贵州省黔西南州2022年中考数学试卷

贵州省黔西南州2022年中考数学试卷

阅卷人 一、单选题(共10题；共20分)

得分 1．（2分）实数−3的绝对值是（ ）

A．-3

【答案】C

B．±3 C．3

D．−1

3【解析】【解答】解：实数-3的绝对值为3.

故答案为：C.

【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可求出-3的绝对值.

2．（2分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】【解答】解：从上往下看，有三列（第一、二列各两个正方形，第三列一个正方形），两行

（的一行有三个正方形，第二行有2个正方形）， 故答案为：C.

【分析】俯视图就是从上往下看，所看到的平面图形，观察几何体，可得答案.

3．（2分）据央视6月初报道，电信5G技术赋能千行百业，打造数字经济底座.5G牌照发放三年

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来，三大电信运营商共投资4772亿元．把数字4772亿用科学记数法表示为（ ） A．4.772×109

【答案】C

【解析】【解答】解：4772亿=4.772×1011.

B．4.772×1010 C．4.772×1011 D．4.772×1012

故答案为：C.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（1亿=108）.

4．（2分）计算(−3𝑥)2⋅2𝑥正确的是（ ）

A．6𝑥3

【答案】C

B．12𝑥3 C．18𝑥3 D．−12𝑥3

【解析】【解答】解：原式=9x2·2x=18x3.

故答案为：C.

【分析】利用积的乘方法则，先算乘方运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算，可求出结果.

𝑥+1𝑥−25．（2分）小明解方程的步骤如下： −1=23解：方程两边同乘6，得3(𝑥+1)−1=2(𝑥−2)① 去括号，得3𝑥+3−1=2𝑥−2② 移项，得3𝑥−2𝑥=−2−3+1③ 合并同类项，得𝑥=−4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ） A．①

【答案】A

【解析】【解答】解： 方程两边同乘6，得3（x+1）-6=2(x-2)①

B．② C．③ D．④

∴开始出错的一步是①. 故答案为：A.

【分析】先去分母，在方程的两边同时乘以6，左边的1不能漏乘，可得到开始出错的一步，即可求解.

𝑘6．（2分）在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=(𝑘≠0)的图象如图所示，则一次函数𝑦=𝑘𝑥+2

𝑥的图象经过的象限是（ ）

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A．一、二、三

【答案】B

B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四

【解析】【解答】解：∵ 反比例函数𝑦=

𝑘

(𝑘≠0)的图象分支在第二、四象限， 𝑥∴k＜0

∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限. 故答案为：B.

【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.

17．（2分）在△𝐴𝐵𝐶中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于𝐴𝐶的长为半径作弧，两弧相2交于点M和N.作直线𝑀𝑁交𝐴𝐶于点D，交𝐵𝐶于点E，连接𝐴𝐸.则下列结论不一定正确的是（ ）

A．𝐴𝐵=𝐴𝐸

【答案】A

B．𝐴𝐷=𝐶𝐷 C．𝐴𝐸=𝐶𝐸 D．∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐸

【解析】【解答】解：由题意得，MN垂直平分线段AC，

∴𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐸=𝐶𝐸，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐸 所以B、C、D正确， 因为点B的位置不确定， 所以不能确定AB=AE. 故答案为： A.

【分析】由题意得：MN垂直平分线段AC，然后根据线段垂直平分线的性质判断即可.

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8．（2分）在如图所示的𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶纸片中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折

叠，点B到点E的位置，连接AE．若𝐴𝐸∥𝐷𝐶，∠𝐵=𝛼，则∠𝐸𝐴𝐶等于（ ）

A．𝛼

【答案】B

B．90°−𝛼

C．1𝛼

2D．90°−2𝛼

【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，△ACB＝90°，D是斜边AB的中点，

∴CD＝BD＝AD，

∵把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置 ∴BD＝ED，△B＝△CED， ∴CD＝BD＝AD＝ED，

∴△B＝△DCB＝△DCE＝△CED＝α，

∴△EDC＝180°−△DCE−△CED＝180°−α−α＝180°−2α， ∵AE△DC，

∴△AED＝△EDC＝180°−2α， ∵ED＝AD，

∴△EAD＝△AED＝180°−2α， ∵△B＝α，△ACB＝90°， ∴△CAD＝90°−α，

∴△EAC＝△EAD−△CAD＝180°−2α−（90°−α）＝90°−α. 故答案为：B.

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得CD＝BD＝AD，利用折叠的性质可推出CD＝BD＝AD＝ED，△B＝△CED，利用等边对等角，可得到△B＝△DCB＝△DCE＝△CED

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＝α，利用三角形的内角和定理和平行线的性质可表示出△AED的度数，从而可表示出△EAD，△CAD的度数；然后根据△EAC＝△EAD−△CAD，可表示出△EAC的度数.

9．（2分）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩

数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ） A．36=2×30

𝑥−4𝑥C．36=2×30 𝑥𝑥−4【答案】D

【解析】【解答】解：设平均每天耕作水田x亩，根据题意得 3630. =2×𝑥𝑥+4B．36=2×30

𝑥+4𝑥D．36=2×30 𝑥𝑥+4故答案为：D.

【分析】此题的等量关系为：每天平均耕作旱地的亩数=耕作水田的亩数+4；30÷每天平均耕作旱地的亩数×2=36÷每天耕作水田的亩数，据此列方程即可.

10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，

AB交x轴于点E，𝐴𝐹⊥𝑥轴，垂足为F．若𝑂𝐸=3，𝐸𝐹=1．以下结论正确的个数是（ ） ①𝑂𝐴=3𝐴𝐹；②AE平分∠𝑂𝐴𝐹；③点C的坐标为(−4，−√2)；④𝐵𝐷=6√3；⑤矩形ABCD的面积为24√2．

A．2个

【答案】C

B．3个 C．4个 D．5个

【解析】【解答】解：∵AF△x轴，

∴△AFE＝△BOE＝90°，

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∵△OEB＝△AEF， ∴△AEF△△BEO，

∴𝐵𝑂＝𝑂𝐸＝3＝3，△EAF＝△OBE， 𝐴𝐹𝐸𝐹1∴BO＝3AF，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO=BO＝DO，

∴AO＝3AF，△OBA＝△OAB，故①正确； ∴△OAB＝△EAF，

∴AE平分△OAF，故②正确； ∵OE＝3，EF＝1， ∴OF＝4， ∵OA2−AF2＝OF2， ∴8AF2＝16，

∴𝐴𝐹=√2（取正值）， ∴点A坐标为(4，√2)， ∵点A，点C关于原点对称， ∴点C（−4，−√2），故③正确； ∵𝐴𝐹=√2，OA＝3AF， ∴𝐴𝑂=𝑂𝐵＝𝑂𝐷=3√2， ∴𝐵𝐷=2𝑂𝐷=6√2，故④错误；

1

∵𝑆△𝐴𝐵𝐷＝×6√2×4＝12√2 2∴矩形ABCD的面积＝2×𝑆△𝐴𝐵𝐷＝24√2，故⑤正确； ∴正确的个数有4个. 故答案为：C.

【分析】利用垂直的定义和对顶角相等，可证得△AFE＝△BOE，△OEB＝△AEF，可得到

△AEF△△BEO，利用相似三角形的性质可得到BO＝3AF，△EAF＝△OBE，利用矩形的性质可推出AO＝CO=BO＝DO，可对①作出判断；同时利用等腰三角形的性质可知△OBA＝△OAB，可推出△OAB＝△EAF，可对②作出判断；再利用勾股定理求出AF的长，可得到点A的坐标，利用关于

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原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标，可对③作出判断；利用OA=3AF，可求出BD的长，可对④作出判断；然后求出BD的长，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，即可求出矩形ABCD的面积，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数

阅卷人 二、填空题(共10题；共10分)

得分 𝑥+𝑦2𝑦

11．（1分）计算：𝑥−𝑦−𝑥−𝑦＝ ． 【答案】1

𝑥+𝑦−2𝑦𝑥−𝑦【解析】【解答】解：原式=𝑥−𝑦=𝑥−𝑦=1.

故答案为：1.

【分析】利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，然后约分计算.

612．（1分）已知点(2，𝑦1)，(3，𝑦2)在反比例函数𝑦=的图象上，则𝑦1与𝑦2的大小关系

𝑥是 ．

【答案】𝑦1>𝑦2

【解析】【解答】解：∵k=6＞0，

∴y随x的增大而减小，

6

∵ 点(2，𝑦1)，(3，𝑦2)在反比例函数𝑦=的图象上，

𝑥∴2＜3， ∴y1＞y2.

故答案为：y1＞y2.

𝑘

【分析】利用反比例函数y𝑦=（𝑘≠0），当k＞时，y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的

𝑥增大而增大，据此可得答案.

13．（1分）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90°，∠𝐵=60°，∠𝐷=45°，AC与DE

相交于点F．若𝐵𝐶∥𝐴𝐸，则∠𝐴𝐹𝐸的度数为 ．

【答案】105°

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【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC和△ADE中，△BAC=△DAE=90°，△B=60°，△C=45°，

∴△C=90°-60°=30°，△E=90°-45°=45°， ∵BC△AE， ∴△C=△EAF=30°，

∴△AFE=180°-△E-△EAF=180°-45°-30°=105°. 故答案为：105°.

【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出△C，△E的度数；利用平行线的性质可求出△EAF的度数；然后利用三角形的内角和定理求出△AFE的度数.

14．（1分）某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表：

则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 ．

次数 人数 【答案】5.5

【解析】【解答】解：∵一共有10名同学，从小到大排列，第5个数是5，第6个数是6，

4 2 5 3 6 2 7 2 8 1 ∴这组数据的中位数为5+6=5.5.

2故答案为：5.5.

【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；先排列，再求出这组数据的中位数.

15．（1分）已知𝑎𝑏=2，𝑎+𝑏=3，则𝑎2𝑏+𝑎𝑏2的值为 ． 【答案】6

【解析】【解答】解：∵ab=2，a+b=3，

∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6. 故答案为：6.

【分析】观察此多项式含有公因式ab，因此提取公因式，可得到ab（a+b），然后整体代入求值.

16．（1分）如图，在平面直角坐标系中，△𝑂𝐴𝐵与△𝑂𝐶𝐷位似，位似中心是坐标原点O．若点

𝐴(4，0)，点𝐶(2，0)，则△𝑂𝐴𝐵与△𝑂𝐶𝐷周长的比值是 ．

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【答案】2

【解析】【解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），

∴OA=4，OC=2，

∵△𝑂𝐴𝐵与△𝑂𝐶𝐷位似，位似中心是坐标原点O，

𝑂𝐴4. ∴△𝑂𝐴𝐵与△𝑂𝐶𝐷周长的比值是

𝑂𝐶=2=2

故答案为：2.

【分析】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的周长比等于相似比，可得答案.

17．（1分）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角

坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是𝑦=−

5

，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 3122𝑥+3𝑥+12

【答案】10

【解析】【解答】解：由题意可知当y=0时 125

−12𝑥2+3𝑥+3=0，

解之：x1=-2（舍去），x2=10， ∴铅球推出的水平距离OA的长是10. 故答案为：10.

【分析】此题要求铅球推出的水平距离OA的长，就是求当y=0时的函数值，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值.

18．（1分）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角

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∠𝐹𝑂𝐻=90°．则图中阴影部分面积是 ．

【答案】2π-4

【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，

∴OC=OB=OD，△BOC=△BCD=△DOC=90°，BC=DC， ∴△OCG=△OBE=45°， ∵△FOH=90°，

∴△COG+△COE=△BOE+△COE=90°， ∴△COG=△BOE， 在△COG和△BOE中

∠𝐶𝑂𝐺=∠𝐵𝑂𝐸

{𝑂𝐶=𝑂𝐵 ∠𝑂𝐶𝐺=∠𝑂𝐵𝐸

∴△COG△△BOE（ASA）， ∴S△COG=S△BOE， ∴S△BOC=S四边形OECG， ∴S阴影部分=S扇形HOF-S△COG， 在Rt△ODC中 2OD2=DC2=42 解之：OD=OC=2√2 ∴𝑆

阴影部分

=𝑆扇形𝐻𝑂𝐹−𝑆△𝐶𝑂𝐺

90π×(2√2)12. =−3604×4=2π−4

2

故答案为：2π-4.

【分析】利用正方形的性质可知OC=OB=OD，△BOC=△BCD=△DOC=90°，BC=DC，利用三角形的内角和定理可证得△OCG=△OBE，利用余角的性质可得到△COG=△BOE；再利用ASA证明△COG△△BOE，利用全等三角形的面积相等，去证明S阴影部分=S扇形HOF-S△COG

；利用勾股定理求出OC的长；然后利用扇形的面积公式和正方形的面积公式，可求出阴影部分的

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面积.

19．（1分）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行

驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是 nmile．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，保留整数结果）

【答案】34

【解析】【解答】解：过点C作CF△AB于F，设CF＝xnmile，

∵计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，

∴△DAC＝50°，△DAB＝80°，△EBC=40°，AD△BE， ∴△CAB＝△DAB−△DAC＝30°， ∵AD△BE，

∴△DAB＋△ABE＝180°，

∴△ABE＝180°−△DAB＝180°−80°＝100°， ∴△ABC＝△ABE−△CBE＝100°−40°＝60°；

在Rt△ACF中，△CAF=80°-50°＝30°，则△ACF=60°， ∴AF＝CFtan△ACF=CFtan60°=√3𝑥； 在Rt△CFB中，∵△FBC＝60°，

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∴△BCF=90°-60°=30°，

√

∴BF＝CFtan△BCF=CFtan30°=3𝑥

3∵AF＋BF＝AB，

√

∴√3𝑥+3𝑥=80，

3 解之：𝑥=20√3≈34

∴C岛到航线AB的最短距离约为34nmile. 故答案为：34.

【分析】过点C作CF△AB于F，设CF＝xnmile，利用方位角的定义，由题意可知△DAC＝50°，△DAB＝80°，△EBC=40°，AD△BE，可求出△CAB的度数，利用平行线的性质求出△ABE的度数，即可求出△ABC的度数；在Rt△ACF和Rt△CFB中，利用三角形的内角和定理分别求出△ACF，△BCF的度数，利用解直角三角形分别表示出AF，BF的长；然后根据AF+BF=AB，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用垂线段最短可得到C岛到航线AB的最短距离.

20．（1分）如图，在平面直角坐标系中，𝐴1(2，0)，𝐵1(0，1)，𝐴1𝐵1的中点为𝐶1；𝐴2(0，3)，

𝐵2(−2，0)，𝐴2𝐵2的中点为𝐶2；𝐴3(−4，0)，𝐵3(0，−3)，𝐴3𝐵3的中点为𝐶3；𝐴4(0，−5)，𝐵4(4，0)，𝐴4𝐵4的中点为𝐶4；…；按此做法进行下去，则点𝐶2022的坐标为 ．

【答案】(−1011，

2023

) 2【解析】【解答】解：∵Cn的位置按4次一周的规律循环出现，

∴2022÷4=505…2， ∴C2022在第二象限，

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∵点C1是A1B1的中点，C2是A2B2的中点…，

3

∴𝐶2(−2，)；

27

𝐶6(−3，2)；

𝐶10(−5，𝑛𝑛+1

∴点𝐶𝑛(−，，

22)

11

)…2∴𝐶2022(−1011，2023

. 2)

2023

. 故答案为：(−1011，2)

【分析】观察图形可知Cn的位置按4次一周的规律循环出现，利用第二象限的点A2，B2的坐标，可求出点C2的坐标；再分别求出点C6，C10坐标，可得到点Cn的坐标，代入n=2022，可求出结果.

阅卷人 三、解答题(共6题；共75分)

得分 21．（10分）

1

（1）（5分）计算：−22+√12×√3+()−1−(𝜋−3)0；

2𝑥−3≤2(𝑥−1)

（2）（5分）解不等式组{，并把解集在数轴上表示出来． 𝑥𝑥+2

＜35

【答案】（1）解：原式=−4+6+2−1=3

（2）解：解不等式𝑥−3≤2(𝑥−1)；得𝑥≥−1．

𝑥𝑥+2

解不等式<，得𝑥<3．

35在数轴上表示如下：

∴不等式组的解集为−1≤𝑥<3．

【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，再利用二次根式的乘法法则进行计算，然后利用有理数

的加减法法则进行计算，可求出结果.

（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后将不等式组的解

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集在数轴上表示出来.

22．（15分）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天

梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）（5分）𝑚= ▲ ，𝑛= ▲ ；并补全条形统计图：

（2）（5分）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆； （3）（5分）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？

【答案】（1）解：100；35；由题意可得：B：航天资料收集有：100×35%＝35（人）C：航天知识竞

赛有：100×15%＝15（人）补全条形统计图如图所示：

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（2）解：1800×40%=720（名），答：估计该校大约有720名学生选择参观科学馆． （3）解：解法一列表如下：

甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 甲 乙 丙 丁 如上表，共有12种等可能的结果．其中恰好选中甲、乙两名同学的结果为2种：（甲，乙），（乙，

21甲）．甲、乙恰好被分在一组的概率为=．解法二 画树状图为：

126

共有12种等可能的结果：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）．甲、乙恰好被分在一组的结果

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为2种：（甲，乙），（乙，甲）．甲、乙恰好被分在一组的概率为2=1．

126【解析】【解答】(1)由题意可得，m＝10÷10%＝100，n%＝100%-15%-10%-40×100%＝35%，故答

100案为：100，35；

【分析】（1）观察两统计图，利用A的人数÷A所占的百分比，列式计算求出调查的学生人数；再求出D所占的百分比，然后求出n的值；再求出B，C的人数，即可补全条形统计图. （2）利用全校的学生人数×选择参观科学馆的人数所占的百分比，列式计算.

（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列表或列树状图，可得到所有等可能的结果数及甲、乙被分在同一组的情况数；然后利用概率公式进行计算.

23．（10分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以AB为直径作△𝑂，分别交BC于点D，交AC于点

E，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．

（1）（5分）求证：DH是△𝑂的切线；

𝐸𝐹（2）（5分）若E为AH的中点，求的值．

𝐹𝐷【答案】（1）证明：连接OD，

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则𝑂𝐷=𝑂𝐵．∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐵．∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐵=∠𝐶．∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐶．∴𝑂𝐷∥𝐴𝐶．∴∠𝐷𝐻𝐶=∠𝐻𝐷𝑂．∵𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，∴∠𝐷𝐻𝐶=∠𝐻𝐷𝑂=90°．∴𝐷𝐻⊥𝑂𝐷．∴DH是⊙𝑂的切线． （2）解：连接AD和BE．∵AB是⊙𝑂的直径，∴𝑂𝐴=𝑂𝐵，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐵=90°．∵𝑂𝐷∥𝐴𝐶∴

11𝑂𝐵𝐵𝐷

∴𝐶𝐷=𝐵𝐷．∴𝑂𝐷∥𝐴𝐶且𝑂𝐷=𝐴𝐶．∵𝑂𝐷∥𝐴𝐸，∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝑂𝐷𝐹．∵∠𝐹===1𝑂𝐴𝐶𝐷22𝐹𝐸𝐴𝐸

．∵∠𝐷𝐻𝐴=∠𝐵𝐸𝐴=90°∴𝐷𝐻∥𝐵𝐸∴𝐶𝐻=𝐶𝐷=1∴𝐶𝐻==𝐹𝐷𝑂𝐷𝐻𝐸𝐵𝐷∠𝐹，∴△𝐹𝐴𝐸∽△𝐹𝑂𝐷．∴

1

𝐹𝐸𝐴𝐸3𝐴𝐶21

𝐻𝐸．∵E为AH的中点，∴𝐴𝐸=𝐸𝐻=𝐶𝐻．∴𝐴𝐸=𝐴𝐶∴𝐹𝐷=𝑂𝐷=1=3．

3𝐴𝐶2【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得△ODB=△B=△C，由此可证OD△AC，利用平

行线的性质可得到△DHC=△HDO，利用垂直的定义去证明DH△OD，利用切线的判定定理可证得结论.

（2）连接AD和BE，由OD△AC，利用平行线分线段成比例，可证得CD=BD，利用三角形的中位

11

线定理可证得𝑂𝐷∥𝐴𝐶且𝑂𝐷=𝐴𝐶；再证明△FAE△△FOD，利用相似三角形的对应边成比例可得

22到𝐹𝐸=𝐴𝐸；再证明DH△BE，利用平行线分线段成比例可证得CH=HE，由此可推出AE=EH=CH，

𝐹𝐷𝑂𝐷可得到AE与AC的数量关系，可得到𝐸𝐹的值.

𝐹𝐷24．（10分）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知

3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．

（1）（5分）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

（2）（5分）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

【答案】（1）解：设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，得

3𝑥+4𝑦=330𝑥=30{，解这个方程组，得{𝑦=60答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种4𝑥+3𝑦=300植费用为60元；

（2）解：设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为(400−𝑚)盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据题意，得(1−70%)𝑚+(1−90%)(400−𝑚)≤80，解得𝑚≤200，𝑤=30𝑚+60(400−𝑚)=−30𝑚+24000，∵−30<0，∴w随m增大而减小，当𝑚=200时，𝑤min=

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−30×200+24000=18000．答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．

【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元；4盆

A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解. （2）设种植A种花卉的数量为m盆，可表示出种植B种花卉的数量，利用这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，可得到关于m的不等式，可求出m的取值范围；再根据题意可得到w与m的函数解析式，利用一次函数的性质，可求出种植的最低费用及具体的种植方案.

25．（15分）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重

合），且∠𝐸𝐴𝐹=45°．

（1）（5分）当𝐵𝐸=𝐷𝐹时，求证：𝐴𝐸=𝐴𝐹；

（2）（5分）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）（5分）如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，𝐺𝐻⊥𝐴𝐸，垂足为K，交AC于点H且𝐺𝐻=𝐴𝐸．若𝐷𝐹=𝑎，𝐶𝐻=𝑏，请用含a，b的代数式表示EF的长．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐷=90°．在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐹中

𝐴𝐵=𝐴𝐷

{∠𝐵=∠𝐷，∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐸=𝐴𝐹； 𝐵𝐸=𝐷𝐹

（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为𝐸𝐹=𝐷𝐹+𝐵𝐸．理由如下：延长CB至M，使𝐵𝑀=𝐷𝐹，连接AM，

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𝐴𝐵=𝐴𝐷

则∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐷=90°．在△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝐷𝐹中{∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐷，∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝑀=

𝐵𝑀=𝐷𝐹𝐴𝐹，∠𝑀𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝐷．∵∠𝐸𝐴𝐹=45°，∴∠𝑀𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=45°．在△𝐴𝐸𝑀和△𝐴𝑀=𝐴𝐹

𝐴𝐸𝐹中{∠𝑀𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐸，∴△𝐴𝐸𝑀≌△𝐴𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐸𝑀=𝐸𝐹=𝐷𝐹+𝐵𝐸；

𝐴𝐸=𝐴𝐸（3）解：过点H作𝐻𝑁⊥𝐵𝐶于点N，

则∠𝐻𝑁𝐺=90°．∵𝐺𝐻⊥𝐴𝐸，∴∠𝐴𝐾𝐺=∠𝐴𝐵𝐺=90°，∴∠𝐵𝐺𝐾=∠𝐸𝐴𝐵．在△𝐴𝐵𝐸和△𝐺𝑁𝐻中∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐺𝑁𝐻

{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝑁𝐺𝐻，∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐺𝑁𝐻(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐸𝐵=𝐻𝑁．∵∠𝐻𝐶𝑁=45°，∠𝐻𝑁𝐶=90°，

𝐴𝐸=𝐺𝐻∴sin45°=

𝐻𝑁√√

，∴𝐻𝑁=2𝐶𝐻，由（2）知，𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹=𝐻𝑁+𝐷𝐹=2𝑏+𝑎． 𝐻𝐶22【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=AD，△B=△D=90°，再利用SAS证明

△ABE△△ADF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.

（2）延长CB，使BM=DF，连接AM，利用SAS证明△ABM△△ADF，利用全等三角形的性质可得到AM=MF，△MAB=△FAD；再利用SAS证明△AEM△△AEF，利用全等三角形的性质可推出EM=EF，即可证得BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系.

（3）过点H作HN△BC于点N，利用垂直的定义可证得△AKG=△ABG=90°，△BGK=△EAB，利用AAS证明△ABE△△GNH，利用全等三角形的性质可得到EB=HN，利用解直角三角形可表示出HN

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和CH的数量关系，利用（2）的结论，可用含a，b的代数式表示EF的长.

26．（15分）如图，在平面直角坐标系中，经过点𝐴(4，0)的直线AB与y轴交于点𝐵(0，4)．经过原

点O的抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

（1）（5分）求抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的表达式；

（2）（5分）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当𝑀𝑁∥𝑦轴且𝑀𝑁=2时，求点M的坐标；

（3）（5分）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

−16+4𝑏+𝑐=0【答案】（1）解：∵抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐过点𝐴(4，0)，𝑂(0，0)∴{，解得

𝑐=0.𝑏=4{，∴抛物线的表达式为𝑦=−𝑥2+4𝑥． 𝑐=0

（2）解：设直线AB的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，∵直线AB经过𝐴(4，0)，𝐵(0，4)，4𝑘+𝑏=0𝑘=−1∴{，∴{，∴直线AB的表达式为𝑦=−𝑥+4．

𝑏=4𝑏=4

∵𝑀𝑁∥𝑦轴，可设𝑀(𝑡，−𝑡+4)，𝑁(𝑡，−𝑡2+4𝑡)，其中0≤𝑡≤4．当M在N点上方时，𝑀𝑁=

√√√

．∴𝑀1(5−17，−𝑡+4−(−𝑡2+4𝑡)=𝑡2−5𝑡+4=2．解得𝑡1=5−17，𝑡2=5+17（舍去）222 20 / 27

3+√17．当M在N点下方时， 𝑀𝑁=−𝑡2+4𝑡−(−𝑡+4)=−𝑡2+5𝑡−4=2．解得𝑡=2，𝑡=

34

2)

3．∴𝑀2(2，2)，𝑀3(3，1)．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个(5−√17，3+√17)，

22(2，2)，(3，1)．

√√

（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．(5，1)，(−4，−2)，(7−5，1−5)，

227+√51+√5(2，2)．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．

当𝑥=2时，𝑦=−2+4=2∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点𝑅(2，2)．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点𝑃1，𝑃2，∵𝐶(1，3)，𝐷(2，4)，∴𝐶𝐷=√2，𝐶𝑅=√2，𝑅𝐷=2．∵(√2)+(√2)=22，∴𝐶𝐷2+𝐶𝑅2=𝐷𝑅2．∴∠𝑅𝐶𝐷=90°．∴点𝑃1与点D重合．当𝐶𝑃1∥𝐴𝑄1，𝐶𝑃1=𝐴𝑄1时，四边形𝐴𝐶𝑃1𝑄1是矩形．∵𝐶(1，3)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到𝑃1(2，4)．∴𝐴(4，0)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到𝑄1(5，1)．此时直线𝑃1𝐶的解析式为𝑦=𝑥+2．∵直线𝑃2𝐴与𝑃1𝐶平行且过点𝐴(4，0)，∴直线𝑃2𝐴的解析式为𝑦=𝑥−4．∵点𝑃2是直线𝑦=𝑥−4与拋物线𝑦=−𝑥2+4𝑥的交点，∴−𝑥2+4𝑥=𝑥−4．解得𝑥1=−1，𝑥2=4（舍去）．∴𝑃2(−1，−5)．当𝐴𝐶∥𝑃2𝑄2，𝐴𝐶=𝑃2𝑄2时，四边形𝐴𝐶𝑄2𝑃2是矩形．∵𝐴(4，0)向左平移3个单位，向上平移3个单位得到𝐶(1，3)．∴𝑃2(−1，−5)向左平移3个单位，向上平移3个单位得到𝑄2(−4，−2)．②如图，若AC是四边形的对角线，

2

2

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当∠𝐴𝑃3𝐶=90°时．过点𝑃3作𝑃3𝐻⊥𝑥轴，垂足为H，过点C作𝐶𝐾⊥𝑃3𝐻，垂足为K．可得∠𝑃3𝐾𝐶=

2𝑃3𝐾𝐴𝐻−𝑡+4𝑡−34−𝑡

．∵∠𝐴𝐻𝑃3=90°，∠𝑃3𝐶𝐾=∠𝐴𝑃3𝐻．∴△𝑃3𝐶𝐾∽△𝐴𝑃3𝐻．∴𝐶𝐾=𝑃𝐻．∴=2𝑡−13−𝑡+4𝑡

√

点P不与点A，C重合，∴𝑡≠1和𝑡≠4．∴𝑡2−3𝑡+1=0．∴𝑡3，4=3±5．∴如图，满足条件的2√√√√

点P有两个．即𝑃3(3+5，5+5)，𝑃4(3−5，5−5)．

2222

√√√

当𝑃3𝐶∥𝐴𝑄3，𝑃3𝐶=𝐴𝑄3时，四边形𝐴𝑃3𝐶𝑄3是矩形．∵𝑃3(3+5，5+5)向左平移1+5个单位，向222√√√

下平移−1+5个单位得到𝐶(1，3)．∴𝐴(4，0)向左平移1+5个单位，向下平移−1+5个单位得到

2227−√51−√53−√55−√5𝑄3(2，2)．当𝑃4𝐶∥𝐴𝑄4，𝑃4𝐶=𝐴𝑄4时，四边形𝐴𝑃4𝐶𝑄4是矩形．∵𝑃4(2，2)向右

√√√

平移−1+5个单位，向上平移1+5个单位得到𝐶(1，3)．∴𝐴(4，0)向右平移−1+5个单位，向上平222√√√

移1+5个单位得到𝑄4(7+5，1+5)．综上，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(−4，−2)或

2227−√51−√5或7+√51+√5 (，)(，)2222 ．

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【解析】【分析】（1）将点A，O的坐标代入函数解析式，可求出b，c的长，可得到二次函数解析

式.

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的长，可得到直线AB的函数解析式；利用MN△y轴，根据两函数解析式设𝑀(𝑡，−𝑡+4)，𝑁(𝑡，−𝑡2+4𝑡)，其中0≤𝑡≤4；分情况讨论：当M在N点上方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；当点M在点的下方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；综上所述可得到符合题意的点M的坐标. （3）分情况讨论：①如图，若AC是四边形的边，将x=2代入函数解析式求出对应的y的值，可得到点R的坐标，过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，利用点C，D的坐标求出CD，CR，RD的长；可证得点P1和点D重合，当CP1△AQ1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，利用点的坐标平移可得到点P1，Q1的坐标，同时可求出直线P1C，直线P2A的函数解析式，将直线P2A和抛物线联立方程组，解方程组，可得到点P2的坐标；当AC△P2Q2，AC=P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，将点A向左平移3个单位，向上平移3个单位得到定C的坐标，因此将点P2向3个单位，向上平移3个单位得到点Q2的坐标；②如图，若AC是四边形的对角线，当

△AP3C=90°，过点P3作P3H△x轴，过点C作CK△P3H，易证△P3CK△△AP3H，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，利用点P不与点A，C重合，可知t≠1，t≠4，可得到符合题意的t的值，即可得到点P的坐标；当点CP3△AQ3，CP3=AQ3使四边形AP3CQ3是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；当P4C△AQ4，P4C=AQ4，四边形AP4CQ4是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.

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试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：105分 客观题（占比） 25.0(23.8%) 分值分布 主观题（占比） 80.0(76.2%) 客观题（占比） 15(57.7%) 题量分布 主观题（占比） 11(42.3%) 2、试卷题量分布分析

大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 填空题 10(38.5%) 10.0(9.5%) 解答题 6(23.1%) 75.0(71.4%) 单选题 10(38.5%) 20.0(19.0%) 3、试卷难度结构分析

序号 难易度 占比 1 普通 (84.6%) 2 容易 (7.7%) 3 困难 (7.7%) 4、试卷知识点分析

序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 实数的运算 10.0(9.5%) 21 24 / 27

2 三角形的中位线定理 10.0(9.5%) 23 3 分式的加减法 1.0(1.0%) 11 4 列表法与树状图法 15.0(14.3%) 22 5 单项式乘单项式 2.0(1.9%) 4 6 几何图形的面积计算-割补法 1.0(1.0%) 18 7 二次函数与一次函数的综合应用 15.0(14.3%) 26 8 科学记数法—表示绝对值较大的数 2.0(1.9%) 3 9 解直角三角形 15.0(14.3%) 25 10 位似变换 1.0(1.0%) 16 11 翻折变换（折叠问题） 2.0(1.9%) 8 12 中位数 1.0(1.0%) 14 13 解直角三角形的应用﹣方向角问题 1.0(1.0%) 19 14 积的乘方 2.0(1.9%) 4 15 二元一次方程组的实际应用-销售问题 10.0(9.5%) 24 16 平行线的性质 1.0(1.0%) 13 17 因式分解的应用 1.0(1.0%) 15 18 一次函数图象、性质与系数的关系 2.0(1.9%) 6 19 三角形全等的判定（AAS） 15.0(14.3%) 25

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20 切线的判定 10.0(9.5%) 23 21 关于原点对称的坐标特征 2.0(1.9%) 10 22 直角三角形斜边上的中线 2.0(1.9%) 8 23 扇形面积的计算 1.0(1.0%) 18 24 简单组合体的三视图 2.0(1.9%) 2 25 反比例函数的性质 1.0(1.0%) 12 26 探索图形规律 1.0(1.0%) 20 27 一次函数的实际应用 10.0(9.5%) 24 28 相似三角形的性质 1.0(1.0%) 16 29 解一元一次不等式组 10.0(9.5%) 21 30 二次函数的实际应用-抛球问题 1.0(1.0%) 17 31 用样本估计总体 15.0(14.3%) 22 32 矩形的性质 2.0(1.9%) 10 33 三角形内角和定理 3.0(2.9%) 8,13 34 等腰三角形的性质 12.0(11.4%) 8,23 35 条形统计图 15.0(14.3%) 22 36 待定系数法求二次函数解析式 15.0(14.3%) 26 37 在数轴上表示不等式组的解集 10.0(9.5%) 21

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38 平行线分线段成比例 10.0(9.5%) 23 39 实数的绝对值 2.0(1.9%) 1 40 二次函数的实际应用-几何问题 15.0(14.3%) 26 41 相似三角形的判定与性质 12.0(11.4%) 10,23 42 线段垂直平分线的性质 2.0(1.9%) 7 43 反比例函数的图象 2.0(1.9%) 6 44 解含分数系数的一元一次方程 2.0(1.9%) 5 45 勾股定理 4.0(3.8%) 8,10 46 分式方程的实际应用 2.0(1.9%) 9 47 点的坐标 1.0(1.0%) 20 48 正方形的性质 16.0(15.2%) 18,25 49 扇形统计图 15.0(14.3%) 22 50 等式的性质 2.0(1.9%) 5 51 三角形全等的判定（SAS） 16.0(15.2%) 18,25

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