第19讲 投资组合理论(一)风险资产的组合

先发放上一讲的答案。

第1题：C，直接套有效年利率的公式，数字和我们举的栗子还一毛一样，做错不应该啊。

第2题：题目中给的

（1+i）−1

𝑖

𝑛

，你就把它认为是利率为i，期数为n的普通年金

𝑛+𝟏

终值系数，它问的是预付年金终值系数，我们有两种方法： 1、期数加1，系数减1，那不就是 2、普通年金系数×(1+i)，那就是

（1+i）−1（1+i）

×(𝟏+𝐢)=

i

n

n+𝟏

（1+i）

𝑖

−1

−𝟏 吗？

（1+i）=

i

n+1

−（𝟏+𝐢）−1

i

−1

殊途同归，B正确。

投资组合就是不要把鸡蛋放同一个篮子，道理大家都懂，关键是怎么量化，用什么指标衡量投资组合的好处？投资组合理论和资本资产定价模型是一个完整的故事，其中诞生了两位诺奖得住，所以，精彩内容不容错过哦。

从两项资产说起

假设A资产的平均收益率为10%，标准差为12%，B资产的平均收益率为18%，标准差是20%。

提示：用统计学的话来说，平均收益率就是期望值（EV，expected value，此处指收益return，所以用r表示），标准差（standard deviation，通常用σ表示）表示历史数据偏离期望值的距离，即离散程度，是一个非常重要的风险衡量指标。

之前讲过风险和报酬的权衡，很明显，A资产是低风险（σA=12%）低收益

（rA=10%），B资产是高风险（σB=20%）高收益（rB=18%），放到坐标系（横轴表示风险，纵轴表示收益）中，就是这个样子：

20.00%收益18.00%16.00%14.00%12.00%10.00%8.00%0.00%B资产A资产标准差20.00%25.00%5.00%10.00%15.00%

现在按不同的比例投资于这两项资产，假设投资比重分别为wA和wB（weights是权重的意思），来算算投资组合（portfolio）的风险和收益。

根据统计学的原理，和的期望等于期望的和，所以组合的收益就是单项资产收益的加权平均（这里的权就是投资比重）；但是，和的方差（variance，方差就是标准差的平方）不等于方差的和，所以组合的风险不是单项资产风险的加权平均。 EV(aA+bB) = aEV(A) + bEV(B)  rp = wArA + wBrB 和的期望＝期望的和 σ2(aA+bB) = a2σ2A+b2σ2B+2abσAB  σ2p = wA2σ2A+ wB2σ2B+2wAwBσAB 和的方差≠方差的和 那就重点来研究组合的方差（标准差好说，就是方差的平方根）。上式中的σAB是A、B两项资产的协方差（co-variance），表示彼此之间的关系。协方差为正，表示两者正相关（你涨我也涨，你跌我也跌），协方差为负，表示两者负相关（你涨我就跌，你跌我就涨）。协方差的取值范围是从负无穷到正无穷，很不好用，所以要标准化，用协方差除以两项资产各自的标准差，得到相关系数（correlation coefficient，通常用r表示）： σABrAB= ∴ σAB=rABσAσB σAσB 相关系数的取值范围是[-1,+1]：

 r = +1，表示完全正相关，你涨10%，我也涨10%  r = -1，表示完全负相关，你涨10%，我就跌10%  0 < r < +1，表示部分正相关，你涨10%，我涨5%  -1 < r < 0，表示部分负相关，你涨10%，我跌5%  r = 0，表示不相关，我俩没关系

把σAB=rABσAσB代入σ2p = wA2σ2A+ wB2σ2B+2wAwBσAB，再稍微整理整理，你会发现，它和完全平方式只差了个rAB：

σ2p = (wAσA)2+ (wBσB)2+2wAσAwBσBrAB 那就按rAB取值的可能性，分三种情况讨论： 1、rAB = 1 2、rAB = -1

3、rAB介于-1和+1之间

如果A、B完全正相关，即rAB=1，则：

σ2p = (wAσA)2+ (wBσB)2+2wAσAwBσB = (wAσA+wBσB)2

 σp = wAσA+wBσB

此时，σp和rp呈线性关系！ ∵ rp = wArA + wBrB

提示：如果你死活不信的话，可以推导下，相信我的同学直接跳过虚线框： ∵ σp = wAσA+wBσB，且wA+wB=1

∴ σp = wAσA+(1-wA) σB = wAσA+σB-wAσB = σB+(σA-σB)wA ∴ wA = (σp-σB)/( σA-σB) (1) ∵ rp = wArA + wBrB，且wA+wB=1

∴ rp = wArA+(1-wA) rB = wArA+rB-wArB = rB+(rA-rB)wA (2)

把（1）带入（2），得：rp = rB+(rA-rB)(σp-σB)/( σA-σB)

眼睛一定要死死盯住rp和σp，其他（rA、rB、σA、σB）都是常量： rp = rB+(rA-rB)(σp-σB)/( σA-σB)

因此，要这样整理：

rp = [(rA-rB) /( σA-σB)](σp-σB)+rB = [(rA-rB) /( σA-σB)]σp - [(rA-rB) /( σA-σB)]σB+rB

蓝字全是常量，所以rp = a+bσp，a、b为常量，不是线性关系吗？？

既然是线性关系，“两点确定一直线”大家都懂，那就找两个最特殊的点：100%投资A资产（wA=1、wB=0），100%投资B资产（wA=0、wB=1），把这两点连起来，就是投资组合的风险和收益的函数关系：

20.00%收益18.00%16.00%14.00%12.00%10.00%8.00%0.00%B资产A资产标准差20.00%25.00%5.00%10.00%15.00%

rAB = 1的情况搞定，这其实是最糟糕的，俩篮子完全正相关，要么同时打翻，要么同时安好，所以鸡蛋要么全破，要么全都安然无恙，无论你怎么放，结果完全相同，起不到任何分散风险的作用。

接着，看另一个极端，如果rAB = -1，即A、B完全负相关，则： σ2p = (wAσA)2+ (wBσB)2-2wAσAwBσB = (wAσA-wBσB)2

 σp = |wAσA-wBσB|

此时，σp和rp呈线性关系，但是要分段！ ∵ rp = wArA + wBrB

分段的临界点是σp=0，即令wAσA-wBσB=0，又因为wA+wB=1，俩方程，俩未知数（wA、wB），能求吧？再带入rp = wArA + wBrB，就能算出此时的rp，从函数图像上看，就是纵轴上的一点。然后，这一点和A、这一点和B，分别用“两点确定一直线”的方法连起来，就大功告成了：

20.00%收益18.00%16.00%14.00%12.00%10.00%8.00%0.00%B资产A资产标准差20.00%25.00%5.00%10.00%15.00%

这是最爽的一种情况，可以把风险降到0，收益居然还比单独投资A资产要高，投资组合的魅力开始显现。

上述两种情况都过于极端，现实中最常见的还是部分相关，即-1 < rAB < +1，此时组合方差没办法写成完全平方式，这就注定了组合的风险和收益图像不再是直线，而是曲线：

rp = wArA + wBrB σ2p = wA2σ2A+ wB2σ2B+2wAwBσAσBrAB

我们可以用excel穷举计算（设不同的rAB，穷举wA从1%到99%，相应的wB从99%到1%，算rp和σp），然后画散点图，有空写本讲的号外给大家演示excel的操作。这里就先把结果show给大家瞧瞧：

20.00%收益18.00%16.00%RAB=-0.8RAB=-0.5B资产14.00%12.00%10.00%8.00%0.00%RAB=0.5RAB=0A资产标准差5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%

很明显，相关系数越小，曲线向左弯曲的程度越高，说明分散风险的效果越好（越往左，σp越小）。这和我们的常识相吻合，同时买中石化和中国航空的股票能对冲风险，因为油价上涨，中石化赚钱，业绩拉动股价上抬，中国航空成本变高，业绩下滑，股价下跌，油价下跌是一样的道理。如果同时买中石化和中石油的股票就纯属投机了，要么大喜（油价涨）要么大悲（油价跌）。

现实中，大多数个股之间是部分正相关，因为大家既跟着大盘走，又有点小个性，所以差不多应该是这样的：

20.00%收益18.00%16.00%B资产14.00%12.00%10.00%8.00%0.00%D最小方差组合，CEA资产标准差5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%

做几点说明：

1、整个曲线ACB叫机会集，说明通过调整投资比重，这些组合都是有机会找得到的。

2、能找到σp最小的一点C，叫最小方差组合，名字取得很直白，不多解释 3、随便画一条垂直线DE（黄色虚线），不难发现，D、E两种组合的风险相同（横坐标相同），但收益是D高于E，根据自利原则，果断选D；因此，理性经济人正真会去投的只有曲线CDE（橙色曲线），这是在高风险高收益和低风险低收益之间纠结，这段曲线叫有效集。

再来比较下这两条曲线：

20.00%收益18.00%16.00%B资产14.00%12.00%10.00%RAB=0.8的最小方差组合8.00%0.00%RAB=0.2的最小方差组合RAB=0.8RAB=0.2A资产标准差5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%

相关系数越接近于+1（看rAB=0.8这条线），曲线的弯曲程度越小，分散风险的效果越差，以至于风险最小的组合就是100%投资于低风险资产A，此时有效集和机会集重合。

相关系数越小（看rAB=0.2这条线），曲线的弯曲程度越大，分散风险的效果越好，能找到风险比资产A还低的投资组合，即曲线向左突出的部分，此时有效集是最小方差组合往上的部分，其范围小于机会集。

两项资产的组合到此为止，接着来瞅瞅多项资产。

思路是一样的，就是计算复杂些。随着资产数目的增加，组合方差的项数也越来越多，就是(a+b)2、(a+b+c)2、(a+b+c+d)2……的展开，而且，a2、b2、c2、d2……的数量有限，ab、bc、ac、bd……的数量呈几何倍数增长，换言之，单项资产方差的影响逐渐下降，各项资产之间的协方差的影响越来越大。因此，有个结论大家记下，充分分散化的投资组合，其风险只受证券之间协方差的影响，而与各证券本身的方差无关。

多项资产组合的rp、σp画到坐标系中，会形成平面，但其边界线和两项资产长差不多：

20.00%收益18.00%16.00%14.00%12.00%10.00%标准差8.00%0.00%最小方差组合，C5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%

黄色阴影部分是机会集，但真正有意义的还是橙色曲线，大家可以随便画垂直线和水平线，在垂直线上，风险相同，肯定选收益最高的（最上端），在水平线上，收益相同，肯定选风险最小的（最左端），最后的结论就是在橙色曲线上投资，这是有效集，也有地方叫有效前沿（EF，effective frontier），貌似更形象些。

上述全部内容从定量的角度论证了鸡蛋不要放在同一个篮子里是正确的，也因此诞生了一位诺奖得主——Markowitz。

这一讲到这里，内容比较多，大家重在理解，投资组合的函数图像一定要看得明白，结论也要记清楚。

最后是作业，答案下一讲领取。

1、（单选，2013年第3题）下列关于两证证券组合的机会集曲线的说法中，正确的有（ ）。

A、曲线上的点均为有效组合

B、曲线上报酬率最低点是最小方差组合点

C、两种证券报酬率的相关系数越大，曲线弯曲程度越小 D、两种证券报酬率的标准差越接近，曲线弯曲程度越小

2、（多选，2016年第3题）市场上有两种有风险证券X和Y，下列情况下，两种证券组成的投资组合风险低于二者加权平均风险的有（ ）。 A、X和Y期望报酬率的相关系数是0 B、X和Y期望报酬率的相关系数是-1 C、X和Y期望报酬率的相关系数是0.5 D、X和Y期望报酬率的相关系数是1