－α
2
[解析]
11π9πcos－αsin＋α
22π
cos＋αsin[－π＋α]
2
＝
ππ
cos[5π＋－α]sin[4π＋＋α]
22
6
π
－cos＋αsinπ＋α
2
＝ ππ－cos－αsin＋α
22－－sinα－sinα
＝＝tanα，
－sinαcosα3
由题意得tanα＝－. 4
π
cos＋αsin－π－α
23∴＝－. 11π9π4cos－αsin＋α
22
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基础巩固
一、选择题 1．sin600°＝( ) 1
A．－
2C．－3 2
1B．
2D．
3 2
[答案] C
[解析] sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－
3
. 2
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) 4A．
53C．
5[答案] B
x4
[解析] 由题意，知cosθ＝＝，
r54
∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－. 5
3．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A
7
4B．－
53D．－
5
π
＋B)＋tanC；④cot(A＋B)－cotC(C≠)，这四个式子中值为常数的有( )
2
A．1个 C．3个 [答案] C
[解析] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C. ∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC， cot(A＋B)＝cot(π－C)＝－cotC，故选C. 原题四个式子中①②③式为常数． 4．下列各三角函数值： ①sin1 125°； 37π37π②tan·sin；
1212③sin3； tan3
B．2个 D．4个
④sin1－cos1.
其中为负值的个数是( ) A．1个 C．3个 [答案] B
[解析] 1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°是第一象限的角，所以sin1 125°>0；因
37π13
＝2π＋π，1212
B．2个 D．4个
3737373737
则π是第三象限角，所以tanπ>0，sinπ<0，故tanπ·sinπ<0；因3弧度的角在第二象限，则1212121212sin3>0.tan3<0，故
sin3ππ
<0；因<1<，则sin1－cos1>0.∴②③为负数．因此选B. tan342
5．化简1＋2sinπ－3cosπ＋3的结果是( ) A．sin3－cos3 C．±(sin3－cos3) [答案] A [解析]
1＋2sinπ－3cosπ＋3
B．cos3－sin3 D．以上都不对
＝1＋2sin3－cos3
＝cos3－sin32＝|cos3－sin3|. π
∵<3<π，∴sin3>0>cos3. 2
∴原式＝sin3－cos3.
8
6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( ) 1－k2A． kC．
k
1－k21－k2B．－ kD．－
k
1－k2[答案] B
[解析] 解法一：∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝1－k2， 1－k21－k2∴tan80°＝，∴tan100°＝－tan80°＝－. kk解法二：由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k>0，∴0 ∴tan80°＝2－1＝2.∴tan80°＝. kkk 2 1－k2∴tan100°＝－tan80°＝－. k二、填空题 1 7．已知cos(π＋α)＝－，则tan(α－9π)＝________. 2[答案] ±3 1 [解析] cos(π＋α)＝－cosα＝－， 21 cosα＝，∴tanα＝±3， 2tan(α－9π)＝－tan(9π－α) ＝－tan(π－α)＝tanα＝±3. 8．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________. 3[答案] 5[解析] cosα＝ 3a3a3 ＝＝－， 59a2＋16a25|a| 3 cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα＝. 5三、解答题 9．求下列三角函数式的值： (1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°. [解析] (1)sin(－840°)·cos1470°－cos(－420°)sin(－930°) ＝－sin840°cos1 470°＋cos420°sin930° 9 ＝－sin(2×360°＋120°)cos(4×360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2×360°＋210°) ＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210° ＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°)＝－sin60°cos30°－cos60°sin30° ＝－ 32×32－12×1 2 ＝－1. (2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°) ＝－3 2 －cos45°－tan45° ＝－322－2－1 ＝－ 2＋3＋2 2 . 能力提升 一、选择题 1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( A．m2－12 B．m2＋12 C．1－m22 D．－m2＋12 [答案] A [解析] sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m， ∴sinα＋cosα＝m， 而sin(180°＋α)·cos(180°－α) ＝(－sinα)·(－cosα)＝sinαcosα ＝sinα＋cosα2－1m22＝－12 . 2．若tan(7π＋α)＝a，则sinα－3π＋cosπ－α sin－α－cosπ＋α的值为( ) A．a－1a＋1 B．a＋1a－1 C．－1 D．1 [答案] B [解析] tan(7π＋α)＝tanα＝a， 原式＝－sinα－cosαsinα＋cosα－sinα＋cosα＝sinα－cosα ＝tanα＋1a＋1tanα－1＝a－1 . 10 ) sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π] 3．化简(n∈Z)得到的结果是( ) sinα＋2nπcosα－2nπA．0 C．2cscα [答案] B －sinα－sinα [解析] 原式＝＝－2secα. sinα·cosα π1 －，0，则tan(2π－α)的值为( ) 4．已知sin(π－α)＝log8，且α∈2425A．－ 525C．± 5[答案] B 122－ [解析] ∵log8＝log2322＝－，∴sinα＝－， 433π －，0，∴cosα＝又∵α∈2 25 －2＝. 1－33 25B． 5D． 5 2B．－2secα D．2secα 2525 ∴tanα＝－，∴tan(2π－α)＝－tanα＝. 55二、填空题 π4π2π －＋2sin＋3sin等于________． 5．sin333[答案] 0 πππ π＋＋3sinπ－ [解析] 原式＝－sin＋2sin333πππ ＝－sin－2sin＋3sin＝0. 333 tan－150°cos－570°cos－1 140° 6．求值：＝________. cot－240°sin－690°[答案] 3 2 －tan150°·cos570°·cos1 140° [解析] 原式＝ cot240°·sin690° －tan180°－30°·cos360°＋180°＋30°·cos3×360°＋60° ＝ cot180°＋60°·sin720°－30°tan30°·－cos30°·cos60° ＝ cot60°·－sin30°331×－×3223＝＝. 231 ×－32 11 三、解答题 1 7．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值． 22cosπ－α－3sinπ＋α(1)； 4cosα－2π＋sin4π－α(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)． 11 [解析] tan(π＋α)＝－⇒tanα＝－， 22－2cosα＋3sinα－2＋3tanα (1)原式＝＝ 4cosα－sinα4－tanα1－－2＋3×27 ＝＝－. 19－4－2(2)原式＝－sinα·(－cosα) ＝sinα·cosα＝ sinα·cosαtanα 22＝sinα＋cosαtan2α＋1 1 －22 ＝＝－. 5－12＋1 2 cotα·cosπ＋α·sin23π＋α 8．化简：. tanα·cos3－π－αcotα·－cosα·sin2π＋α [解析] 原式＝ tanα·cos3π＋αcotα·－cosα·－sinα2 ＝ tanα·－cosα3cotα·－cosα·sin2α＝ tanα·－cos3αcos2αsin2α ＝2·2＝1. sinαcosα 1 9．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值． 3[解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] 1＝－cos(75°＋α)＝－， 3 sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)， 1∵cos(75°＋α)＝>0， 3 又∵α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos275°＋α 12 ＝－ 12221－＝－， 33 ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) 12222－1 ＝－＋＝. 333备选题目： sin240 A． 3 2 B．1 2 C． 1 2 D． 3 2答案：A sin120的值等于 A. 3311 B. C. D. 22227答案：C .已知(,)，且sincosA. 答案：A ，则= 95595995或B. 或C. 或D. 或 14 1414141414 1414 sin7= 6A. 1331B.C. D. 2 2 22 答案：D 已知sin5，是第一象限角，则cos(π)的值为（ ） 13551212A． B． C． D． 13131313答案：C 已知cos答案：3，且为第二象限的角，则sin() . 54 5πcos()cos()12已知tan(3)，则的值是 ． sin(π+)2cos(π)2答案： 13 1 3 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容