第十一讲 直线与圆的位置关系

【学习目标】

1、理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。

2、掌握切线的判定定理，性质定理和切线长定理，并会利用它们解决有关问题。 3、会画圆的切线和三角形的内切圆，掌握三角形内心的概念。 4、掌握弦切角的概念和弦切角定理。

5、掌握相交弦定理、切割线定理及推论，并会利用它们解决有关问题。 【知识框图】

相离 d＞r 相交弦定理

直线与圆的 相交 d＜r 切割线定理的推论 位置关系 弦切角定理

相切 d＝r 切线长定理

切割线定理

【典型例题】

例1：如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，求∠A的度数。

分析：本题条件中，没有给出角的度数条件，因此需要挖掘隐含度数的条件，由AB是⊙O的直径可想到连接BC，则∠ACB=900给解本题创造了条件，又注意到DC是⊙O的切线，于是得解。

解：连接OC、BC则OC⊥CD C 在RtΔOCD中，∵OC=OB=BD A O B D ∴OD=2OC

∴SinD= = ∴∠D=300

又∵BO=BD ∴CB=BD ∴∠BCD=∠D=300 ∵DC是⊙O的切线 ∴∠A=∠BCD=300

或者，在求得∠D=30后，可得∠COB=60，由三角形外角的性质可知∠A= ∠COB=300 例2：如图，若过⊙O上一点A作⊙A交⊙O于B、C，过点A的直线交⊙O于E，A交⊙A于D、G，交BC于F， 求证：EF×AF=AD2-AF2

分析：显然本题两圆中都含有相交弦，可从相交弦入手。在⊙O中有EF×FA=BF×FC，在⊙A中有

DF×FG=BF×FC，则EF×FA=DF×FG。我们可把DF=AD-AF，FG=AG+AF代入，又有AD=AG，就易得EF×AF=AD2-AF2。 Ｒ

证明：∵EF×FA=BF×CF BF×CF=DF×FG ＥＤＦ Ａ

∴EF×FA=DF×FG Ｇ Ｃ ∵DF=AD-AF， FG=AF+FG 又∵AD=AG ∴EF×FA=（AD-AF）（AF+FG）=AD2-AF2

评注：有的等积式很复杂，就出现了差（和）问题，对于这一类问题最终是要化成四条线段组成的等式，这主要是通过等量代换来证明，但注意不要生般硬套，要分情况，有时可用线段的拆拼，有时可考虑到提公因式，都能把和（差）变成积。

例3：如图，在ΔABC中，∠B=900，D是BC上一点，BD=BA=a,以O为圆心BD为直径

的半圆与AC相切于点M。（1）求证：MC=2 CD（2）求AC的长

分析：本题的条件中隐含着多对三角形相似，并且DO=OB=OM=a= AB，由此联想到MC=2CD，可转化为线段相似比来证。 Ａ Ｍ 解：（1）连OM、DM、BM ∵AC切⊙O于M ∴∠CMD=∠CBM ∠CMO=Rt∠ Ｃ Ｄ Ｏ Ｂ

∴ΔCMD∽ΔCMB ΔCMO∽ΔCAB ∴ = = = =2

∴ = =2 即MC=2CD

（2）设MC=x则BC=2x ∵∠B=900 ∴AC2=AB2+BC2 ∴(a+x) 2=a2+(2x) 2 解得x= a ∴AC= a

评注：在几何证明或计计算中，如果能利用一些基本图形和基本结论，往往能使思路简化，并且繁杂图形又往往是几个基本结论的组合，所以掌握这些基本图形和基本结论很必要。 【选讲例题】

例4：如图，⊙O内接ΔABC，AQ⊥BC于D，交⊙O于Q，AD 是⊙O１的直径，⊙O１交

２

AB于M，交AC于N，AQ交MN于P，求证：（1）OA⊥MN（2）AD=AP×AQ 分析：（1）要证OA⊥MN，须证∠CMA+∠MAO=90，延长AO为直径AE，连结BE，则 ∠ABE=900，要证明人∠CMA+∠MAO=900，只须证∠CMA=∠E即可，而∠E=∠ACB，AD是⊙O的直径，连接DN，∠AND=900，∠ADN=∠CMA，若∠ACB=∠ADN即可，由AD⊥BC可得∠ADN=∠ACB （2）要证AD2=AP×AQ，而AP、AD共线，不便于用相似三角形证，由图形特点我们联想，得到AD2=AN×AC，则只须证AN×AC=AP×AQ，可那么须证ΔAPN∽ΔACQ，连接CQ，只须证

∠ANM=∠Q，而∠Q=∠ABC，若∠ANM=∠ABC则可得。由于上题得到∠CMA=∠ACB，能得到ΔAMN∽ΔACB，显然∠ACM=∠ABC，于是思路疏通。 证明：（1）延长AO交⊙O于E，连接BE，ND

∵AE、AD分别为⊙O、⊙O１的直径 ∴∠ABE=∠ADN=900，∠BAO+∠E=900

∵AD⊥BC ∴∠ACB=∠ADN=∠CMA， ∠CMA=∠E=∠ACB ∴∠BAO+∠CMA=900 即OA⊥MN Ａ （2）连接QC， 则∠Q=∠ABC Ｍ Ｐ ∵∠CMA=∠ACB ∠MAN=∠CAB

∴ΔMAN∽ΔACB Ｃ Ｎ Ｂ Ｑ

∴∠ANM=∠ABC ∴∠ANM=∠Q E 又∵∠PAN=∠CAQ ∴ΔAPN∽ΔACQ ∴AP×AQ=AN×AC

∵∠ADC=900 DN⊥AC ∴ΔDAN∽ΔCAD ∴AD2=AN×AC ∴AD2=AP×AQ 【课堂小结】

圆是平面几何的核心内容，是初中几何的最后一章，要整个初中几何中属于综合，提高

阶段。在直线与圆的位置关系这一章节中，可与三角函数和代数知识紧密联系，了解一些基本图形和基本结论培养学生数形结合、分类讨论、合理运算及综合运用知识的能力。 【基础练习】

1、已知圆内接四边形ABCD中，AB与DC的反向延长线相交于N，BC与AD的延长线相交于M，若∠M=400，∠N=200，则∠A=__________. 2、如图，在⊙O内接四边形ABDC中，BD⊥AC，OM⊥AB，M为垂足，求证：OM= CD。 3、如图，已知⊙O的弦CD与AB相交于P点，PE∥DA，且交BC的延长线于点E，又EF切⊙O于F，求证：∠EPF=∠EFP。

4、如图，已知⊙O１与⊙O２外切于P，AB为两圆的外公切线，AB为切点，AP交⊙O２于C，

２

BP交⊙O１于D，求证AB=AP×PC+BP×PD

D C D A B A P O P

A M B B C E C F D

（2） （3） （4） 【巩固练习】

1、AB是⊙O 的弦，CD是经过⊙O上一点M的切线，AB∥CD，求证：AM=MB 2、如图，AB切⊙O于点B ，BC⊥AO于C，求证：∠1=∠2

3、已知，正方形的对角线AC和BE相交于点M，求证：ME=AB且M是EB的黄金分割点。

C M D

D

O C D A E C A B B M

（1） （2） （3） A B

4、如图，三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于D，G两点，作DE⊥AC于E，连结BE交⊙O于F。 求证：（1）DE是⊙O 的切线（2）DG=DC（3）AE×EC=BE×EF

5、如图，在RtΔABC中，∠B=900，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆O与AC相切于E，若BD=BD=6，求AC

6、如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，且PB=AB，过B作PO的垂线分别交PO、PA于C、D。（1）求证： = （2）若AD=a，求PD的长。

P A

C D C

G E A O B F E A D O B

B D C

（4） （5） （6）