高中物理万有引力定律的应用解题技巧和训练方法及练习题(含答案)

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m＝2.0 kg的小物块从斜面底端以速度9 m/s沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

(1)该星球表面上的重力加速度g的大小. (2)该星球的第一宇宙速度.

【答案】（1）g=7.5m/s2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】

（1）小物块沿斜面向上运动过程0v0at 解得：a6m/s2

又有：mgsinmgcosma 解得：g7.5m/s

（2）设星球的第一宇宙速度为v，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：

2mv2 mgRvgR3103m/s

2．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，行星半径为求： (1)行星的质量M；

(2)行星表面的重力加速度g； (3)行星的第一宇宙速度v． 【答案】（1）【解析】 【详解】

（2）

（3）

(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律

求出行星质量

(2)在行星表面

求出:

(3)在行星表面求出:【点睛】

本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．

3．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换．

（1）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转的角速度为ω，地球半径为R． （2）当电梯仓停在距地面高度h2=4R的站点时，求仓内质量m2=50kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近的重力加速度g=10m/s2，地球自转的角速度ω=7.3×10-5rad/s，地球半径R=6.4×103km． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，根据轨道半径求出轨道站的线速度，从而得出轨道站内货物相对地心运动的动能．（2）根据向心加速度的大小，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出人对水平地板的压力大小． 解：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，

1m12(Rh1)2；（2）11.5N 2则轨道站的线速度v=（R+h1）ω， 货物相对地心的动能（2）根据

，

．

因为a=联立解得N=

=

，，

≈11．5N．

根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为11．5N．

4．牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都被赋予了相互引力的原理”．任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力定律F万=Gm1m2计2r算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为Ep=-Gm1m2，其中m1、m2为两个物体的质量， r为两个质r点间的距离（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离），G为引力常量．设有一个质量分布均匀的星球，质量为M，半径为R． （1）该星球的第一宇宙速度是多少？

（2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式．类比电场强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强度是多大？

（3）该星球的第二宇宙速度是多少？

（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q（该带电实心球可看作电荷集中在球心处的点电荷），半径为R，P为球外一点，与球心间的距离为r，静电力常量为k．现将一个点电荷-q（该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近移动到p点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功．

MGM=G2；（3）v2；（2）E引RR【答案】（1）v12GM；（4）R11WkQq()

rR【解析】 【分析】

【详解】

(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为v1，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力

v12mMG2m RR解得：v1GM ； R(2)电场强度的定义式EF q设质量为m的质点距离星球中心的距离为r，质点受到该星球的万有引力

F引=GMm 2r质点所在处的引力场强度E引=得E引=GF引 mM 2 r'该星球表面处的引力场强度E引=GM 2 R(3)设该星球表面一物体以初速度v2向外抛出，恰好能飞到无穷远，根据能量守恒定律

12mMmv2G0 2R解得：v22GM ； RqQ R(4)点电荷-q在带电实心球表面处的电势能EP1k点电荷-q在P点的电势能EP2kqQ r点电荷-q从球面附近移动到P点，电场力所做的功W(EP2EP1) 解得：WkQq(1r1) ． R

5．在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m的物体P置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体P的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。若在另一星球N上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q在弹簧上端点由静止释放，物体Q的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中虚线所示。两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N半径为地球半径的3倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：

(1)地球表面和星球N表面重力加速度之比； (2)地球和星球N的质量比；

(3)在星球N上，物体Q向下运动过程中的最大速度。 【答案】(1)2:1(2)2:9(3)v【解析】 【详解】

（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g1=a0 星球N表面处的重力加速度为 g2=0.5a0 则地球表面和星球N表面重力加速度之比为2∶1 （2）在星球表面，有

3a0x0 2GMmmg R2其中，M表示星球的质量，g表示星球表面的重力加速度，R表示星球的半径。则

gR2M=

G因此，地球和星球N的质量比为2∶9

（3）设物体Q的质量为m2，弹簧的劲度系数为k 物体的加速度为0时，对物体P：

mg1=k·x0

对物体Q：

m2g2=k·3x0

联立解得：m2=6m

在地球上，物体P运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为Ep，整个上升过程中，弹簧和物体P组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：

Epmg1h4.5ma0x0

在星球N上，物体Q向下运动过程中加速度为0时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为3x0，因此弹性势能也为Ep，物体Q向下运动3x0过程中，根据机械能守恒定律，有：

m2a23x0=Ep+

1m2v2 2联立以上各式可得，物体P的最大速度为v=3a0x0 2

6．木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v0时，上升的最大高度可达h．已知艾奥的半径为R，引力常量为G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：

（1）艾奥表面的重力加速度大小g和艾奥的质量M； （2）距艾奥表面高度为2R处的重力加速度大小g＇； （3）艾奥的第一宇宙速度v．

22R2v0v0R【答案】（1）M；（2）g；（3）vv0 2h2hG18h【解析】 【分析】 【详解】

2v0（1）岩块做竖直上抛运动有0v2gh，解得g

2h202GMmR2v0mg，解得M忽略艾奥的自转有 2R2hG2GMmvmg，解得g'0 （2）距艾奥表面高度为2R处有2(R2R)18hRv2（3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时mgm，解得vv0 2hR【点睛】

在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式

Mmv2422G2mmrm2rma在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后

rrT弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算

7．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。 (1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成

的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。 (3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的2倍，这个关系对于其他天体也是正确的。③地球质量me =6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。 请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

r3Gms42d3 (2) (3) 9×10-3m 【答案】(1) 222T4GT【解析】 【详解】

⑴设太阳质量为ms，地球质量为me，地球绕太阳公转的半径为r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力 根据万有引力定律和牛顿运动定律

mm4Gs2eme2r

rT解得常量

2r3Gms 22T4⑵设双星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2 根据万有引力定律及牛顿运动定律

mm4 G12m1r1 22dTmm4G122m22r2 dT且有

r1+r2d

双星总质量

2242d3 m总=m1m2 2GT⑶设地球质量为me，地球半径为R。质量为m的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v1

由万有引力定律和牛顿第二定律

memv12 G2m

RR解得

v1逃逸速度

Gme Rv2假如地球变为黑洞

2Gme Rv2≥c

代入数据解得地球半径的最大值

R=9×10-3m

8．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．

(1)求卫星B的运行周期．

(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)TB=2p【解析】 【详解】

（1）由万有引力定律和向心力公式得G(R+h) (2)gR23t2 gR20(Rh)3MmRh242m2Rh①，GMmmg②

TBR2联立①②解得：TB2RhRg23③

（2）由题意得B0t2④，由③得BgR2Rh3⑤

t代入④得

2R2gRh30

9．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，引力常量为G，求： （1）地球的质量M；

（2）同步卫星距离地面的高度h。

【答案】(1)【解析】 【详解】

(2)

（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G解得地球质量为：M=

；

（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有

引力提供向心力，由牛顿第二定律得：

解得：【点睛】

；

本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．

10．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg的物体，试求：

（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？ （2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？ 【答案】（1）40kg（2）3倍 【解析】 【详解】

（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举起的物体重力相同，故有：

GM行mGM地m＝mg＝mg＝； 地行R地2R行2M地R行212m＝2260kg＝40kg； 所以，m＝M行R地6GMmmv2（2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有： 2＝

RR所以，vv行M行R地1GM＝6＝3； ；所以， ＝v地M地R行2R