高数积分总结归纳

第一节不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF(x)定义2.函数

f(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数

f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

“”叫做积分号

其中f(x)叫做被积函数

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1.不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性质2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 性质3.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx(k0).

性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即 三、换元积分法和分部积分法

定理1.设(x)可导，并且f(u)duF(u)C.则有

该方法叫第一换元积分法(integrationbysubstitution)，也称凑微分法． 定理2.设x(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函数

F(t)，则

该方法叫第二换元积分法

选取u及v(或dv)的原则:1)v容易求得;2)uvdx比uvdx

解题技巧:选取u及v的一般方法:

把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为u后者为v. 第二节定积分概念

一、原函数与不定积分的概念 二、定积分的定义和存在定理

三、定积分的几何意义与定积分的性质 1．定积分的几何意义 2.定积分的性质

性质1.b[f(x)g(x)]dxbf(x)dxbg(x)dx.

aaa性质2.bkf(x)dxkbf(x)dx(k是常数).

aa性质3.abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx.

bb性质4.af(x)dxadxba.

推论1.如果在[a,b]上，f(x)g(x),则bf(x)dxbg(x)dx(aaa推论2.bf(x)dxbf(x)dx

aa性质5.bf(x)dx0(ab).

a性质6.设M与m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则

m(ba)abf(x)dxM(ba)(ab).

性质7.(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]]

上至少存在一点，使下式成立： bf(x)dxf()(ba)(ab)

a可积的充分条件:

定理1.函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]可积.

定理2.函数f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]可积. 第三节微积分基本公式 一、微积分基本公式

1. 变上限函数

定义1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]任意一个子区间[a,x]上可积，则

是上限变量x的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数. 2.微积分基本公式

定理2.bf(x)dxF(b)F(a) a1.定积分的换元积分法

定理3.bf(x)dxf(t)(t)dt

a(x)af(t)dx(axb)

x注：设f(x)在[a,a]上连续,证明

(1)若f(x)在[a,a]为偶函数，则af(x)dx=2af(x)dx；

a0(2)若f(x)在[a,a]上为奇函数，则af(x)dx=0.

a2.定积分的分部积分法

b定理4.budv[uv]bvdu aaa第四节定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~） 一、定积分的微元法 其实质是找出

A的微元dA的微分表达式.

b二、定积分在几何中的应用 1.平面图形的面积Af(x)dx.

a2.旋转体的体积VbA(x)dx

a三、定积分在物理上的应用 1.变力做功WbF(x)dx

a2.液体静压Fbgxf(x)dx

a四、定积分在医学上的应用