一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程

基础知识

1、 一元二次方程

方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如

ax2bxc0（a0）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二

2次方程。其中ax，bx，c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。 如：

2x2，4x，12x24x10满足一般形式

ax2bxc0（a0），

分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别

是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法 形如xxm2m（m0）的方程都可以用开平方的方法写成

，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

2 （2）配方法

通过配方将原方程转化为(xn)直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。 配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上

初中数学 :..第 2 页 共 61 页..: m（m0）的方程，再用

初中数学 :..第 3 页 共 61 页..:

、c满足条件b4ac0时才有实数根．这里b一元二次方程根的判别式．

b224ac叫做

4、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程的根由其

c确定，b、系数a、它的根的情况（是否有实数根）由b4ac确定．

ax2bxc0(a0)22axbxc0(a0)，其根的判别式为：b24ac则 设一元二次方程为

bb24acx1,22axbxc0(a0)2a0①方程有两个不相等的实数根．

bx1x222a． ②0方程axbxc0(a0)有两个相等的实数根

③0方程axbxc0(a0)没有实数根．

若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

2若为完全平方式，同时bb4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．

2说明：

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有

两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0．

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式b4ac判定方程的根的情况（有两个 不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当b4ac0时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点．

225、一元二次方程的根的判别式的应用

初中数学 :..第 4 页 共 61 页..:

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

6、韦达定理

如果axbxc0(a0)的两根是x，x，则，．（隐含的条件：0） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x，x是方程xpxq0的两个根，则xxp，xxq．

212x1x2bax1x2ca12212127、韦达定理的逆定理

以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x(xx)xxx0．

1221212一般地，如果有两个数x，x满足x必定是axbxc0(a0)的两个根．

12x1x2ba，

x1x2ca，那么x，

1228、韦达定理与根的符号关系

在b⑴当

24ac≥0的条件下，我们有如下结论：

b≥0ac0a时，方程的两根必一正一负．若

b0a，则此

方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的

初中数学 :..第 5 页 共 61 页..:

正根小于负根的绝对值．

⑵当

c0a时，方程的两根同正或同负．若

b0ab0a，则此

方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．

更一般的结论是：

若x，x是axbxc0(a0)的两根（其中xx），且m为实数，当0时，一般地： ① (xm)(xm)0xm，xm

② (xm)(xm)0且(xm)(xm)0xm，xm ③ (xm)(xm)0且(xm)(xm)0xm，xm

特殊地：当m0时，上述就转化为axbxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．

2121212121212121212122

其他有用结论：

⑴若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数）．

2⑵若ac0，则方程axbxc0(a0)必有实数根． 2axbxc0(a0)不一定有实数根． ac0⑶若，方程2axbxc0(a0)必有一根x1． abc0⑷若，则2⑸若abc0，则axbxc0(a0)必有一根x1．

9、韦达定理的应用

⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；

⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；

⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；

初中数学 :..第 6 页 共 61 页..:

⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱

10、整数根问题

对于一元二次方程axbxc0(a0)的实根情况，可以用判别式b4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程axbxc0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ b4ac为完全平方数；

⑵ bb4ac2ak或bb4ac2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数) 11、一元二次方程的应用

222222 1．求代数式的值；

2. 可化为一元二次方程的分式方程。 步骤：

1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。

初中数学 :..第 7 页 共 61 页..:

2）解一元二次方程。 3）检验 3. 列方程解应用题

步骤：审、设、列、解、验、答

板块一 一元二次方程的定义 ●夯实基础

例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 （1）2y （2）

（3）(x5)(x5)0

（4）(5y1)(2y1)y （5）(m

222y7

212x2x05

1)x2nmx0（x是未知数）

初中数学 :..第 8 页 共 61 页..:

例2 已知关于x的方程(a2)x的取值范围．

2axx21是一元二次方程，求a

例3 若一元二次方程(m2)x零，则m的值为_________．

●能力提升

23(m215)xm240的常数项为

例4 关于x的方程kx22(2k1)x1是什么方程？它的各项

系数分别是什么？

初中数学 :..第 9 页 共 61 页..:

例5已知方程2xb的值．

axbx240是关于x的一元二次方程，求a、

例6若方程（m-1）x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）

A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任何实数

●培优训练

例7 m为何值时，关于x的方程(m2)x(m3)x4m是一元二次方程．

例8已知方程2xxab0是关于x的一元二次方程，求a、b的值．

m2abab

例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为

初中数学 :..第 10 页 共 61 页..:

解：∵该方程为一元二次方程， ∴m-7=2，

2

解得m=±3；

当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意； 所以m=3．

例10（2000•兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）

A．m≠-1B．m≠2C．m≠-1或m≠2D．m≠-1且m≠2

●课后练习

1、m为何值时，关于x的方程(m2)x(m3)x4m是一元二次方程．

2、已知关于x的方程(a2)xaxx1是一元二次方程，求a的取值范围．

m222初中数学 :..第 11 页 共 61 页..:

3、已知关于x的方程(xa)(ax2)是一元二次方程，求a的取值范围．

4、若x3x10是关于x的一元二次方程，求a、b的值．

5、若一元二次方程

(m2)x3(m15)xm40的常数项为零，则m的值为________

222abab222板块二 一元二次方程的解与解法 ●夯实基础

2

例1、（2012•鄂尔多斯）若a是方程2x-x-3=0的一个解，则6a-3a的值为（ ）

2

2

解：若a是方程2x-x-3=0的一个根，则有

A．3 B．-3 C．9 D．-9

2a-a-3=0，

2

变形得，2a-a=3，

2

初中数学 :..第 12 页 共 61 页..:

故6a-3a=3×3=9．故选C．

2

例2（2011•哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x-mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）

2

A．6 B．5 C．2 D．-6

解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0， 解得m=6． 故选A

例3用直接开平方法解下列方程 （1）3x (4)(6)

例4先配方，再开平方解下列方程

初中数学 :..第 13 页 共 61 页..: 290 （2）(x2)230 （3）2(3x1)218

2(3x1)285 (5) x26x9(52x)2

3(x1)227

（1）x

24x40 （2）2y2y10 （3）2x237x

(4) (6)

11x2x063 (5)

3y2123y

x22x50

例5 用公式法解下列方程 （1）x

初中数学 :..第 14 页 共 61 页..: 23x20 （2）2x12x （3）(x1)223x

(4)(6)x

例6 用因式分解法解下列方程 （1）2x（3）t

(4)(23)x2(31)x60． (5)(6)9(x2)16(x1)0

2(x5)(x7)12 (5)x(6x1)4x32(2x1) 2x10

23x30 （2）

2x245x4500

222t20

x23a24ax2a1

22初中数学 :..第 15 页 共 61 页..:

●能力提升

例7（2011•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ A ）

2

A．-1 B．0 C．1 D．-1或1

例8关于x的一元二次方程（a-1）x+ax+a-1=0的一个根是

2

2

0，则a值为（ C ）

A．1 B．0 C．-1 D．±1 例9方程x2+ax+b=0与x+cx+d=0（a≠c）有相同的根α，则α= ______________

2

例10已知a、β是方程x-2x-4=0的两个实数根，则

2

a3+8β+6

的值为

（D ）

初中数学 :..第 16 页 共 61 页..:

A．-1 B．2 C．22 D．30

例11关于x的一元二次方程（m-2）xm^-2+2mx-1=0的根是 _____

__________

例12解方程：mx(3m2)x6m0

例13解方程mx(3m2)x6m0

2222

初中数学 :..第 17 页 共 61 页..:

●培优训练

例14（新思维）阅读下面的例题： 解方程：解得x2,x1x2|x|20.

2解：（1）当x0时，原方程化为x2x20， ．

1（不合题意，舍去），

2（2）当x0时，原方程化为x解得x1,（不合题意，舍去），x12x202．

∴原方程的根是x2,x122

请参照

x2x330，则方程的根是_____________．

例15解方程：x

22x240

例16（新思维）设x1、x2是方程x求代数式x

312x40的两个实数根，

5x2210的值．

初中数学 :..第 18 页 共 61 页..:

例17（新思维）先请阅读材料： 为解方程然后设

y24x215x21402，我们可以将x1视为一个整体，

2x21y，则x21y22，原方程化为y225y40，解得y1，

1．

2当y1时，x11，得x2；当y4时，x1144，得x5； ．

故原方程的解为x2，x22，x232，x5在解方程的过程中，我们将x1用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想． 请你根据以上的阅读，解下列方程： （1）x（2）

4x260；

．

11(x1)2(x1)1022例18已知关于x的方程解相同． （1）求k的值； （2）求方程x2x2kx20的一个解与方程

x13x1的

kx20的另一个解．

初中数学 :..第 19 页 共 61 页..:

例19（新思维）若x、y是实数，且mx定m的最小值．

例20（新思维）已知x、y、z为实数，且满足则xyz的最小值为______________．

22224xy6y24x4y确

x2yz6xy2x3，

初中数学 :..第 20 页 共 61 页..:

课后练习

一、填空： 1.

一元二次方程的一般形式是

3x25x6______________________。 2. 一元二次方程

的一般形式是

_________________________________，a=___________，b=___________，c=___________。 3. 关于x的方程(m1)x 4. 关于x的方程(m222mx30是一元二次方程，则m是一元二次方程时，

的取值范围是___________。

4)x2(m2)xm0m的取值范围是___________，是一元一次方程时，m的取值范围是___________。

二、

下列方程中，是一元二次方程的为（ ）

D．x（x2+2）=0

A．x2+3x=0 B．2x+y=3 C

三、用两种方法解下列方程： 1.

0.5x22104 2.

32x15.05

3. 3(1x)

1

初中数学 :..第 21 页 共 61 页..:

4. 6. 7.

初中数学 :..第 22 页 共 61 页..: x25x60 5.

x2x72

3x224x

x222x2 8.

x23x704

9.

3(2x1)20 10.

(x1)25x30

(11)x |x| 10;2

(2)(x22x)2(x22x)20;

四、解关于x的方程：(m1)x

初中数学 :..第 23 页 共 61 页..: 2(2m1)xm30．

五、解关于x的方程：a(x

22x1)a(x21)(a21)x

六、（新思维）△ABC

BCa,ACb,ABc,且满足a4b414ca2c2b2c2,2中，三边

试判

定△ABC的形状

七、（新思维）设x、y为实数，求代数式的最小值．

初中数学 :..第 24 页 共 61 页..: 5x24y28xy2x4

板块二 一元二次方程根的判别式 ●夯实基础

例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。 （1）8y(2y5)25 （2） （3）(a

初中数学 :..第 25 页 共 61 页..: 22x26x1

1)x22ax(a24)0（x是未知数）

例2如果关于x的一元二次方程kx6x90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）

A． k1 B． k0 C．k1且k0 D． k1

2

例3已知a，b，c为正数，若二次方程axbxc0有两个实数根，那么方程axbxc0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的正实数根 B．有

两个异号的实数根

C．有两个不相等的负实数根 D．不

一定有实数根

22222例4若关于x的方程kx求k的取值范围。

26x90有两个不相等的实数根，

例5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程

ax2bxc0一定有两个不等实根。

初中数学 :..第 26 页 共 61 页..:

例6已知a、b、c是ABC的三边的长，且方程x2(bc)x(ab)(ca)0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．

2

●能力提高

例7关于x的方程a6x值是 ．

28x60有实数根，则整数a的最大

初中数学 :..第 27 页 共 61 页..:

例8m为给定的有理数，k为何值时，方程x41mx3m2m4k0的根为有理数？

例9k为何值时，方程(k1)x(2k3)x(k3)0有实数根．

例10已知关于x的方程(m2)x2(m1)xm10在下列情况

2222下，分别求m的非负整数值。 （1）方程只有一个实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有两个不相等的实数根

例11（新思维） 已知一元二次方程x2(4k2)x4k20有两

初中数学 :..第 28 页 共 61 页..:

个不相等的实数根．则k的最大整数值为____________．

例12 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c，∠B=90°，那么，关于x的方程

a(x21)2cxb(x21)0的根的情况是（ ）．

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定

●培优训练

例13（新思维）已知关于x的方程x2(k2)x2k0

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

例14（新思维） 已知函数的值；

y2和ykx1(k0)x

（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？

初中数学 :..第 29 页 共 61 页..:

例15（新思维）若x0是一元二次方程ax则判别式b4ac与平方式

． M(2axb)的大小关系是（ ）

2202bxc0(a0)的根，

A．M B．M C．M D．不能确定

解：把x代入方程ax+bx+c=0中得ax+bx=-c，

0

2

2

0

0

∵（2ax+b）=4ax+4abx+b，

0

2

2

20

0

2

∴（2ax+b）=4a（ax+bx）+b=-4ac+b=△，

0

2

20

0

2

2

∴M=△． 故选B

例16（新思维）关于x的方程

x2||ax1仅有两个不同的实

根，则实数a的取值范围是（ ）．

A．a0 B．a4 C．2a4 D．0a4

●课后练习

1、一元二次方程x实数根

22x10的根的情况为（ ）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z的一元二次方程x数m的取值范围是（ ）

A．m-1 C．m>l D．m<-1

初中数学 :..第 30 页 共 61 页..: 2.2xm0没有实数根，则实

3、关于x的方程x2pxq0的两根同为负数，则（ ）

A．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0 4、不解方程，判断下列各方程根的情况 （1）. （3）.

5、k为何值时，方程(k1)x

6、k为何值时，方程x

初中数学 :..第 31 页 共 61 页..: 22x210 （2）.

4x24x10

2x27x302(k7)x2k20的两个根相等？

(2k5)xk20有两个不相等的实根？

7、已知a0，bac，判断关于x的方程axbxc0的根的情况，并给出必要的说明．

8、已知关于x的方程x2(m1)xm50有两个不相等的实数根，化简：|1m|m4m4

2222

9、已知关于x的方程(mm)x2mx10有两个不相等的实数根．

⑴求m的取值范围；

⑵若m为整数，且m3，a是上述方程的一个根，求代数式2a3a2a413的值．

2222初中数学 :..第 32 页 共 61 页..:

10、在等腰ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a3，b和c是关于x的方程xmx21m0的两个实数根，22求ABC的周长．

11、如果关于x的方程xaxbxbxcxcxa0（其中a，b，c均为正数）有两个相等的实数根．证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．

12、k为何值时，方程2x

初中数学 :..第 33 页 共 61 页..: 22k2(4k1)x没有实根？

板块二 一元二次方程的应用

●夯实基础

例1 解方程

例2 一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。

初中数学 :..第 34 页 共 61 页..:

例3 某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？

例4 甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两队单独工作各需多少天完成？

例5如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上

截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长．

初中数学 :..第 35 页 共 61 页..:

例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007

年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

(1)该公司2006年盈利多少万元?

(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?

初中数学 :..第 36 页 共 61 页..:

例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与

宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2?

●能力提高

例8（新思维）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）．

初中数学 :..第 37 页 共 61 页..:

例9（新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

例10（新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求x与S的函数关系式；

AB的长是多少米？ （2）若要围成面积为45m2的花圃，（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时AB的长；如果不能，请说明理由．

初中数学 :..第 38 页 共 61 页..:

例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？

初中数学 :..第 39 页 共 61 页..:

●培优训练

二、列方程解应用题

1. 从一块长为80cm，宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？

初中数学 :..第 40 页 共 61 页..:

2. 某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？

板块二 一元二次方程根与系数的关系 ●夯实基础

例1 若方程x

24xc0的一个根为23，则方程的另一根

为_______，c=______．

初中数学 :..第 41 页 共 61 页..:

例2 已知方程

2x12x2x23x50的两根为x1、x2，则

_________

例3 如果x、x是一元二次方程ax122bxc（0a0） 的两根，那

么，x+x12=-ba，xx12=ca．这就是著名的韦达定理．现在我们

利用韦达定理解决问题：

已知m与n是方程2x-6x+3=0的两根。

2 mn= . （1）填空：m+n= ，11（2）计算m+的值． n

初中数学 :..第 42 页 共 61 页..:

例4 （2011•厦门）已知关于x的方程x不相等的实数根． （1）求n的取值范围；

22x2n0有两个

（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．

例5 （2011•孝感）已知关于x的方程x两个实数根x，x ．

1222（k1）xk20有

（1）求k的取值范围； （2）若xx12x1x21，求k的值．

初中数学 :..第 43 页 共 61 页..:

例6 （2011•十堰）请阅读下列材料： 问题：已知方程x2x10，求一个一元二次方程，使它的

根分别是已知方程根的2倍．

y

解：设所求方程的根为y，则y=2x所以x2． yyy把x2代入已知方程，得（）10 222化简，得y22y402

．

故所求方程为y根法”．

2y40这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换

请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：

初中数学 :..第 44 页 共 61 页..:

（1）已知方程x2x20，求一个一元二次方程，使它

的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： 。 （2）己知关于x的一元二次方程ax己知方程根的倒数．

例7（2011•南充）关于的一元二次方程x数解是x和x．

122bxc0有两个不等

于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是

22xk10的实

（1）求k的取值范围； （2）如果x

初中数学 :..第 45 页 共 61 页..: 1x2x1x2＜1且k为整数，求k的值．

例8（2010•淄博）已知关于x的方程x22（k3）xk24k10．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k的值； （3）若以方程x22（k3）xk24k10的两个根为横坐标、

纵坐标的点恰在反比例函数ym的图象上，求满足条件x的m的最小值．

●能力提升

初中数学 :..第 46 页 共 61 页..:

例1 已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．

（I）用含k的式子表示方程的两实数根； （II）设方程的两实数根分别是x，x（其中x121x2），

若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =bx的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．

例2 （昌平）已知：关于x的一元二次方程kx（1）若原方程有实数根，求k的取值范围； （2）设原方程的两个实数根分别为x，x．

1222x2k0．

①当k取哪些整数时，x，x均为整数；

12②利用图象，估算关于k的方程

y4x1x2k10321的解．

-4-3-2-1O-1-2-3-41234K初中数学 :..第 47 页 共 61 页..:

例3（顺义）已知：关于

x2(2m1)xm2m20x的一元二次方程

．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x，x满足xx12121m2m1，求m的值．

例4 海淀09 一模）．已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc

初中数学 :..第 48 页 共 61 页..:

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

bab （2）求代数式(kc)akc的值；

22（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

例5知关于x的一元二次方程x（2）若a∶b=2∶3，且2xx122axb20，a0,b0.

（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；

22，求a，b的值；

2解：(1) ∵ 关于x的一元二次方程x∴ Δ=(2a)22axb20有实数根,

4b20,有a2-b2≥0,（a+b）（a-b）≥0.

∵ a0,b0, ∴ a+b＞0,a-b≥0. ∴

ab. …………………………（2） ∵ a∶b=2∶3，

初中数学 :..第 49 页 共 61 页..: 2分

∴ 设a2k,b3k.

2 解关于x的一元二次方程x得 xk或-3k. 当xk,x= -3k时，由2xx12112124kx3k20，

2得k2.

2得k5（不合题

当x3k,x= -k时，由2xx意，舍去）.

22∴ a4,b23. …………………………5分

例1 设关于x的二次方程(k●培优训练

26k8)x2(2k26k4)xk24的两根都是

整数，求满足条件的所有实数k的值。

例2 、已知关于x的方程ax-(3a-8a)x＋2a-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整

2

2

2

2

数根，求a的值．

初中数学 :..第 50 页 共 61 页..:

例3 、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值

2

例4 、关于x的方程ax+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．

2

例5 、已知关于x的方程x＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．

2

例6 、求所有有理数r，使得方程rx+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．

2

初中数学 :..第 51 页 共 61 页..:

例7、已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．

（m3)解：(1)证明： Δ=

24(m1)

=m =m∵ ∴

26m94m42m522

=(m1)(m1)2(m1)244．

≥0， ＞0．

∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个

不相等的实数根. …………2分

（2） 解关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，

得

m3(m1)24x2. ……………

初中数学 :..第 52 页 共 61 页..:

…3分

要使原方程的根是整数，必须使得(m1)全平方数.

设(m1)224是完

4a2，

则(am1)(am1)4.

∵ a+m1和am1的奇偶性相同，

am12,am12,可得或 am12.am12.解

a2,m1.得

a2,m1.或

. ………………5分

m3(m1)24x2 将m=－1代入

x12,x20，得 合

题

符

意. ………………6分

∴ 当m=－1 时 ，原方程的根是整

数. ……………7分

例8知关于x的方程(k1)x2kxk30．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方

程y(a4k)ya10的整数根（a为正整数）．

解：（1）△=4k4(k1)(k3)

222=4k24k28k12

初中数学 :..第 53 页 共 61 页..:

=8k12 …………………………………

…………………………… 1分

∵方程有两个不相等的实数根， ∴∴

k1k10,0. 即

k10,8k120.

k32k的取值范围是

且

． …………………………………… 3分

（2）当方程有两个相等的实数根时，

△=8k12=0． ∴

k32． ………………………………………………………

2………… 4分

∴关于y的方程为y(a6)ya10． ∴'(a6)4(a1)a12a364a4a16a32

(a8)32． 由a为正整数，当(a8)32是完全平方数时，

方程才有可能有整数根．

设(a8)32m（其中m为整数），32pq（p、， q均为整数）

∴(a8)m32．即(a8m)(a8m)32．

a8mp,不妨设 两式相加，得 a8mq.222222222apq162．

∵(a8m)与(a8m)的奇偶性相同，

∴32可分解为216，48，(2)(16)，(4)(8)， ∴pq18或12或18或12．

∴a17或14或1（不合题意，舍去）或2．

初中数学 :..第 54 页 共 61 页..:

7y当a17时，方程的两根为y11，即2y2912，

．…… 5分

当a14时，方程的两根为y822，即y13，

y25．…… 6分

2y当a2时， 方程的两根为y4，即213，

y21． ………… 7分

例9（011西城二模）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程axbxc0a0的两个实数根分别为x1，x2，则

bcxx，xx． aa21212解决下列问题：

已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax为2．

（1）填空：4a2bc 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）

（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程ax（3）若实数m使代数式amx=m5时，代数式ax并说明理由．

初中数学 :..第 55 页 共 61 页..: 2222bxc0有两个实数根，其中一根

bxc0的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；

bmc的值小于0，问：当

bxc的值是否为正数？写出你的结论

解：（1）＝，＞，

＜．……………………………………………………………………3分

（2）c．…………………………………………………………2a…………………4分

（3）答：当x=m5时，代数式ax数．理由如下：

设抛物线yax它经过A(2ca,0)，B(2,0)

22bxc的值是正

bxc（a≠0），则由题意可知，

两点．∵ a＞0，c＜0，

∴ 抛物线yaxbxc开口向上，且2ca＜0＜2，

2即点A在点B左侧．

……………………………………

……………………………………5分

设点M的坐标为M(m,am为N(m5,y)．

∵ 代数式am纵坐标为负数．

22bmc)，点N的坐标

bmc的值小于0， 2∴ 点M在抛物线yaxbxc上，且点M的图5 ∴ 点M在x轴下方的抛物线上．（如图5） ∴ xxx，即2cam2．

AMB∴

c5m572a，即2ca5xN7．

初中数学 :..第 56 页 共 61 页..:

以下判断2ca5与x的大小关系：

B∵ ∴

4a2bc＝0，a＞b，a＞0，

．

(cc6ac6a(4a2b)ab5)xB(5)202a2a2a2aaB∴2ca5x．

xNc5xB2a∴

．……………………………………………∵ B，N两点都在抛物线的对称轴的右侧，

……………6分 y随x的增大而增大，

∴yNyB，即y>0.

2∴ 当x=m5时，代数式ax数． ………………………7分

课后练习

bxc的值是正

1、若x1、x2是方程x是____________．

23x10的两个实数根，则

11x1x2的值

2、已知x1、x2是方程（ ）．

x2x30的两根，那么

497x1x222的值是

A．1 B．5 C．7 D． 3、已知关于x的一元二次方程

1x2(m2)xm2204．

（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根；

初中数学 :..第 57 页 共 61 页..:

（2）如果这个方程的两个实数根x1、x2 满足x求m的值．

212x218，

4、（2011延庆一模）已知：关于x的一元二次方程

x22(m1)x2m10

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）设m0，且方程的两个实数根分别为x,x（其中

12x1x2），若y是关于m的函数，且y＝16xx，求这个函

21数的解析式；

（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m的方程

ym20的解．

初中数学 :..第 58 页 共 61 页..:

5、已知关于x的方程x值．

2(a6)xa0的两根都是整数，求a的

6、（2010•中山）已知一元二次方程x22xm0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x、x，且x1213x23，求m的值．

7、（2010•孝感）关于x的一元二次方程x实数根x，x，

122xp10有两

初中数学 :..第 59 页 共 61 页..:

（1）求p的取值范围；

[2x（1x）][2x（1x）]9，求p的值． （2）若 1122

8、（2011海淀二模）已知关于x的方程mx其中m0。

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为x，x，其中x1212(32m)x(m3)0，

x2，若

yx213x1，求y与m的函数关系式；

初中数学 :..第 60 页 共 61 页..:

（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式ym成立的m的取值范围。

初中数学 :..第 61 页 共 61 页..: