2011全国高考文科数学试卷及答案完整版(全国卷)

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

x2x2(xR) B．y(x≥0) A．y44C．y4x(xR) D．y4x(x≥0)

22

3．权向量a,b满足 ,则|a||b|1,ab

A．2 C．5

B．3 D．7 1,则a2b 2

xy64．若变量x、y满足约束条件x3y2，则z2x3y的最小值为

x1 A．17 B．14 C．5 D．3 5．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 A．ab1 B．ab1

C．ab

22= 1．设集合U= U=1,2,3,4,M1,2,3,N2,3,4,则ð（MN） , 则

A．

D．ab

332 1，B．2，3 D．1，4

6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a11，公差为

C．2，4

d2,Sk2Sk24，则k=

A．8 C．6

B．7 D．5

2．函数y2x(x≥0)的反函数为的反函数为

1

7．设函数f(x)cosx(＞0)，将yf(x)的图像向右平移

长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

个单位311．11．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心

的距离C1C2=

A．4 C．8

B．42 D．82

01A．

3C．6

B．3 D．9

8．已知二面角l，点A,ACl,C为垂足，点B,BDl，

D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=

A．2 C．2 B．3 D．1

12．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60，二面角的平面

截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N

的面积为

A．7 C．11

B．9 D．13

第Ⅱ卷

9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程

甲的不同选法共有 A．12种 B．24种

C．30种 D．36种 10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1x)，则

5f()=

21A．-

21C．

4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）

13．（1-x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．

B．

14

14．已知a∈（,

1D．

23at2,ocs则），n2

=

15．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE

与BC所成角的余弦值为 。

2

x2y216．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点

927M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设等比数列an的前n项和为Sn,已知a26,6a1a330,求an和

（Ⅱ）若A750,b2,求a与c

19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙

种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。 （I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；

（II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概

率。 20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥SABCD中， ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，

Sn

18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知

asinAcsinC2asinCbsinB,

（Ⅰ）求B；

3

ABBC2,CDSD1．

（I）证明：SD平面SAB；

（II）求AB与平面SBC所成的角的大

小。

21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知函数

f(x)x33ax2(36a)x12a4aR

（I）证明：曲线yf(x)在x0处的切线过点（2，2）；

（II）若f(x)在xx0处取得极小值，x0(1,3)，求a的取值范围。

22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答．．．．．．．

无效．．

） 已知O为坐标原点，F为椭圆

x2y2C:21在y轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，

点P满足OAOBOP0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。

4

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不

同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解

答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题

1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 13．0 14．55 15．23 16．6

三、解答题

17．解：设{an}的公比为q，由题设得

a1q6,6a2 1a1q30.

…………3分

5

解得a13,a12,2,或q q3.

…………6分

当a113,q2时,an32n,Sn3(2n1); 当an112,q3时,an23,Sn3n1. …………10分

．解：

（I）由正弦定理得a2c22acb2.

…………3分

由余弦定理得b2a2c22accosB. 故cosB22,因此B45.

…………6分

（II）sinAsin(3045)

sin30cos45cos30sin45

26

4.

…………8分

18 故absinA2613, sinB2 连结SE，则SEAB,SE3. 又SD=1，故EDSESD， 222 cbsinCsinsinB26sin4056 . …………12分

19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购

买。 （I）P(A)0.5,P(B)0.3,CAB,

…………3分

P(C)P(AB)P(A)P(B) 0. …………6分

（

II

）

DC,P(D)1P(C)10.80.2,

…………9分

P(E)C10.20.8230.384.

…………12分 20．解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

6

所以DSE为直角。

…………3分 由ABDE,ABSE,DESEE， 得AB平面SDE，所以ABSD。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以SD平面SAB。

…………6分 II）由AB平面SDE知， 平面ABCD平面SED。

作SFDE,垂足为F，则SF平面ABCD，

SFSDSEDE32. 作FGBC，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则SGBC， 又BCFG,SGFGG，

故BC平面SFG，平面SBC …………9分

作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC。

平面

SFG。

（ FH21SFFG3，即F到平面SBC的距离为. 7SG721. 7又由|BS|2得x2(y2)2z24,

即yz4y10,故y

…………3分

22 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为α， 则sin13,z. 22d2121,arcsin. EB77133333于是S(1,,),AS(1,,),BS(1,,)，

22222213DS(0,,),DSAS0,DSBS0.

22故DSAD,DSBS,又ASBSS, 所以SD平面SAB。

（II）设平面SBC的法向量a(m,n,p)，

…………12分 解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角

坐标系C—xyz。 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设S(x,y,z),则x0,y0,z0.

 （I）AS(x2,y2,z),BS(x,y2,z)，DS(x1,y,z)， 则aBS,aCB,aBS0,aCB0.

33),CB(0,2,0), 又BS(1,,22由|AS||BS|得

(x2)2(y2)2z2x2(y2)2z2,

故x=1。

由|DS|1得y2z21,

33p0,mn故 222n0. 7

…………9分

取p=2得a(3,0,2),又AB(2,0,0)。 ABa21cosAB,a.

7|AB||a|21故AB与平面SBC所成的角为arcsin.

721．解：（I）f'(x)3x26ax36a.

…………2分

由f(0)12a4,f'(0)36a得曲线yf(x)在x0处的切线方程为

由此知曲线yf(x)在x0处的切线过点（2，2）

…………6分

2故x0x2.由题设知1aa22a13. 当a当

21时，不等式1aa22a13无解。 a21时

，

解

不

等

式

1a2a25得a12a

3a21.综合（i）（ii）得

…………12分

的取值范围是(5,21).222．解：（I）F（0，1），l的方程为y2x1，

y21并化简得 代入x224x222x10.

…………2分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),

（II）由f'(x)0得x2ax12a0. （i）当21a21时,f(x)没有极小值；

则x1 （ii）当a21或a21时由,f'(x)0得

2626,x2, 442,y1y22(x1x2)21, 2x1aa22a1,x2aa22a1,

x1x2 8

由题意得x3(x1x2)22,y3(y1y2)1. 所以点P的坐标为(22,1). 经验证，点P的坐标为(22,1)满足方程 2x2y21,故点P在椭圆C上。 …………6分

II）由P(22,1)和题设知， Q(22,1) PQ的垂直一部分线l1的方程为

y22x.

①

设AB的中点为M，则M(24,12)，AB的垂直平分线为l2的方程为y22x14.

②

由①、②得l1,l2的交点为N(28,18)。 …………9分 |NP|(2228)2(113118)28,|AB|1(2)2|x322x1|2,|AM|324,

|MN|(2428)2(1123328)8,|NA||AM|2|MN|23118,故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上12分

9

…………

（