复杂应力状态强度问题

复杂应力状态强度问题

8-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力

为已知。

(a) 棱柱体轴向受压；

r3

，弹性常数 E 和  均

(b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。

题 8-4 图

(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a），三个主应力依次为

σ1  σ2  0，σ3  󰀀σ

由此可得第三强度理论的相当应力为

1

σr3  σ1 󰀀 σ3  σ

(a)

(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b），可先取受力微体及坐标如 图 8-4 所示，然后计算其应力。

由图 8-4 可得

σ

y  󰀀σ

根据刚性方模的约束条件，有

ε1

x E [σ x󰀀 µ

(σ y  σ z )]  0 

即

σ

x  µ(σ y  σ z )

注意到

σ z  σ x

故有

σ σ µ x z  󰀀 1 󰀀 µ

σ

三个主应力依次为

σµ

1  σ2  󰀀 σ，σ1 󰀀 µ

3

 󰀀σ

由此可得其相当应力为

σσ1 󰀀 2 µ r3  1 󰀀 σ3  1 󰀀 µ

σ

比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为

r  σ r3( a ) 1 󰀀 µ σ 

r3( b ) 1 󰀀 2 µ

r  1 ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。

2

(b)

8-5 图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN 作用，许用应力[  ]=170MPa。试校核梁的强

度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。

解：1.内力分析

题 8-5 图

由题图可知， B 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为

Fs  F  130kN， M  Fl2  130 103 N  0.600m  7.80 10 4 N  m

2．几何量计算

3

(0.280 󰀀 2  0.0137) 0.122  0.280 3 (0.122 󰀀 0.0085)  ]m4  7.07  10󰀀 5 m4 󰀀 I z  [ 12 12

󰀀 57.07  10 m3  5.05  10󰀀 4 m3 W  z

0.140

0.0137 3 S z ( b )  0.122  0.0137  (0.140 󰀀 )m 2.23  10󰀀 4 m3  2S z ( a )

2

1

S z , max  [2.23  10󰀀 4   0.0085  (0.140 󰀀 0.0137)2 ]m3  2.90  10󰀀 4 m3

2

式中的足标 b ，系指翼缘与腹板的交界点，足标 a 系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点 （ a 、 b 和 c ）示如图 8-5。

3．应力计算及强度校核 点 a 的正应力和切应力分别为

M 7.80 104 N 8

σ   1.545 10Pa  154.5 MPa 󰀀4 2

W 5.05 10m z

3 󰀀4 F S130 10 1.115 10 N s z ( a ) 7   1.496 10Pa  14.96MPa τ  󰀀5 2

I z t 7.07 10 0.0137m

该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为



3

 r 3  2  4 2 154.52  4 14.96 2 MPa  157.4MPa  [ ]

点 b 的正应力和切应力分别为

M yb 7.80 10  (0.140 󰀀 0.0137)N

  1.393 108 Pa  139.3 MPa σ  󰀀5 2

I z 7.07 10m

3 F S2.23 N 130 10  s z ( b ) 7

 τ   4.82 10Pa  48.2 MPa 󰀀410

I z δ 7.07 10󰀀5  0.0085m2

该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为

4

48.2 2 MPa  169.4MPa  [ ]  r 3 139.3 2  4  点 c 处于纯剪切应力状态，其切应力为

F S130  10 3  2.90  10󰀀4 N 7 s z , max  Pa  62.7MPa 6.27  10τ 

I z δ 7.07  10󰀀 5  0.0085m 2

其相当应力为

62.7MPa  125.4MPa  r 3  2 2  结论：该梁满足强度要求。

4．强度校核

依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为

σ r3( a )  σ1 󰀀 σ3  [155.9 󰀀 (󰀀1.44)] MPa  157.3 MPa σ r3( b )  [154.4 󰀀 (󰀀15.05)] MPa  169.5 MPa σ r3( c )  2τ  2  62.7 MPa  125.4 MPa

它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。

8-8 图示曲柄轴，承受载荷 F = 10kN 作用。试问当载荷方位角 为何值时，对截面

A-A 的强度最为不利，并求相应的相当应力 r3 。

解：1.分析内力

题 8-8 图

由于 A - A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷 F 无需分解，可直接用以分

析内力。根据平衡关系，截面 A - A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为

4

103  0.070 N  m  Fs  F  10 kN，M  Fl  10  700

T  Facosθ

N  m

由此可见， F 的方位角θ 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当θ  0 时扭矩 取最大值，对截面 A - A 的强度最为不利，其值为

3

10 0.240 N  m  2.40  103 N  m Tmax  Fa  10  2．计算相当应力

截面 A - A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为

2 2

M  T max103 )2 N 32 7002  (2.40 

σr3 

π  0.0603 m2 W

 1.179 108 Pa  117.9MPa

(a)

由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面 A - A 上水平直径的左端点，

为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为

16Tmax 4  4Fs   τ  τ 1  τ2

3πd 2 πd 3 33

16  2.40 10 16 10 10 N 6  ( ) 2 (56.6  4.72) 10Pa  61.3 MPa 32

π  0.060 3π  0.060m

σr3  2τ  2  61.3 MPa  122.6 MPa

(b)

其相当应力为

比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面 A - A 上水平直径的左端点，其相当应力

如式(b)所示。



σ r3 ( ) 。这里的顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求σ ( ) 、τ ( ) ，再求

从截面 A - A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将 σ r3 ( ) 对 求导，寻找其极值位置，找 到的极值位置是  0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。



8-9 图示某段杆的弯矩 M与 M图，它们均为直线，且其延长线分别与 x 轴相交于 c

y

z

和 d 点。试证明：如果 c,d 点不重合，则该段杆的总弯矩 M 图必为凹曲线。

5

题 8-9 图

证明：本题用几何法证明比较简便而直观。 证明要点如下：

1．将题设 M y 图线和 M z 图线画在图 8-9(a)所示的三维坐标系中（图 a 中的直线 e1 f1 和

e2 f 2 ）。

2．画总弯矩（合成弯矩）矢量 M 的矢端图 e3 f 3（它为两个坐标平面的两个垂面 e1e3 f 3 f1

与 e2 e3 f 3 f 2 的交线。）

3．将矢端图 e3 f 3 向坐标平面 M y OM z 投影，得其投影图线 ef 。ef 直线上任一点与原点

O 的连线，即代表某一截面总弯矩的大小（为清楚起见，参看图 b）。

4．将 M 由大（ M a ）到小（ M min ）、又由小到大（ M b ）连续变化的函数关系画在平 面坐标系 xoM 中，即成图(c)所示之凹曲线。

8-10 图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮 1 上，作用有径向力 F= 3.64kN、切向

y

力 Fz = 10kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 F'y = 5kN、径向力 F'z = 1.82kN。若许用应力

[  ]=100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。

题 8-10 图

6

解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 8-10(a)所示。内力图（ M z 、 M y 和T ） 分别示如图(b)、(c)和(d)。

由内力图和 8-9 题所证明的结论可知，截面 B 和 C󰀀 都可能为危险面。 对于截面 B ，总弯矩为

M B 1000 2  364 2 N  m 

1064

N  m

(a)

对于截面 C󰀀 ，总弯矩为

M C－ 227 2  5682 N  m 

612

N  m

(b)

比较式(a)和(b)可知，截面 B 最危险。由第四强度理论的强度条件

2 2 2 2

M B32 M B  0.75T  0.75T  [σ ] σr4 πd 3 W

得该轴的直径为

2 222 M B 0.75T 32  0.75 3210001064 3  d  3 m 6

π[ σ ] π 100 10

 5.19 10󰀀 2 m  51.9 mm

8-14 图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力 F= 1.9kN、

t

7

径向力 Fr = 740N 以及平行于轴线的外力 F = 660N。若许用应力[  ]=160MPa，试根据第四强 度理论校核轴的强度。

解：1.外力分析

题 8-14 图

将力 F 、 Fr 、 Ft 向轴 AD 的轴线简化，得该轴的计算简图如图 8-14(a)所示。图中，

M zC  FR  660  0.100 N  m  66.0N  m

3

M A  M C  F R  1.9  10 0.100 N  m  190.0 N  m t

8

2．内力分析

根据图(a)，可画轴力、扭矩及弯矩图如图(b)、(c)、(d)和(e)所示。 由内力图可知，截面 C󰀀 为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为

FN  F  660 N （压）， T  190.0 N  m M  M 2  M 2 57.0 2  55.2 2 N  m  79.3y z

3．强度校核

危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为



N  m

M FN 32  79.3 4  660 N  ( ) 2 32

W A π  0.025π  0.025m

 5.30 107 Pa  53.0 MPa （压）

T 16 190.0 N 7

τ   6.19 10Pa  61.9 MPa 3 2

π  0.025m Wp σ 

9

将其代入第四强度理论的强度条件，有

σ r4 σ 2  3τ 2 53.02  3  61.92 MPa  119.6 MPa  [σ ]

可见，该轴满足强度要求。

8-16 图示等截面刚架，承受载荷 F 与 F' 作用，且 F' = 2F。试根据第三强度理论

确定 F 的许用值[F]。已知许用应力为[  ]，截面为正方形，边长为 a，且 a = l/10。

题 8-16 图

解:1.寻找危险面

为了寻找危险面，首先需画出内力图。在图 8-16(a)所示坐标下，由 F 产生的内力示如 图(b)和(c)；由 F  产生的内力示如图(d)、(e)和(f)。

从内力图上不难找到可能的危险面有两个：截面 A 和截面 C 。 2．确定 F 的许用值 截面 A 为弯、拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件

σ max 

得

6  4Fl F 241F

 2 2 [σ ] 3

aa a

10

[σ ]a 2 F   4.15 10󰀀3 [σ ]a 2  4.15  10󰀀5 [σ ]l 2

241

(a)

截面 C 为弯（有 M y 、 M z ）、拉、扭组合，可能的危险点为 d 和 e （见图 g），点 f 的 扭转切应力虽然与点 d 的一样大，但其弯曲正应力只是点 d 的一半，故可将它排除在外。 对于点 d ，正应力和切应力依次为

6  2Fl F F

σd   2  121 2

3 aa a T F 2Fl τ d  96.2 

αhb2 0.208a3 a2

2 d

由第三强度理论的强度条件

2 d



得

F F 2 2

σ r3 σ  4τ  2121  4  96.2  227 2 [σ ]

a a

F  4.41 10󰀀3[σ ]a2  4.41  10󰀀5 [σ ]l 2

(b)

对于点 e ，切应力为零，由弯、拉组合（点 e 处于单向应力状态）的强度条件

σmax

6  2Fl 6  Fl F F

    [σ ]  181 33 2 2

a aaa

(c)

得

F  5.52  10󰀀3[σ ]a2  5.52 10󰀀5 [σ ]l 2

比较式(a)、(b)和(c)，最后确定 F 的许用值为

[F ]  4.15  10󰀀5[σ ]l 2

8-17 图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷 F 作用。已知圆环轴线的

半径为 R，截面的直径为 d，材料的许用应力为 [  ]，试根据第三强度理论确定载荷 F 的许 用值。

解：1.分析内力

题 8-17 图

11

本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图 8-17。

由图可得

M ( )  FRsin ， T ( )  FR(1 󰀀 cos )

2．求相当应力

根据第三强度理论，截面 危险点处的相当应力为

M 2 ( )  T 2 ( ) FRsin2  (1 - cos )2

σr3  W W

FR 2 󰀀 2cos

W

3．求 σr3 的最大值 由

(a)



dσr3

 0d

得极值位置为

o

  180

(b)

进一步分析可知，该极值位置使 σ r3 取得极大值，即截面 A 为危险截面，其危险点的相当应力 为

4．确定 F 的许用值

将式(c)代入强度条件

2FR 64FR

σ r3, max  

W πd 3

(c)

σr3, max  [σ ]

得载荷 F 的许用值为

12

3 πd [σ ] d 3 [ ] d3 [ ] [F ]    64R 20.4R 20R

8-18 图示结构，由轴 AB 与梁 CD 组成，并在截面 D 承受集中载荷 F 作用。已知

载荷 F = 1kN，弹性模量 E =210GPa，切变模量 G = 0.4E。试： （1）根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力； （2）计算截面 D 的转角与挠度。

题 8-18 图

解：(1)计算相当应力

此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。

将载荷 F 向轴 AB 的轴线简化，得力 F 和矩为 M e 的力偶，示如图 8-18(a)。

13

根据叠加原理，可将 F 和 M e 分开考虑。仅考虑 F 时，利用对称性，可在截面 C 处解除 多余内约束，得相当系统如图(b)所示。（图中只画了左边一半）。由变形协调条件

F

( )a2

M C a 2 θ  0， 󰀀  0C

2EI EI

得

M C 

Fa 4

据此，并利用对称性，可画出 M 图（见图 c ）。

仅考虑 M e 时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于 M e 的一半，即

1 1

M Ax  M Bx M e Fa

2 2

据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画T 图如图(d)所示。

由图(c)、(d)容易判断，B、A、C󰀀 和 C 四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值（均 指绝对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为

M 2  T 2 32Fa 12  22 8 1  103  0.300  5N

σr3   3 π  0.0403 m2 W4πd

 2.67  107 Pa  26.7 MPa

(2)计算转角和挠度

截面 D 的转角由轴 AB 的扭转变形和梁 CD 的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得

14

1 ( Fa)aFa 2 5Fa 2 Fa 2 2 θD  C  θD ( F ) 2EI1 4EI p 2EI1 GI p

12 110  32 0.300 5  - 3   )rad  2.73 10rad (943

210 10 4  π  0.040 2  0.020  0.060

3

2



截面 D 的挠度由轴 AB 的弯曲变形、扭转变形和梁 CD 的弯曲变形三部分提供，由叠加

法可得 33 3

Fa 5FaFa

wD  wC  C a  wD ( F ) 

24EI 4EI p 3EI1

3

0.30064 12 1  10  5  32  )m(  210 109 24  π  0.0404 4  π  0.0404 3  0.020  0.0603

 8.0 10󰀀 4 m  0.80 mm 

3



8-19 图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体 A 和 B 组成。设在该刚体上作用一

对方向相反、其矩均为 M 的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条件。 杆的长度 l、直径 d、材料的弹性模量 E、切变模量 G 以及许用应力[  ]均为已知，且 l =20d, G

= 0.4E。

题 8-19 图

解：1.求内力

此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图 8-19(a)所示。

15

静力学方面（见图 a ）

l

󰀀 M x  0， 2T  Fsz ( 5 ) 󰀀 M  0

(a)

几何方面（见图 a 和 b ） 由于刚体 B 只能绕结构水平中轴线相对于刚体 A 作刚性转动，故有变形协调条件

θy  0 l

∆z   ( )

10

物理方面

(b)

(c)

Tl Tl 1.25Tl    GI p (0.4E )(2I ) EI Fsz l ∆  󰀀 z

3EI 2EI M l Fsz l y

θ y  EI 2

󰀀2EI

3

(d)

M yl 2

(e) (f)

将式(d)～(f)代入式(b)和(c)，得补充方程

2M y  Fsz l

及

(g)

8Fsz l 󰀀 12M y  3T

联解方程(g)、(h)和(a)，得 (h)

15M 10 15

F sz T  M ，M， y M

23l 23 46

16

2．画内力图

上杆的内力图示如图 8-19(c)～(e)。

下杆的T 图与上杆一样，而 Fsz 图及 M y 图与上杆仅差符号，最大内力值（绝对值）与上 杆相同，故可省画其内力图。

3．建立强度条件 由于 l  20d ，属于细长杆，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三 强度理论，杆的强度条件为

15 2 10 2 ) ()M M  T ( 46 M23  5.54  [σ ] σ r3  π 3 W d 3

d 32

2 y

2

8-22 图示油管，内径 D =11mm，壁厚 = 0.5mm，内压 p = 7.5MPa，许用应力

[  ]=100MPa。试校核油管的强度。

题 8-22 图

解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为

pD  0，σ3  σ  0 σ1  σ t ，σ 2 σ x r 2δ

按照第三强度理论，有

6

pD 7.5 10  0.011 N 7 σ r3  σ 󰀀 σ3    8.25 10Pa  82.5MPa  [σ ] 1 22δ 2  0.0005 m

计算结果表明，该油管满足强度要求。

8-23 图示圆柱形容器，受外压 p = 15MPa 作用。试按第四强度理论确定其壁厚。

材料的许用应力[  ]= 160MPa。

题 8-23 图

解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度应满足

17

σr4 

由此可得

3 pD

 [σ ] 4δ

3 pD 3 15 106  0.080 󰀀3 δ  m  3.25 10m  3.25 mm4[σ ] 4 160 106

所得 δ  D / 20 ，属于薄壁容器，上述计算有效。

8-24 图示圆球形薄壁容器，其内径为 D，壁厚为 ，承受压强为 p 之内压。试证明

壁内任一点处的主应力为 1   2  pD /(4 ),  3  0 。

题 8-24 图

证明：用截面法取该容器的一半（连同内压）示如图 8-24(a)。

由图(a)所示半球的平衡方程

2

πD

󰀀 Fx  0，πDδ t 󰀀 4 p  0

得

pD σ t  4δ

球壁内任一点的应力状态如图(b)所示，由此可得三个主应力依次为

σ1  σ 2  σ t 

pD ，σ 3  04δ

8-25 图示铸铁构件，中段为一内径 D =200mm、壁厚 = 10mm 的圆筒，圆筒内的

18

压力 p =1MPa，两端的轴向压力 F = 300kN，材料的泊松比  = 0.25，许用拉应力[  t ]=30MPa。 试校核圆筒部分的强度。

解：1.应力计算

题 8-25 图

圆筒的 δ  D / 20 ，属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为

0.200 pD 1 10  6 σx p   Pa  5 10Pa  5MPa

4δ 4  0.010

pD 1  10 6 0.200 6 σtp   Pa  10 10Pa  10MPa 2δ 2  0.010

6

由轴向压力引起的轴向应力为

300 103 N F 7

 4.77  10Pa  47.7 MPa （压） σ xF  2

πDδ π  0.200  0.010 m

筒壁内任一点的主应力依次为

σ1  10 MPa，σ 2  0，σ3  (5 󰀀 47.7) MPa  󰀀42.7 MPa

2．强度校核

由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论

对其进行强度校核，即要求

σ r2  σ1 󰀀 µ(σ 2  σ3 )  [σ ]

将上述各主应力值代入上式，得

σ r2  [10 󰀀 0.25  (󰀀42.7)] MPa  20.7 MPa  [σ ]

可见，该铸铁构件满足强度要求。

8-26 图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，试问当温度升高 󰀀T 时，环的周

向正应力为何值。已知铜环与钢环的壁厚分别为1与 D，铜与钢的弹2 ，交接面的直径为 性

模量分别为 E1 与 E2，线胀系数分别为1与 2，且1   2

19

题 8-26 图

提示：由于 1   2 ，故当温度升高时，环间出现径向压力 p，外环周向受拉，内环周向 受压，但二环仍应紧贴在一起。

解：内、外环的受力情况示如图 8-26(a)和(b)。

设铜环的轴力（绝对值）为 FN1 ，钢环的轴力为 FN2 ，由图(c)、(d)所示各半个薄圆环的

平衡条件可得

变形协调条件为

pD

FN1  FN2 

2 ∆D1  ∆D2

(a)

(b)

物理关系为





F D ∆D1  α1 D∆T 󰀀 E1 A1 FN2 D ∆T  ∆D2  α D2

E2 A2

N1



(c)

将式(c)代入式(b)，得

󰀀 α2 ( α1

由式(a)可知，

)∆T  σ1t σ2t FN1 FN2

  E A E A E E2 1 1 2 2 1

(d)

即

σ1t A2 δ2 A ，   σ A  σ1t 1 2t 2

σ2t A1 δ1

20

δ2

σ 1t  σ2t

δ1

(e)

将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为

σ1t  (α1 󰀀 α2 )E1E2 δ2 ∆T E1δ1  E2 δ2

(α1 󰀀 α2 )E1E2 δ1 σ  ∆T2t

E1δ1  E2 δ2

(f)

(g)

式(f)亦可写成



σ1t  (α2 󰀀 α1 )E1E2 δ2 ∆T

E1δ1  E2 δ2

(f)

8-27 图示薄壁圆筒，同时承受内压 p 与扭力矩 M 作用，由实验测得筒壁沿轴向及

。试求内压 p 与扭力矩 M 之值。筒的内径 与轴线成 450 方位的正应变分别为 0 和D、壁 45

0

0

厚 、材料的弹性模量 E 与泊松比  均为已知。

题 8-27 图

解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 8-27 所示。

图中所示各应力分量分别为

由此可得

σ x 

T 2MpD pD

，σ t  2 ；τ 2Ωδ πDδ 2δ 4δ

σ 0o  σ x，σ 90 o  σ t；σ 45o

3 pD 3 pD

 τ  ；σ 󰀀 τo  45

8δ 8δ

根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为

21

由式(a)可得圆筒所承受的内压为 

(1 󰀀 2 µ) pD 1

󰀀 µσ ]  ε  [σt0 o

E x 4Eδ 1 2(1  µ)M (1 󰀀 µ)3 pD 1

 ]ε 45o  [σ45o󰀀 µσ 45o ]  [ 2

E EπDδ 8δ



4Eδ

p ε o(1 󰀀 2 µ)D 0

(a) (b)

(c)

将式(c)代入式(b)，可得扭力矩为

2

M  πED δ 4(1  µ)(1 󰀀 2 µ) [2(1 󰀀 2 µ)ε

45

o 󰀀 3(1 󰀀 µ)ε 0 o

]

22